▶🤔 ¿Qué es un grupo algebraico? 📌

Hoy te voy a hablar de qué es un grupo en matemáticas. Un grupo algebraico, o simplemente grupo, es una estructura matemática de las más sencillas y probablemente de las más importantes (o quizá la más importante). Lo único que se necesita es un conjunto, una operación interna definida en él y que cumpla una serie de propiedades.

Hay otras estructuras algebráicas, entre ellas son muy interesantes:

Pero a ellas les dedico otras entradas.

Vamos a comenzar:

Estructura de grupo

Se llama grupo a todo conjunto no vacío, $G$ , dotado de una ley de composición interna, asociativa, con elemento neutro y tal que cada uno de sus elementos admite un simétrico.

Es decir, si $x,\ y,\ \ldots,\ x',\ \ldots$ tienen a $G$ como dominio de definición, y en $G$ hay definida una ley interna $*$ , para que $(G,*)$ sea grupo, se debe verificar:

Ley interna: ${\phantom{aaa}}\qquad \forall\ x, y\in G\Rightarrow \qquad (x*y)\in G$
Asociatividad: ${\phantom{aaa}}\qquad \forall\ x,\ y,\ z\in G\Rightarrow \quad (x*y)*z=x*(y*z)$
Elemento neutro: ${\phantom{aaa}}\qquad \exists e \in G: \forall x\in G\Rightarrow\quad e*x=x*e=x$
Elemento simétrico: ${\phantom{aaa}}\qquad \forall x\in G \exists x' \in G: \Rightarrow\quad x'*x=x'*x=e$

Existe otra propiedad que no todos los grupos la verifican. Se trata de la propiedad conmutativa, es decir:

$\forall x, y \in G\quad\Rightarrow\quad x* y=y*x$

Aquellos grupos que verifican la propiedad conmutativa se denominan abelianos o conmutativos.

Propiedades

Debido a la asociatividad, podemos operar $n$ elementos de $G$ en el orden que queramos y no cambiará el resultado del cálculo.
El elemento neutro es único.
El elemento simétrico, $x'$ es único (para cada $x\in G$ ).
Todos los elementos de un grupo son regulares.
En un grupo las ecuaciones $a*x=b$ e $y*a=b$ admiten solución única.

Puedes ver mi vídeo donde demuestro estas tres propiedades a continuación: [simple_icon name=»youtube» size=»15pt»]

Como ves la estructura de grupo depende de la operación definida. Y también sabes que hay determinadas operaciones que son más «comunes» que otras; esto hace que haya determinadas formas de representar y llamar a los diferentes elementos de un grupo. Por eso viene muy bien la siguiente tabla, que he recogido del libro de Lentin y Rivaud (es una imagen, puedes descargártela):

Vocabulario y notación para un grupo algebraico. — Vocabulario usado para los diferentes elementos de un grupo algebraico. Tomado de Lentin (1971).

Ejemplos de grupos finitos

¿Son los números naturales $\mathbb{N}$ un grupo?

La respuesta rápida es NO. Los números naturales no constituyen un grupo. Pero me imagino que querrás que lo especifique un poco.

Sea $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$ es decir el conjunto de los números naturales completado con el $0$ . Veamos qué propiedades de grupo verifican:

PARA LA SUMA

Es una operación interna: SI
Es una operación asociativa: SI
Existe elemento neutro: SI
Existe elemento simétrico (opuesto): NO

Estoy preparando un vídeo con las demostraciones. En unos días estará completo. [simple_icon name=»youtube» size=»15pt»]

A pesar de todo:

La suma en $\mathbb{N}$ es conmutativa:

La estructura algebraica de los números naturales para la suma es:

Monoide conmutativo (semigrupo).

PARA EL PRODUCTO

Es una operación interna: SI
Es una operación asociativa:SI
Existe elemento neutro:SI
Existe elemento simétrico (opuesto): NO

Estoy preparando un vídeo con las demostraciones. En unos días estará completo. [simple_icon name=»youtube» size=»15pt»]

A pesar de todo:

El producto en $\mathbb{N}$ es conmutativs:

La estructura algebraica de los números naturales para el producto es:

Monoide conmutativo con elemento unidad.

¿Entonces no me vas a dar ningún ejemplo de grupo?

Tranquilo. Sí. Te voy a dar varios ejemplos de grupos, pero quería empezar por mostrarte que los naturales no lo son. Así que ahora vamos a entrar en harina:

Para los enteros, $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ son un grupo aditivo

Para los enteros $\left(\mathbb{Z},+\right)$

Para los enteros

PARA LA SUMA

Es una operación interna: SI, porque cualquier entero sumado a otro entero, nos da un número entero:
$+:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$
Es una operación asociativa: SI, porque si $a,b,c\in \mathbb{Z}$ entonces:
$a+(b+c)=(a+b)+c$
Existe elemento neutro: SI, el elemento neutro de la suma es el $0\in \mathbb{Z}$ ya que $\forall a\in \mathbb{Z}: a+0=a$
Existe elemento simétrico (opuesto): SI, y cada elemento $a\in \mathbb{Z}$ tiene un simétrico diferernte $a'\in\mathbb{Z}$ que llamamos opuesto y representamos como $-a$ :
$a+(-a)=0$

Por lo tanto, los números enteros con la operación suma $(\mathbb{Z},+)$ forman un grupo aditivo

PARA EL PRODUCTO

Es una operación interna: SI, porque cualquier entero multiplicado por otro entero, nos da un número entero:
$\cdot :\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$
Es una operación asociativa: SI, porque si $a,b,c\in \mathbb{Z}$ entonces:
$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Existe elemento neutro: SI, el elemento neutro del producto es el $1\in \mathbb{Z}$ ya que $\forall a\in \mathbb{Z}: a\cdot 1=a$
Existe elemento simétrico (inverso): NO, ya que por ejemplo $2\in \mathbb{Z}$ y su inverso es $\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}$

Por lo tanto, los números enteros con la operación producto $(\mathbb{Z},\cdot)$ no tienen estructura de grupo. La estructura que sí verifican es la de semigrupo (no verifican el elemento inverso).

Para los racionales $\left(\mathbb{Q},+\right)$

No voy a entrar en la construcción algebraica de los números racionales, pero allí podrás ver las demostraciones de las siguientes propiedades. De momentos aquí, solo te las enumero:

¿Es una operación interna? Sí porque cualquier número racional sumado a otro número racional, nos proporciona unnúmero racional $+:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{Q}$
¿Es una operación asociativa? Sí, porque si tenemos $a,b,c\in\mathbb{Q}$ entonces $a+(b+c)=(a+b)+c$
¿Posee elemento neutro? Sí, es el 0 y tenemos que: $\forall a\in \mathbb{Q}: a+0=0+a=a$
¿Todos los elementos poseen simétrico (opuesto)? Si, porque $\forall a\in \mathbb{Q} \exists a': a+a'=a'+a=0$ al elemento opuesto normalmente se le representa por $-a$

Así que sí:

Los números racionales con la operación suma, $\left(\mathbb{Q},+\righta)$ forman un grupo aditivo.

De hecho, puedes estar seguro de que, debido a la manera en que se construyen los números reales $\left(\mathbb{R}\right)$ , y los complejos $\left(\mathbb{C}\right)$ estos dos conjuntos numéricos también son grupos.

Es más, los racionales, los reales y los complejos son cuerpos algebraicos. Pero esto son otras historias….

En fin, nada mas por hoy

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Bibliografía

Lentin, A., Rivaud, J.; 1971; Algebra Moderna; Ed. Aguilar; Madrid.
Delgado Pineda, M.; Muñoz Bouzo, M. J.; 2010; Lenguaje matemático, conjuntos y números; Ed. Sanz y Torres; Madrid; ISBN: 978-84-82948-30-7.