▶ 🎖 Regla de Ruffini 📏

¡¡¡Eres incombustible!!! 🔥 Te has leído la entrada sobre monomios, sobre polinomios y sobre factorización de polinomios; y ¡¡aún te quedan ganas de polinomizar un rato más!! No te rindes ¡¿eh?! Pues nada, aquí vamos con la regla de Ruffini…

Este algoritmo lo empezarías a oír en 2ESO, aunque ese curso, en el mejor de los casos, sólo te lo nombraron. Fue en 3ESO cuando te lo explicaron por primera vez y es el 4ESO cuando ya sois unos amigos geniales y os lleváis estupendamente.

Antes de entrar en harina, déjame que te ponga un chiste gráfico 🤣 (ahora se llaman memes) que nos va a servir de guía por toda la explicación:

Espero que te quede claro qué es lo que vamos a hacer durante toda la entrada.

Esta infografía la realicé hace un año aproximadamente en la página web pintzap.com y creo que resume muy bien la utilidad de la regla de Ruffini para factorizar polinomios.

Pero ¿qué es la regla de Ruffini?

Realmente la regla de Ruffini es un algoritmo que podemos usar para la división ➗ de polinomios y la podemos adaptar astutamente para factorizar polinomios.

La regla de Ruffini la puedes utilizar cuando (las dos cosas a la vez):

  • ✔ El dividendo es un polinomio P(x)
  • ✔ El divisor es un polinomio de grado 1 y cuyo coeficiente director es 1, es decir tiene la forma x\pm a

Podemos adaptar la regla de Ruffini para cualquier tipo de divisor, pero eso lo dejamos para otra entrada.

¿Cuándo se usa la regla de Ruffini? 🤔

En general, la regla de Ruffini la vas a tener que usar en dos situaciones cocretas, que puedes resumirlas en las siguiente:

  • 1️⃣ División de polinomios por un binomio:
    • Calcula el {resto, cociente} de dividir P(x): (x-a)
    • Calcula m para que P_m(x):(x-a) tenga por resto… Aquí debes entender que P_m(x) es un polinomio en x, pero en donde tenemos un coeficiente de alguna de las potencias de x que desconocemos (esta es pregunta típica de examen). 👁
    • Calcula a para que el resto de dividir P(x):(x-a) sea….
  • 2️⃣ Factorización de polinomios. Si piensas un poco, no es más que la condición anterior. En este caso, buscamos que el resto sea 0.

Pero, ¿en qué nos basamos? ¿por qué todo esto va a funcionar? 🤷

Nos basamos en los dos teoremas que te expliqué en la entrada anterior: el teorema del factor y el teorema del resto. Estos dos teoremas te garantizan que los resultados que vas a obtener son los correctos y los que debes poder calcular.

Algoritmo 🧮

Voy a hacerte varios ejemplos, pero en este caso, para empezar a calentar motores 🚂 vamos a dividir P(x)= 2x^4+4x^3-8x^2-4x+6 entre (x+3)

Si lo quisieras hacer por el método tradicional deberías escribir todo esto:

    \[\text{\begin{tabular}{ccccc l} $2x^4 $ &$+4x^3 $ &$ -8x^2$ &$-4x $ &$+6 $ &${\hspace*{-7pt}}\vline \hspace*{7pt} x +3 $\\\cline{6-6} \\ $ -2x^4$ & $-6x^3 $ & $ $& $ $ & $ $ & $2x^3-2x^2-2x+2 $ \\ \cline{1-5} \\ $ $ &  $-2x^3 $ & $-8x^2 $ & $-4x $ & $+6 $ & $ $\\ \\ $ $ & $ +2x^3$ & $+6c^2 $ & $ $ & $ $ & $ $ \\\cline{2-5}\\ $ $ & $ $ & $ -2x^2$ & $ -4x$ & $ +6$ & $ $ \\   $ $ & $ $ & $+2x^2 $ & $+6x $ & $ $ & $ $ \\\cline{3-5}\\ $ $ & $ $ & $ $ & $ 2x$ & $ +6$ & $ $ \\ \\ $ $ & $ $ & $ $ & $ -2x$ & $ -6$ & $ $ \\\cline{4-5}\\ $ $ & $ $ & $ $ & $ $    & $  0$ & $ $ \\\end{tabular}}\]

Como ya sabes, este método es un poco farragoso 🤯 ya que lo único que nos interesa son el cociente y el resto, y para conseguirlos debemos hacer un montón de operaciones intermedias. Pues todas estas operaciones intermedias son las que nos evita la regla de Ruffini 👏

Así, lo único que tenemos que hacer es escribir lo siguiente

    \[\text{\begin{tabular}{c|ccccc} \color{red}$ $&\color{red}$2 $&\color{red}$ +4$&\color{red}$-8 $&\color{red}$-4 $&\color{red}$6 $\\ \\ \color{blue}$-3 $&$ $&$-6 $&$6 $&$6 $&$-6 $\\\hline  \\ $ $& \color{orange}$2 $&\color{orange}$-2 $&\color{orange}$ -2$&$\color{orange}2 $ &${\hspace*{-11pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}  0$\\\cline{6-6}\end{tabular}}\]

Tranquilo que te explico cómo he elaborado la tabla anterior:

  • 🅰 Lo primero que he hecho es colorearte los diferentes números que nos van a ir saliendo.
  • 🅱 Debes hacer una caja como la que ves e ir colocando los números de la manera qeu te explico.
  • 🔴 La primera fila (color rojo), se compone de todos los coeficientes del polinomio que queremos dividir, es decir son los coeficientes de: P(x)= {\color{red} 2}x^4{\color{red}+4}x^3{\color{red}-8}x^2{\color{red}-4}x{\color{red}+6}, y ten en cuenta que los signos que acompañan al coeficiente en cuestión también juegan.
  • La segunda fila de números tiene dos apartados:
    1. 🔵 El número que aparece en azul tiene que ver con el monomio divisor. En este caso, es (x+{\color{blue}3}). Pues tan sólo hay que cambiarle el signo y colocarlo en la parte izquierda. Así tenemos ese \color{blue}-3.
    2. ⚫ Los números que están en negro, te explico ahora cómo conseguirlos
  • La última fila (naranja 🟠 y verde 🟢 en una caja) está relacionada con la primera, el \color{blue}-3 anterior y los números en negro. La debes calcular de la siguiente manera:
    1. Bajo el primer \color{red}2 (el que está en rojo) y lo coloco en naranja, \color{orange}2.
    2. Multiplico {\color{blue}-3}\cdot {\color{orange} 2}= -6 que resulta ser el primer -6 que aparece en negro.
    3. Ahora sumo \color{red}+4\color{black}-6=\color{orange}-2, que resulta ser el primer \color{orange}-2 que aparece en la fila inferior.
    4. Por último repetimos el proceso anterior:
      1. {\color{blue}-3} \cdot{\color{orange}(-2)}=6
      2. {\color{red}-8}+6=\color{orange}-2
      3. {\color{blue}-3} \cdot{\color{orange}(-2)}=6
      4. {\color{red}-4}+6=\color{orange} 2
      5. {\color{blue}-3} \cdot{\color{orange}(2)}=-6
      6. {\color{red}-6}+6=\color{green!60!black}0

Y con esto la regla de Ruffini ya está terminada. Vamos a identificar cada uno de los números que nos salen:

  • Ya te he contado qué son los números que aparecen en rojo: los coeficientes del polinomio a dividir
  • También te he dicho qué es el número que está en azul (\color{blue}-3)
  • Y te he contado como calcular los números naranjas y verde (\color{orange} 2 \quad -2\quad -2\quad 2 \quad \color{green!60!black} 0) Pero no te he dicho qué son:
    • Los números en naranja🟠 son los coeficientes del polinomio cociente Q(x)=2x^3-2x^2-2x+2
    • El número en verde 🟢 es el resto de la división: \color{green!60!black} 0 ¡¡La división es exacta!! (volveremos sobre esto más adelante)

Así que ya sabes todo lo que aparece en la regla de Ruffini. Espero que hayas visto 👁 la utilidad de dividir polinomios de esta manera. Es mucho más rápido y más difícil de equivocarse.

Además, pregúntate ¿Qué es lo importante en una división? Pues el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. Cuando divides por caja aparecen un montón de operaciones intermedias, que al final no son interesantes, pero que pueden hacer que te equivoques; mientras que mediante la regla de Ruffini, todo lo que aparece es lo esencial de la división de polinomios.

Ejemplos

Vamos a empezar por ejemplos sencillos 😀 y vamos a ir subiendo la dificultad poco a poco 📈. Tal y como se hace en clase. Puedes intentar hacerlos mediante caja pero yo te los haré todos mediante la regla de Ruffini.

Ejemplos sobre divisiones con la regla de Ruffini

Ejemplo 1: Calcula el resto y el cociente de la división (4x^5+11x^4+11x^3+8x^2-5x+1):(x+2)

Como puedes comprobar, el divisor es un monomio de grado 1 y cuyo coeficiente director es UNO, por lo tanto podemos utilizar la regla de Ruffini.

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrrr}\color{red}$ $&\color{red}$4 $&\color{red}$ +11$&\color{red}$+11 $&\color{red}$+8$&\color{red}$-5 $&\color{red}$+1 $\\\\\color{blue}$-2 $&$ $&$-8 $&$-6 $&$-10 $&$4 $&$2 $\\\hline \\$ $& \color{orange}$4 $&\color{orange}$3 $&\color{orange}$ 5$&$\color{orange}-2 $&$\color{orange}-1 $ &${\hspace*{-7pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black} 3$\\\cline{7-7}\end{tabular}}\]

Consideraciones sobre este ejemplo:

  • Te he codificado los números con los mismos colores que en el ejemplo de arriba. Espero que te hayan servido de guía.
  • Date cuenta que el divisor es x+2, por eso el número que pongo en azul es \color{blue}-2 (acuérdate siempre de cambiar el signo).
  • En este caso el resto no es 0, si no \color{green!60!black}3 por lo que la división no es exacta.

Si esto lo haces en un examen, la respuesta que espera ver tu profe, que no te tiene manía, es:

    \[4x^5+11x^4+11x^3+8x^2-5x+1=\left(4x^4+3x^3+5x^2-2x-1\right)\cdot (x+2)+3\]

Ejemplo 2: Calcula el cociente y el resto de la división de (x^3-2x^2+1):(x-3)

En este caso debes observar primero el dividendo. ¿no notas nada raro?… efectivamente, no tiene término en x. ¿Y como se traduce esto a la regla de Ruffini? muy sencillo, se pone un 0 cuando le corresponda el turno a la x.

Así la caja vinculada a la regla de Ruffini que debes hacer es la siguiente (ten en cuenta que como se divide por (x-3), deberás escribir un \color{blue}+3 en la caja):

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrr}\color{red}$ $&\color{red}$1 $&\color{red}$ -2$&\color{red}$0 $&\color{red}$1$\\\\\color{blue}$+3 $&$ $&$3 $&$3 $&$9 $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$1 $&\color{orange}$1 $&\color{orange}$2$&$ {\hspace*{-6pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black} 10$\\\cline{5-5}\end{tabular}}\]

¿Y por último, que te queda? Escribir el resultado de la división:

    \[x^3-2x^2+1= \left(x^2+x+3\right)\cdot (x-3)+10\]

Ejemplo 3: Calcula el cociente y el resto de la división de (-x^5-4x^3+2x-1):(x+1)

Igual que antes, ahora tenemos términos que faltan en el dividendo, concretamente los correspondientes a x^4 y a x^2 ¿Qué hacemos entonces? Sencillo, poner un 0 donde corresponda en la caja.

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrrr}\color{red}$ $&    \color{red}$-1 $&    \color{red}$ 0$&    \color{red}$-4 $&    \color{red}$0$&    \color{red}$+2 $&    \color{red}$-1 $\\\\\color{blue}$-1 $&    $ $&    $1 $&     $-1 $&     $5 $&     $-5 $&    $3 $\\\hline \\$ $&    \color{orange}$-1 $&     \color{orange}$1 $&     \color{orange}$ -5$&     $\color{orange}5 $&     $\color{orange}-3 $ &    ${\hspace*{-7pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black} 2$\\\cline{7-7}\end{tabular}}\]

Y por último debemos escribir el resultado de la división:

    \[-x^5-4x^3+2x-1=\left(-x^4+x^3-5x^2+5x-3\right)\cdot (x+1)+2\]

Ejemplo 4: Calcula el cociente y el resto de la división de (x^6-4x^4-2x^3+x^2):(x-2)

En el dividendo tenemos un polinomio que no tiene término ni en x ni término independiente. En este caso vamos a sacar factor común al mayor grado de la x que podamos, y resulta ser x^2. Así obtenemos que x^6-4x^4-2x^3+x^2=x^2\left(x^4-4x^2-2x+1\right).

Nos queda saber qué vamos a hacer a continuación. Para ello nos fijamos en que (si llamamos P_6(x) a nuestro polinomio de grado 6, para simplificar la notación):

    \[\frac{P_6(x)}{B(x)}=\frac{x^2\cdot P_4(x)}{B(x)}=x^2\cdot \frac{P_4(x)}{B(x)}\]

Es decir, que podemos dividir el nuevo polinomio simplificado que acabamos de calcular al haber extraído factor común. Así que allá vamos:

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrr}\color{red}$ $& \color{red}$1 $& \color{red}$ 0$& \color{red}$-4 $& \color{red}$-2$& \color{red}$+1$\\\\\color{blue}$2 $& $ $& $2 $& $4 $& $0 $& $-4 $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$1 $& \color{orange}$2 $& \color{orange}$ 0$& $\color{orange}-2 $&  ${\hspace*{-7pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black} -3$\\\cline{6-6}\end{tabular}}\]

Así la factorización del anterior polinomio es:

    \[x^6-4x^4-2x^3+x^2=x^2\cdot\left(\left(x^4-4x^2-2x+1\right)\left(x-2\right)-3\right)=x^2\cdot \left(x^4-4x^2-2x+1\right)\left(x-2\right)-3x^2\]

Ejemplos sobre cálculo de algún coeficiente con la regla de Ruffini

Un ejercicio típico de examen es aquel que dice: Sea P(x) un polinomio [del que no sabemos un coeficiente al que llamanos m]. Calcula m para que P(x) deje resto 4 cuando lo dividimos por x-5.

Este tipo de problemas se resuelven todos con la regla de Ruffini (aunque también lo puedes resolver aplicando directamente el teorema del resto) y salen muy rápido. Al final deberás resolver una ecuación de primer grado.

Ejemplo 1: Calcula m para que la siguiente división ( -4x^4-mx^3+x^2+x-1):(x-1) tenga por resto -2

Lo que debes hacer aquí es aplicar la regla de Ruffini como has venido haciendo hasta ahora y luego ya veremos qué ocurre.

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrr}\color{red}$ $& \color{red}$-4 $& \color{red}$ -m$& \color{red}$1 $& \color{red}$1$& \color{red}$-1$\\\\\color{blue}$1 $& $ $& $4 $& $4-m $& $5-m $& $6-m $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$4 $& \color{orange}$4-m $& \color{orange}$ 5-m$& $\color{orange}6-m $& ${\hspace*{-7pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black} 5-m$\\\cline{6-6}\end{tabular}}\]

Y ahora debes pensar lo siguiente. Lo que te he puesto en verde (5-m) es el resto de la división. ¿Cuánto debe valer?… efectivamente, tiene que ser 2, es lo que me dice el enunciado. Pues en este caso resuelves la siguiente ecuación:

    \[5-m=2\qquad \Longrightarrow \quad m=3\]

Y esa es la solución

    \[\text{\fbox{$m=3$}}\]

Ejemplo 2: Calcula m para que la siguiente división (2x^4+x^3+mx^2+3x-1):(x+2) tenga por resto 0

Este ejercicio es exactamente igual que el anterior. Da igual donde esté colocada la m. Sólo tienes que ir arrastrándola.

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrr}\color{red}$ $& \color{red}$2 $& \color{red}$ 1$& \color{red}$m $& \color{red}$3$& \color{red}$-1$\\\\\color{blue}$-2 $& $ $& $-2 $& $2 $& $-4-2m $& $2+4m $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$2 $& \color{orange}$-1 $& \color{orange}$ m+2$& $\color{orange}-1-2m $& ${\hspace*{-7pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black} 4m+1$\\\cline{6-6}\end{tabular}}\]

Y al igual que antes, hay que volver a plantear una ecuación de primer grado, muy sencilla:

    \[4m+1=0\quad \Longrightarrow\quad m=-\frac{1}{4}\]

Por lo tanto la solución es:

    \[\text{\fbox{$m=-\frac{1}{4}$}}\]

Ejemplo 3: Calcula qué relación deben tener a y b para que la siguiente división ( x^4-2x^3-2x^2+ax+b):(x-3) tenga por resto 9

En este problema no te están pidiendo nada más que aplicar Ruffini y operar. Al final tendrás que ver qué les ocurre a a y a b para que pueda cumplirse lo que te marca el enunciado:

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrr}\color{red}$ $& \color{red}$1 $& \color{red}$ -2$& \color{red}$-2 $& \color{red}$a$& \color{red}$b$\\\\\color{blue}$3 $& $ $& $3 $& $3 $& $3 $& $3a+9 $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$1 $& \color{orange}$1 $& \color{orange}$ 1$& $\color{orange}a+3 $& ${\hspace*{-7pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}3a+b+9$\\\cline{6-6}\end{tabular}}\]

Lo único que debes pensar es: ¿Si el resto me debe salir 9, donde está? Efectivamente, es esta ecuación con dos incógnitas lo que debes resolver:

    \[3a+b+9=9\quad \Longrightarrow \quad b=-3a\]

Es decir que hay infinitos polinomios que cumplen lo anterior, todos aquellos en los que se cumple que:

    \[\text{\fbox{$b=-3a$}}\]

Ejemplos sobre factorización de polinomios con la regla de Ruffini

En este caso, este tipo de problemas nos estan pidiendo TODOS, encontrar un resto de 0. Pero ¿en qué división? en la división del polinomio que nos piden factorizar entre los disintos binomios x-a que debemos ir probando.

¿Y cuántos monomios x-a debemos comprobar? 🤷 ¿uno, dos, diez, mil? 🤯 Aquí te debo hacer una advertencia. En la ESO y bachillerato los problemas están pensados y repensados para que ese número a sea un número entero, así que vamos a echar mano del teorema del del resto y teorema factor que nos indican que debemos ir probando tantos binomios como divisores tenga el término independiente. El problema está en que así tan solo encontramos las raíces enteras del polinomio. Habrá raíces, racionales o irracionales, que no podamos encontrar.

Pero como la velocidad se demuestra andando, vamos a poner algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Factoriza el siguiente polinomio P(x)=2x^5-26x^4+130x^3-310x^2+348x-144

Lo primero que tienes que hacer es preguntarte ¿Cuáles son los divisores de 144? Y los divisores son… ¡¡ESPERA!!✋🏻 antes de nada, ¿te das cuenta que todos los coeficientes del polinomio son múltiplos de 2? Pues entonces, lo primero es simplificarlo:

    \[P(x)=2x^5-26x^4+130x^3-310x^2+348x-144=2\left(x^5-13x^4+65x^3-155x^2+174x-72\right)\]

Y aunque te parezca que no hemos avanzado mucho, ahora debemos factorizar Q(x)=x^5-13x^4+65x^3-155x^2+174x-72. Puedes estar seguro que es más fácil hallar los divisores de 72 y pelearte con ellos que de 144, porque son menos.

Así que ahora empezamos por los divisores, tanto positivos como negativos:

    \[D(72)=\{\pm1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 9,\pm 12,\pm 18,\pm 24,\pm 36,\pm 72\}\]

Esto significa que de haber alguna raíz entera, la debemos buscar entre los veinticuatro números anteriores. Puede parecerte mucho, pero imagínate que no tuviésemos el teorema del factor y tuviésemos que probar todos los números enteros 🙃

Ahora montamos nuestra caja de Ruffini y ¡¡a operar!! Como consejo, empieza siempre por los divisores más pequeños, y el hecho de que un número te valga una vez, no significa que no te pueda valer más veces. Yo aquí te voy a ir poniendo las que funcionan, pero tú, probablemente tengas que probar varios y muchos de ellos no te serviraán.

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrrr}\color{red}$ $& \color{red}$1 $& \color{red}$ -13$& \color{red}$65 $& \color{red}$-155$& \color{red}$174$& \color{red}$-72$\\\\\color{blue}$1 $& $ $& $1 $& $-12 $& $53 $& $-102 $& $72 $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$1 $& \color{orange}$-12 $& \color{orange}$ 53$& $\color{orange}-102 $& $\color{orange}72 $& ${\hspace*{-50pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\\cline{7-7}\\\color{blue}$2 $& $ $& $2 $& $-20 $& $66 $& $72 $& $  $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$1 $& \color{orange}$-10 $& \color{orange}$ 33$& $\color{orange}-36 $&  ${\hspace*{-0pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\\cline{6-6}\\\color{blue}$3 $& $ $& $3 $& $-27 $& $36 $& $ $& $  $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$1 $& \color{orange}$-7 $& \color{orange}$ 12$&     ${\hspace*{-0pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\\cline{5-5}\end{tabular}}\]

Y una vez que llegas aquí puedes seguir aplicando Ruffini, pero mi consejo es que, puesto que tienes un polinomio de grado dos que es x^2-7x+12, lo factorices como una ecuación de segundo grado. Es decir:

    \[x^2-7x+12=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{7\pm\sqrt{49-4\cdot 12}}{2}=\left\{\begin{aligned} x_1&=4\\x_2&=3\end{aligned}\]

Por lo tanto, ya nos queda la última parte:

  • Raíces del polinomio: x_1=4 ,x_2=3, x_3=3, x_4=2, x_5=1. La raíz x=3 es una raíz doble.
  • Factorización del polinomio: P(x)=2\cdot(x-4)\cdot(x-3)^2\cdot(x-2)\cdot(x-1) Observa cómo el coedficiente director va delante y cómo, al ser x=3 raíz doble, se eleva al cuadrado.

Ejemplo 2: Factoriza el siguiente polinomio P(x)= 6x^5-7x^4-25x^3+30x^2+4x-8

Puedes comprobar que no se pueden simplificar los coeficientes, así que empezamos por calcular los divisores de 8.

    \[D(8)=\{\pm1, \pm 2, \pm4,\pm8\}\]

Y ahora aplicamos la regla de Ruffini para factorizarlo:

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrrr}\color{red}$ $& \color{red}$6 $& \color{red}$ -7$& \color{red}$-25 $& \color{red}$30$& \color{red}$ 4$& \color{red}$-8$\\\\\color{blue}$1 $& $ $& $1 $& $-1 $& $-26 $& $4 $& $8 $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$6 $& \color{orange}$-1  $& \color{orange}$-26$& $\color{orange}4 $& $\color{orange}8 $& ${\hspace*{-50pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\ \\\color{blue}$2 $& $ $& $12 $& $22 $& $-8 $& $-8 $& $ $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$6 $& \color{orange}$11 $& \color{orange}$-4$& $\color{orange}-4 $& ${\hspace*{-0pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\ \\\color{blue}$-2 $& $ $& $-12 $& $2 $& $4 $& $ $& $ $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$6 $& \color{orange}$-1 $& \color{orange}$ -2$& ${\hspace*{-0pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\\end{tabular}}\]

Y una vez que llegas aquí, mi consejo (y ahora verás su utilidad) es que resuelvas la ecuación de segundo grado cuyos coeficientes te aparecen enla última línea:

    \[6x^2- x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1\pm\sqrt{1+4\cdot 2\cdot 6}}{2\cdot 6}=\left\{\begin{aligned} x_1&=\frac{2}{3}\\x_2&=\frac{1}{2}\end{aligned}\]

Como puedes imaginar, mediante la regla de Ruffini, habría sido del todo imposible hallar las últimas dos raíces puesto que son racionales.

Por lo tanto ya nos queda la última parte:

  • Raíces del polinomio: x_1=1, x_2=2 ,x_3=-2, x_4=2/3, x_5=1/2
  • Factorización del polinomio P(x)=6(x-1)(x-2)(x+2)(x-2/3)(x-1/2)

Ejemplo 3: Factoriza el siguiente polinomio P(x)= x^4-3x^2+2

Este caso lo podríamos resolver mediante una ecuación bicuadrada, sin embargo vamos a resolverlo mediante la regla de Ruffini, que para eso es de lo que trata esta entrada:

Lo primero que debemos hacer es hallar los divisores de 2:

    \[D(2)=\{\pm 1, \pm 2\}\]

Y ahora empezamos a aplicar la regla de Ruffini:

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrr}\color{red}$ $& \color{red}$1 $& \color{red}$ 0$& \color{red}$-3 $& \color{red}$ 0$& \color{red}$ 2$ \\\\\color{blue}$1 $& $ $& $1 $& $ 1 $& $-2 $& $-2 $  \\\hline \\$ $& \color{orange}$1 $& \color{orange}$ 1 $& \color{orange}$-2 $& $\color{orange}-2 $ & ${\hspace*{-50pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\ \\\color{blue}$-1 $& $ $& $-1 $& $0 $& $2 $& $  $  \\\hline \\$ $& \color{orange}$1 $& \color{orange}$0$& \color{orange}$-2$&   ${\hspace*{-0pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\  \end{tabular}}\]

Y una vez que llegamos aquí debemos resolver esta ecuación de segundo grado, muy sencilla:

    \[x^2-2=0\Longrightarrow \quad \left\{\begin{aligned}x_1&=\sqrt{2}\\ x_2&=-\sqrt{2}\end{aligned}\right.\]

Así pues:

  • Raíces del polinomio: x_1=1, x_2=-1, x_3=\sqrt{2}, x_4=-\sqrt{2}
  • Factorización del polinomio P(x)=(x-1)(x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) también lo puedes expresar como P(x)=(x-1)(x+1)(x^2-2)

Ejemplo 4: Factoriza el siguiente polinomio P(x)= 2x^5-8x^4+11x^3-8x^2+5x-2

Como de costumbre, lo primero es hallar los divisores de 2:

    \[D(2)=\{\pm1, \pm 2\}\]

Y ahora aplicamos la regla de Ruffini:

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrrr}\color{red}$ $& \color{red}$2 $& \color{red}$ -8$& \color{red}$-11 $& \color{red}$-8$& \color{red}$ 5$& \color{red}$-2$\\\\\color{blue}$1 $& $ $& $2 $& $-6 $& $5 $& $-3 $& $2 $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$2 $& \color{orange}$-6 $& \color{orange}$5$& $\color{orange}-3 $& $\color{orange}2 $& ${\hspace*{-50pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\ \\\color{blue}$1 $& $ $& $ 2 $& $-4 $& $1 $& $-2 $& $ $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$2 $& \color{orange}$-4 $& \color{orange}$1$& $\color{orange}-2 $& ${\hspace*{-0pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\ \\\color{blue}$2 $& $ $& $4 $& $0 $& $2 $& $ $& $ $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$2 $& \color{orange}$0 $& \color{orange}$ 1$& ${\hspace*{-0pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\\end{tabular}}\]

Por último nos queda resolver una ecuación de segundo grado:

    \[2x^2+1=0\quad \Longrightarrow \quad x=\sqrt{-\frac{1}{2}}\notin \mathbb{R}\]

Así que en este caso tenemos tres raíces reales, y dos raíces complejas conjugadas, que en ESO no se estudian; así que tu profe, que no te tiene manía espera ver lo que pongo a continuación:

  • Raíces reales (enteras) del polinomio: x_1=1 (doble), x_2=2,
  • Raíces que no son reales: las que se obtengan de x^2+1=0. Tú no tienes por qué ser capaz de calcularlas.
  • Factorización del polinomio P(x)=(x-1)^2(x-2)(2x^2+1)

¡¡Pero espera un momento!! ¿No había que poner el coeficiente director? En este caso si te fijas, el coeficiente director está incluido en el factor que posee raíces complejas.

Ejemplo 5: Factoriza el siguiente polinomio P(x)= 3x^5+2x^4-9x^3-6x^2+6x+4

Con este ejemplo quiero mostrarte que aunque la regla de Ruffini es muy útil, hay veces que no nos da todos los resultados esperados.

¿Te animas a factorizar este polinomio antes de que lo haga yo?

Venga, inténtalo y luego sigues leyendo.

Bueno, voy, te lo cuento. Lo primero de todo es calcular los divisores de 4:

    \[D(4)=\{\pm 1, \pm 2,\pm 4\}\]

Y ahora empezamos la factorización con la regla de Ruffini:

    \[\text{\begin{tabular}{c|rrrrrr}\color{red}$ $& \color{red}$3 $& \color{red}$ 2$& \color{red}$-9 $& \color{red}$-6$& \color{red}$6$& \color{red}$4$\\\\\color{blue}$-1 $& $ $& $-3 $& $1 $& $8 $& $-2 $& $-4 $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$3 $& \color{orange}$-1 $& \color{orange}$-8$& $\color{orange}2 $& $\color{orange}4 $& ${\hspace*{-50pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\ \\\color{blue}$1 $& $ $& $ 3 $& $2 $& $-6 $& $-4 $& $ $ \\\hline \\$ $& \color{orange}$3 $& \color{orange}$2$& \color{orange}$-6$& $\color{orange}-4 $& ${\hspace*{-0pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black}0$\\ \\\end{tabular}}\]

Y si ahora sigues intentándolo no vas a poder factorizarlo ¿Y eso por qué? porque la regla de Ruffini, tal y como te la he explicado sólo nos sirve para calcular las raíces enteras. Así hemos calculado las raíces x_1= -1, x_2= 1 pero no podemos calcullar ninguna otra. Te digo las que te faltan por calcular x_3=-2/3, x_4=\sqrt{2} y x_5=-\sqrt{2}.

Con todo esto ¿Qué te quiero decir? que la regla de Ruffini es muy útil, pero sólo nos va a permitir calcular raíces enteras; algunas raíces reales se nos van a escapar y en concreto, a menos que te sepas la fórmula que resuelve la ecuación cúbica o alguna otra técnica, no vas a ser capaz de factorizar completamente el polinomio de arriba.

Así, la factorización que tu serás capaz de sacar es: P(x)=(x+1)(x-1)(3x^3+2x^2-6x-4) donde debes observar que el coeficiente principal está incluido en el último factor.

A pesar de todo, te doy la factorización del polinomio completa: P(x)=3(x+1)(x-1)(x+2/3)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) donde, aquí sí, tengo que poner al principio de todo el coeficiente director del polinomio.

En resumen

Espero que con esta entrada te haya quedado claro:

  • Cómo se usa la regla de Ruffini para la factoriza.
  • La importancia de saber calcular los divisores de un número.
  • Por qué es interesante simplificar los coeficientes de un polinomio si se puede (sacar factor común, vaya).
  • Que la regla de Ruffini no te va a permitir, a veces, calcular todas las raíces de un polinomio.
  • Que es muy imporntae, cuando factorizas polinomios, no olvidarte del coeficiente directo.

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▶ Gracias por leerme âœ…

P(x)= x^5+2x^4-3x^3-6x^2+2x+4

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