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    • ▶🤔 ¿Qué es un grupo algebraico? 📌

    Por Luis PedroPublicado el Publicada en Álgebra, Educación SuperiorSin comentarios en ▶🤔 ¿Qué es un grupo algebraico? 📌

    Hoy te voy a hablar de qué es un grupo en matemáticas. Un grupo algebraico, o simplemente grupo, es una estructura matemática de las más sencillas y probablemente de las más importantes (o quizá la más importante). Lo único que se necesita es un conjunto, una operación interna definida en él y que cumpla una serie de propiedades.

    Hay otras estructuras algebráicas, entre ellas son muy interesantes:

    Pero a ellas les dedico otras entradas.

    Vamos a comenzar:

    Estructura de grupo

    Se llama grupo a todo conjunto no vacío, G, dotado de una ley de composición interna, asociativa, con elemento neutro y tal que cada uno de sus elementos admite un simétrico.

    Es decir, si x,\ y,\ \ldots,\ x',\ \ldots tienen a G como dominio de definición, y en G hay definida una ley interna *, para que (G,*) sea grupo, se debe verificar:

    • Ley interna: {\phantom{aaa}}\qquad \forall\ x, y\in G\Rightarrow \qquad (x*y)\in G
    • Asociatividad: {\phantom{aaa}}\qquad \forall\ x,\ y,\ z\in G\Rightarrow \quad (x*y)*z=x*(y*z)
    • Elemento neutro: {\phantom{aaa}}\qquad \exists e \in G: \forall x\in G\Rightarrow\quad e*x=x*e=x
    • Elemento simétrico: {\phantom{aaa}}\qquad \forall x\in G \exists x' \in G: \Rightarrow\quad x'*x=x'*x=e

    Existe otra propiedad que no todos los grupos la verifican. Se trata de la propiedad conmutativa, es decir:

        \[\forall x, y \in G\quad\Rightarrow\quad x* y=y*x\]

    Aquellos grupos que verifican la propiedad conmutativa se denominan abelianos o conmutativos.

    Propiedades

    • Debido a la asociatividad, podemos operar n elementos de G en el orden que queramos y no cambiará el resultado del cálculo.
    • El elemento neutro es único.
    • El elemento simétrico, x' es único (para cada x\in G).
    • Todos los elementos de un grupo son regulares.
    • En un grupo las ecuaciones a*x=b e y*a=b admiten solución única.

    Puedes ver mi vídeo donde demuestro estas tres propiedades a continuación: [simple_icon name=»youtube» size=»15pt»]

    Como ves la estructura de grupo depende de la operación definida. Y también sabes que hay determinadas operaciones que son más «comunes» que otras; esto hace que haya determinadas formas de representar y llamar a los diferentes elementos de un grupo. Por eso viene muy bien la siguiente tabla, que he recogido del libro de Lentin y Rivaud (es una imagen, puedes descargártela):

    Vocabulario y notación para un grupo algebraico.
    Vocabulario usado para los diferentes elementos de un grupo algebraico. Tomado de Lentin (1971).

    Ejemplos de grupos finitos


    ¿Son los números naturales \mathbb{N} un grupo?

    La respuesta rápida es NO. Los números naturales no constituyen un grupo. Pero me imagino que querrás que lo especifique un poco.

    Sea \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\} es decir el conjunto de los números naturales completado con el 0. Veamos qué propiedades de grupo verifican:

    PARA LA SUMA

    • Es una operación interna: SI
    • Es una operación asociativa: SI
    • Existe elemento neutro: SI
    • Existe elemento simétrico (opuesto): NO

    Estoy preparando un vídeo con las demostraciones. En unos días estará completo. [simple_icon name=»youtube» size=»15pt»]

    A pesar de todo:

    La suma en \mathbb{N} es conmutativa:

    La estructura algebraica de los números naturales para la suma es:

    Monoide conmutativo (semigrupo).

    PARA EL PRODUCTO

    • Es una operación interna: SI
    • Es una operación asociativa:SI
    • Existe elemento neutro:SI
    • Existe elemento simétrico (opuesto): NO

    Estoy preparando un vídeo con las demostraciones. En unos días estará completo. [simple_icon name=»youtube» size=»15pt»]

    A pesar de todo:

    El producto en \mathbb{N} es conmutativs:

    La estructura algebraica de los números naturales para el producto es:

    Monoide conmutativo con elemento unidad.

    ¿Entonces no me vas a dar ningún ejemplo de grupo?

    Tranquilo. Sí. Te voy a dar varios ejemplos de grupos, pero quería empezar por mostrarte que los naturales no lo son. Así que ahora vamos a entrar en harina:

    Para los enteros, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} son un grupo aditivo

    Para los enteros \left(\mathbb{Z},+\right)

    Para los enteros

    PARA LA SUMA

    • Es una operación interna: SI, porque cualquier entero sumado a otro entero, nos da un número entero:

          \[+:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\]

    • Es una operación asociativa: SI, porque si a,b,c\in \mathbb{Z} entonces:

          \[a+(b+c)=(a+b)+c\]

    • Existe elemento neutro: SI, el elemento neutro de la suma es el 0\in \mathbb{Z} ya que \forall a\in \mathbb{Z}: a+0=a
    • Existe elemento simétrico (opuesto): SI, y cada elemento a\in \mathbb{Z} tiene un simétrico diferernte a'\in\mathbb{Z} que llamamos opuesto y representamos como -a:

          \[a+(-a)=0\]

    Por lo tanto, los números enteros con la operación suma (\mathbb{Z},+) forman un grupo aditivo

    PARA EL PRODUCTO

    • Es una operación interna: SI, porque cualquier entero multiplicado por otro entero, nos da un número entero:

          \[\cdot :\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\]

    • Es una operación asociativa: SI, porque si a,b,c\in \mathbb{Z} entonces:

          \[a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\]

    • Existe elemento neutro: SI, el elemento neutro del producto es el 1\in \mathbb{Z} ya que \forall a\in \mathbb{Z}: a\cdot 1=a
    • Existe elemento simétrico (inverso): NO, ya que por ejemplo 2\in \mathbb{Z} y su inverso es \frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}

    Por lo tanto, los números enteros con la operación producto (\mathbb{Z},\cdot) no tienen estructura de grupo. La estructura que sí verifican es la de semigrupo (no verifican el elemento inverso).

    Para los racionales \left(\mathbb{Q},+\right)

    No voy a entrar en la construcción algebraica de los números racionales, pero allí podrás ver las demostraciones de las siguientes propiedades. De momentos aquí, solo te las enumero:

    • ¿Es una operación interna? Sí porque cualquier número racional sumado a otro número racional, nos proporciona unnúmero racional +:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{Q}
    • ¿Es una operación asociativa? Sí, porque si tenemos a,b,c\in\mathbb{Q} entonces a+(b+c)=(a+b)+c
    • ¿Posee elemento neutro? Sí, es el 0 y tenemos que: \forall a\in \mathbb{Q}: a+0=0+a=a
    • ¿Todos los elementos poseen simétrico (opuesto)? Si, porque \forall a\in \mathbb{Q} \exists a': a+a'=a'+a=0 al elemento opuesto normalmente se le representa por -a

    Así que sí:

    Los números racionales con la operación suma, \left(\mathbb{Q},+\righta) forman un grupo aditivo.

    De hecho, puedes estar seguro de que, debido a la manera en que se construyen los números reales \left(\mathbb{R}\right), y los complejos \left(\mathbb{C}\right) estos dos conjuntos numéricos también son grupos.

    Es más, los racionales, los reales y los complejos son cuerpos algebraicos. Pero esto son otras historias….

    En fin, nada mas por hoy

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    Bibliografía

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