▶🤔 ¿Qué es un grupo algebraico? 📌

Hoy te voy a hablar de qué es un grupo en matemáticas. Un grupo algebraico, o simplemente grupo, es una estructura matemática de las más sencillas y probablemente de las más importantes (o quizá la más importante). Lo único que se necesita es un conjunto, una operación interna definida en él y que cumpla una serie de propiedades.

Hay otras estructuras algebráicas, entre ellas son muy interesantes:

Pero a ellas les dedico otras entradas.

Vamos a comenzar:

Estructura de grupo

Se llama grupo a todo conjunto no vacío, G, dotado de una ley de composición interna, asociativa, con elemento neutro y tal que cada uno de sus elementos admite un simétrico.

Es decir, si x,\ y,\  \ldots,\ x',\ \ldots tienen a G como dominio de definición, y en G hay definida una ley interna *, para que (G,*) sea grupo, se debe verificar:

  • Ley interna: {\phantom{aaa}}\qquad \forall\  x, y\in G\Rightarrow \qquad (x*y)\in G
  • Asociatividad: {\phantom{aaa}}\qquad \forall\ x,\ y,\ z\in G\Rightarrow \quad (x*y)*z=x*(y*z)
  • Elemento neutro: {\phantom{aaa}}\qquad \exists e \in G: \forall x\in G\Rightarrow\quad e*x=x*e=x
  • Elemento simétrico: {\phantom{aaa}}\qquad  \forall x\in G \exists x' \in G: \Rightarrow\quad x'*x=x'*x=e

Existe otra propiedad que no todos los grupos la verifican. Se trata de la propiedad conmutativa, es decir:

    \[\forall x, y \in G\quad\Rightarrow\quad x* y=y*x\]

Aquellos grupos que verifican la propiedad conmutativa se denominan abelianos o conmutativos.

Propiedades

  • Debido a la asociatividad, podemos operar n elementos de G en el orden que queramos y no cambiará el resultado del cálculo.
  • El elemento neutro es único.
  • El elemento simétrico, x' es único (para cada x\in G).
  • Todos los elementos de un grupo son regulares.
  • En un grupo las ecuaciones a*x=b e y*a=b admiten solución única.

Puedes ver mi vídeo donde demuestro estas tres propiedades a continuación: [simple_icon name=»youtube» size=»15pt»]

Como ves la estructura de grupo depende de la operación definida. Y también sabes que hay determinadas operaciones que son más «comunes» que otras; esto hace que haya determinadas formas de representar y llamar a los diferentes elementos de un grupo. Por eso viene muy bien la siguiente tabla, que he recogido del libro de Lentin y Rivaud (es una imagen, puedes descargártela):

Vocabulario y notación para un grupo algebraico.
Vocabulario usado para los diferentes elementos de un grupo algebraico. Tomado de Lentin (1971).

Ejemplos de grupos finitos


¿Son los números naturales \mathbb{N} un grupo?

La respuesta rápida es NO. Los números naturales no constituyen un grupo. Pero me imagino que querrás que lo especifique un poco.

Sea \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\} es decir el conjunto de los números naturales completado con el 0. Veamos qué propiedades de grupo verifican:

PARA LA SUMA

  • Es una operación interna: SI
  • Es una operación asociativa: SI
  • Existe elemento neutro: SI
  • Existe elemento simétrico (opuesto): NO

Estoy preparando un vídeo con las demostraciones. En unos días estará completo. [simple_icon name=»youtube» size=»15pt»]

A pesar de todo:

La suma en \mathbb{N} es conmutativa:

La estructura algebraica de los números naturales para la suma es:

Monoide conmutativo (semigrupo).

PARA EL PRODUCTO

  • Es una operación interna: SI
  • Es una operación asociativa:SI
  • Existe elemento neutro:SI
  • Existe elemento simétrico (opuesto): NO

Estoy preparando un vídeo con las demostraciones. En unos días estará completo. [simple_icon name=»youtube» size=»15pt»]

A pesar de todo:

El producto en \mathbb{N} es conmutativs:

La estructura algebraica de los números naturales para el producto es:

Monoide conmutativo con elemento unidad.

¿Entonces no me vas a dar ningún ejemplo de grupo?

Tranquilo. Sí. Te voy a dar varios ejemplos de grupos, pero quería empezar por mostrarte que los naturales no lo son. Así que ahora vamos a entrar en harina:

Para los enteros, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} son un grupo aditivo

Para los enteros \left(\mathbb{Z},+\right)

Para los enteros

PARA LA SUMA

  • Es una operación interna: SI, porque cualquier entero sumado a otro entero, nos da un número entero:

        \[+:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\]

  • Es una operación asociativa: SI, porque si a,b,c\in \mathbb{Z} entonces:

        \[a+(b+c)=(a+b)+c\]

  • Existe elemento neutro: SI, el elemento neutro de la suma es el 0\in \mathbb{Z} ya que \forall a\in \mathbb{Z}: a+0=a
  • Existe elemento simétrico (opuesto): SI, y cada elemento a\in \mathbb{Z} tiene un simétrico diferernte a'\in\mathbb{Z} que llamamos opuesto y representamos como -a:

        \[a+(-a)=0\]

Por lo tanto, los números enteros con la operación suma (\mathbb{Z},+) forman un grupo aditivo

PARA EL PRODUCTO

  • Es una operación interna: SI, porque cualquier entero multiplicado por otro entero, nos da un número entero:

        \[\cdot :\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\]

  • Es una operación asociativa: SI, porque si a,b,c\in \mathbb{Z} entonces:

        \[a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\]

  • Existe elemento neutro: SI, el elemento neutro del producto es el 1\in \mathbb{Z} ya que \forall a\in \mathbb{Z}: a\cdot 1=a
  • Existe elemento simétrico (inverso): NO, ya que por ejemplo 2\in \mathbb{Z} y su inverso es \frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}

Por lo tanto, los números enteros con la operación producto (\mathbb{Z},\cdot) no tienen estructura de grupo. La estructura que sí verifican es la de semigrupo (no verifican el elemento inverso).

Para los racionales \left(\mathbb{Q},+\right)

No voy a entrar en la construcción algebraica de los números racionales, pero allí podrás ver las demostraciones de las siguientes propiedades. De momentos aquí, solo te las enumero:

  • ¿Es una operación interna? Sí porque cualquier número racional sumado a otro número racional, nos proporciona unnúmero racional +:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{Q}
  • ¿Es una operación asociativa? Sí, porque si tenemos a,b,c\in\mathbb{Q} entonces a+(b+c)=(a+b)+c
  • ¿Posee elemento neutro? Sí, es el 0 y tenemos que: \forall a\in \mathbb{Q}: a+0=0+a=a
  • ¿Todos los elementos poseen simétrico (opuesto)? Si, porque \forall a\in \mathbb{Q} \exists a': a+a'=a'+a=0 al elemento opuesto normalmente se le representa por -a

Así que sí:

Los números racionales con la operación suma, \left(\mathbb{Q},+\righta) forman un grupo aditivo.

De hecho, puedes estar seguro de que, debido a la manera en que se construyen los números reales \left(\mathbb{R}\right), y los complejos \left(\mathbb{C}\right) estos dos conjuntos numéricos también son grupos.

Es más, los racionales, los reales y los complejos son cuerpos algebraicos. Pero esto son otras historias….

En fin, nada mas por hoy

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Bibliografía

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