👍 ▶ Monomios ¿Qué es eso? 📖

Así que has llegado al momento del curso en el que estudias el álgebra, y como le pasa a muchas personas, se te ha atragantado un poco… Bueno, en esta estrada voy a intentar aclararte algo algunas cuestiones.

Los monomios… Cuando se empieza a estudiar álgebra en 1ESO una de las primeras cosas con las que se enfrentan los chicos son los monomios y sus operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división). En ese año la intención es presentar a los alumnos qué es un monomio1️⃣, binomio2️⃣ y trinomio3️⃣, los nombres que deben interiorizar (coeficiente, grado, parte literal) y poco más.  

En general los alumnos, al principio se sienten un pelín incómodos, pero mi experiencia me dice que es debido a que son conceptos nuevos, en vez de a la dificultad intrínseca de la nueva materia de estudio. La verdad es que la mayoría de ellos lo acaban comprendiendo sin demasiados problemas.

En 2 ESO se vuelve sobre el tema, volviendo a recordar todo lo que se ha dicho en 1ESO, pero ahora se van añadiendo otras cuestiones como suma ➕ y multiplicación ✖ de polinomios así como la división de polinomios ➗. Esto último sí les cuesta a los alumnos, debido a que «pillar el truco» al algoritmo de la división requiere un poco de esfuerzo y atención. También es cierto que las divisiones que se plantean en 2 ESO no son excesivamente trabajosas.  

Sin embargo, a pesar de que la división de polinomios parece que les va a costar, la realidad es que lo que más les cuesta son los productos notables:  

    \[(a+b)^2= a^2+2ab+b^2\]

 

    \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

 

    \[(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2\]

 

Estas tres formulillas acaban siendo un mundo para los chicos de 2ESO y también en cursos posteriores de 3 ESO, 4 ESO e incluso en 1 bachillerato. Si bien tú puedes preguntarles ¿cuál es el cuadrado de una suma? y la mayoría te contestará como un papagayo el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo, lo cierto es que ejercicios como el siguiente se atragantan bastante:

Simplifica al máximo esta expresión: (2x-2)^2+2\cdot (x+1)^2-(2x+3)(2x-3)

Es verdad que la cantidad de errores que se cometen desconciertan a cualquiera, unos más sutiles que otros. Y date cuenta que en el ejercicio anterior se preguntan muchas cosas:  

  • ¿Te sabes los productos notables? ✔
  • ¿Sabes multiplicar un escalar (número) por un polinomio? ✔
  • ¿Sabes la jerarquía de operaciones? ✔
  • ¿Sabes sumar polinomios? ✔

Afortunadamente en 3ESO se vuelve sobre el tema y la situación mejora: ya hay menos errores, aunque algunos aparecen como los irreductibles galos en las historias de Astérix y Obélix 🥵 Además, en ese curso se añade cierta complejidad al tema añadiendo la factorización de polinomios y la regla de Ruffini. Como ves cada año se repite lo anterior, pero se incluye algo más.  

Así que esta entrada es para ti, estés en 1ESO o 1Bachillerato. Espero que aprendas a partir de ahora qué es un polinomio y los productos notables; espero que con esta entrada aprendas a sumar, restar, multiplicar y dividir tanto monomios como polinomios. La explicación de la regla de Ruffini merece un apartado para ella sola y la dejamos para otra entrada.  

Monomios y polinomios ¿pero eso qué es lo que es? 

Cuando tengo que explicar en 1ESO qué es un monomio, lo defino diciendo que es una multiplicación de letras y números. Así, al igual que tú puedes multiplicar 4\cdot 7 o bien 9\cdot 13\cdot 5\cdot 6 puedes multiplicar letras entre sí y éstas con números. Por ejemplo, los siguientes son tres monomios distintos:  

    \[3xy^2\qquad 5x^2y\qquad x^2yz\]

 

Vamos a analizarlos para ver qué ocurre en cada uno de ellos: 🕵️‍♀️ 

  • 3xy^2 en este monomio hemos multiplicado el número 3 (se denomina coeficiente) por las letras x e y, pero además, la letra y está elevada al cuadrado, lo cual es una forma abreviada de escribir y\cdot y. Por tanto, este monomio podría haberlo escrito como 3\cdot x\cdot y \cdot y ¿por qué no se escribe así? Por una cuestión de espacio y comodidad: imagínate que desarrollases el siguiente monomio 2x^6y^4z^9; acabaría ocupando una línea entera y sería difícil de manejar.  
  • 5x^2y en este caso tenemos un monomio donde aparecen multiplicados el número 5 (igual que antes se llama coeficiente) y las letras x e y, como antes. Pero ahora, la letra que está elevada al cuadrado es la x. Al igual que antes, podrías haber escrito este monomio como: 5\cdot x\cdot x\cdot y pero acostúmbrate a verlo en la forma compacta. 
  • x^2yz para este monomio ¿cuál es el número? Pues el número es 1 pero no aparece, porque multiplicar por 1 es dejar las cosas como están, así que no se escribe.  En mis clases estos números que estar están, pero no se los ve los denominamos espías.

    Llamarlos espías fue un recurso que se me ocurrió🤔 una vez mientras intentaba explicar que el número \displaystyle 3\text{ y } \frac{3}{1} son lo mismo, pero que el 1 del denominador no se escribe; el caso es que tras varios intentos de hacérselo ver de una manera y otra, y otra… se me vino a la cabeza llamarlos espías y además funciona, porque los espías no se ven pero están, y si no los tienes en cuenta te pueden hacer una faena en los cálculos. Desde entonces he comprobado que el concepto de número espía funciona genial para explicar denominadores, exponentes o multiplicaciones por 1… De hecho algunos alumnos ya te lo van diciendo y de repente te dicen ¡¡En este ejercicio hay espías?? No sé qué ocurrirá cuando llegue otro profesor que no sepa qué es un espía… 😂

    Volviendo con nuestro monomio x^2yz, vamos a ver qué ocurre con las letras: tenemos la x, la y y la z. Además la x está elevada al cuadrado, así que podría haberlo escrito como 1\cdot x\cdot x\cdot y \cdot z, pero al igual que antes se prefiere la forma compacta porque es más fácil de manejar.  

Entones, ¿si tienen las mismas letras es que son iguales? La respuesta rápida es depende 🤯 Depende de si tienen el mismo coeficiente y de si los exponentes de las letras son iguales. Así:

  • 3x^2y es distinto de 4x^2y, simplemente porque poseen diferentes coeficientes 3️⃣ y 4️⃣
  • Por otro lado, 5x^3y^2 también es distinto de 5xy porque los exponentes de x y de y son diferentes 3️⃣ y 2️⃣
  • Finalmente, 2x^5z y z2x^5 son el mismo monomio aunque el segundo aparece desordenado. Lo que se suele hacer es escribir ✍ primero el coeficiente y luego las letras, y si hay varias, yo las suelo ordenar por orden alfabético o bien por orden de los exponentes.

Espero que hasta aquí no hayas tenido ningún problema en comprender qué es un monomio y te haya quedado claro que no es más que un producto entre letras y números. Ahora vamos a ponerle nombre a cada una de estas cosas.  

Nombres que debes saber en un monomio

Trabajaremos con este monomio:

    \[7x^2y^3z\]

 

  • El número 7 ya te he dicho antes que se llama coeficiente, y como ya has visto en el último ejemplo anterior, si no aparece escrito el coeficiente es 1.  
    Si ves un monomio donde no aparece escrito el coeficiente y deduces que éste es 0, tu profe que no te tiene manía, te lo va a contar como error 🤔. Porque… ¿¿qué significa / qué ocurre cuando multiplicamos algo por 0?? 
  • Toda la parte que tiene letras x^2y^3z se denomina parte literal.  
  • La suma de los exponentes a los que están elevadas cada una de las letras, se denomina grado. En este caso nuestro monomio tiene el siguiente grado:

        \[gr(7x^2y^3z)=2+3+1=6\]

     
    ¿De dónde aparecen estos números? 
    • Claramente gr significa grado del monomio  ✔
    • 2 es el exponente de la x, ✔
    • 3 es el exponente de la y, ✔
    • 1 es el exponente de la z. Ten en cuenta que cuando en una potencia no aparece el exponente significa que es 1. No significa que sea 0. Por ejemplo, al igual que 4=4^1 debes interpretar que z=z^1. Y esta es la razón por la que aparecen los tres números 2,\, 3,\, 1. Acuérdate de los espías ‼

Todo lo anterior te lo dejo puesto en forma de imagen:

«Partes» de un monomio: Coeficiente en rojo y parte literal en azul. Dentro de esta última, la suma de los exponentes de cada una de las letras constituye el grado del monomio (2+5+1+1=9 en este caso).

Y los binomios 2️⃣, trinomios 3️⃣ y polinomios 🔢 ¿Cuándo nos los presentas?

Pues ahora mismo. Vamos a pensar primero qué significa cada una de estas palabras: 

  • Binomio: cuando en una palabra aparece «bi-» tiene un significado de dos. Pues esto es exactamente lo que significa ahora: dos monomios. Pero estos deben estar unidos mediante una suma o una resta. Si los unes mediante una multiplicación o división no obtienes un binomio, sino otra cosa que puede ser un monomio o bien una fracción algebraica.  
    Te pongo ejemplos de binomios:  

        \[3x^2 -y^3\qquad \qquad 6x^3+x^2y^2z \qquad \qquad 3y^2-5z\]

     
  • Trinomio: al igual que antes, cuando aparece la palabra «tri-» significa que son tres cosas. En este caso se trata de tres monomios unidos por una suma o una resta.  
    Te pongo unos ejemplos sobre trinomios:  

        \[4x-2x^2+5\qquad -5x^4+3x-yz\qquad 2x^2y^3-3y^3+x^2\]

     
  • Lo siguiente serían los tetranomios, pentanomios… pero sinceramente, yo no lo he visto escrito en ningún texto de ningún nivel. Es muy común ver escrito la palabra binomio, y trinomio no es del todo extraño. Pero a partir de ahí (cuando son 4, 5, 6… monomios) nos referimos a ellos como polinomios. 
  • Polinomio: Un polinomio, al igual que antes no es más que varios monomios unidos mediante sumas o restas.  
    Aquí van unos cuantos ejemplos:  

        \[3x^3-4xy+z-xyz-x^2y^5\qquad -t^4-5x^2y+3x+9\qquad 8x+3y-2z+xyz+5\qquad x^4-3x^3-8x^2+x-5\]

     

 
Coeficientes y grados de los polinomios

Para el caso de los monomios esta pregunta es muy sencilla, pero si estamos trabajando con polinomios (incluiremos aquí también los binomios) definir su coeficiente y su grado no es evidente.  

Para empezar vamos a ir dando nombre a los polinomios. Se les suele llamar de la siguiente manera: P(x); \, Q(x,y); \, R(x)\ldots Esto no significa más que lo siguiente:

  • P(x) Tenemos un polinomio que lo vamos a identificar con la letra P y cuya única variable es x.
  • Q(x,y) Tenemos un polinomio que lo vamos a identificar con la letra Q y cuyas variables son x e y.
  • Y así con todos, una letra mayúscula, y entre paréntesis las variables que incluye. Ya te adelanto que los únicos polinomios con los que vas a trabajar en ESO y Bachillerato son aquellos de una única variable.

Como las cosas se ven mejor con un ejemplo, vamos a estudiar el siguiente polinomio:

    \[P(x)= -7x^5+4x^4-4x^3+x^2-3\]

Como puedes ver te lo he escrito de forma ordenada, es decir, he identificado cada monomio y los he colocado en orden decreciente de su grado.

  • Primero he puesto el monomio -7x^5 que es el de mayor grado.
  • Luego aparece 4x^4 que es el siguiente de mayor trado.
  • A continuación puedes ver 4x^3.
  • El último monomio con la letra x es x^2 ¿Su coeficiente?, efectivamente, aquí hay un espía y su coeficiente es 1.
  • Finalmente aparece un número -3, que se considera un monomio de grado 0. Date cuenta que x^0=1 por lo que el gr(3)=0

Cuando trabajes con polinomios debes ordenarlos así de mayor a menor grado. Hay quien lo ordena de menor a mayor grado, pero mi consejo, en la ESO y Bachillerato es que los ordenes como lo he hecho yo, de mayor a menor grado 😀

¿Cuál es el grado de este polinomio?

Cuando debes calcular el grado de un polinomio debes fijarte en el monomio de mayor grado: ¡¡ese es su grado!!

📢 El grado de un polinomio, es el grado de su monomio de mayor grado‼ 🔥

Así que si volvemos a nuestro polinomio original: P(x)= -7x^5+4x^4-4x^3+x^2-3 podemos decir que el grado es gr(P(x))=5 ya que es el grado de su monomio de mayor grado.

Bien, y ¿Qué pasa con los coeficientes?

Como ves, en cada monomio tenemos un coeficiente. En este sentido hay dos coeficientes que son los más importantes:

  • El coeficiente del monomio de mayor grado se denomina coeficiente principal o coeficiente director. En nuestro caso, el coeficiente principal es \phantom{\vbox{\vspace*{5mm}}}-7
  • Otro coeficiente importante dentro de un polinomio es aquel de grado cero, en nuestro ejemplo es el número \phantom{\vbox{\vspace*{5mm}}} -3. Este número se denomina término independiente. Puede haber polinomios en donde no aparezca el término independiente, como por ejemplo en Q(x)=5x^8-3x^3-x^2+10x

Así que debes recordar que:

📢 En un polinomio, el coeficiente de su monomio de mayor grado se denomina coeficiente principal o director‼ 🔥

📢 En un polinomio, el coeficiente de su monomio de grado 0 se llama término independiente ‼🔥

Podemos ver todo esto en unta tabla:

PolinomioMonomio de
mayor grado
Coeficiente
director
GradoTérmino
independiente
P(x)= 3x^2-5x+23x^2+3gr(P(x))=2+2
Q(x)=-x^4-x^2+x-1-x^4-1gr(P(x))=4-1
R(x)=5x^8-3x^3-x^2+10x5x^8+5gr(P(x))=8No tiene
S(x)=-4x^2+x-4x^2-4gr(P(x))=2No tiene
Concepto de polinomio, coeficiente director, grado y término independiente.

Operaciones aritméticas con monomios

En este apartado te voy a mostrar la manera que hay de sumar, restar y multiplicar polinomios. La división de polinomios merece una entrada propia pues el algoritmo, a pesar de ser rutinario es complejo y hay que pillarle el truco. Asimismo dedicaremos otra entrada a la factorización de polinomios.

Operaciones con los monomios

Vamos a ver la suma, la resta, la multiplicación y la división de monomios, tanto por un escalar (número) como por otro monomio.

Suma de monomios

Para poder sumar monomios, y que el resultado sea otro monomio, el requisito fundamental es que posean la misma parte literal:

Si queremos sumar 4x^2y y 7x^2y podemos sumarlos porque tienen la misma parte literal (x^2y). Así:

    \[4x^2y+7x^2y=11x^2y\]

Imagínate que en vez de x^2y tienes manzanas🍏 Resulta que este caso tendrías que sumar 4 🍏+7🍏=11🍏 Lo que quiero que entiendas es que la parte literal es lo que te define qué es el monomio.

Igual que puedes sumar manzanas con manzanas para obtener manzanas, ¿Qué ocurre si sumas 6 manzanas🍏 con 3 aguacates🥑? Pues que desde luego el resultado no son ni aguacates ni manzanas:

6 🍏 +3🥑 =⁉

Supón que tienes que sumar los monomios 3x^2 y 7x^4. Resulta que no tienenen la misma parte literal, luego el resultado no va a ser un monomio. De hecho será un binomio:

    \[3x^2+7x^4= 7x^4+3x^2\]

Espero que te haya quedado claro que:

📢 Si sumas monomios con la misma parte literal, obtendrás monomios con esa parte literal‼ 🔥

📢 Si sumas monomios con diferente parte literal, el resultado NO es un monomio‼🔥

📢 NUNCA, NUNCA, NUNCA se suman los grados o se opera la parte literal‼‼🔥

Resta de monomios

La resta de monomios es tan sencilla (o difícil) como lo es la suma. Esto es, sólo obtendrás monomios si operas con otros que tengan la misma parte literal. Al fin y al cabo la resta de monomios no es más que la suma del primer monomio con el opuesto del segundo.

Vamos con los ejemplos:

Si quieres restar 6x^3 y 4x^3 puedes hacerlo perfectamente:

    \[6x^3-4x^3=2x^3\]

Por seguir el mismo ejemplo de frutas que te dicho antes, si tienes manzanas 🍏 y pierdes unas cuantas, te vuelves a quedar con manzanas como en :

6🍏 -4🍏 = 2🍏

Pero si tienes manzanas 🍏 y pierdes aguacates 🥑, sería absurdo decir que te quedan más o menos manzanas ¿o no?

6🍏 -4🥑 = ⁉

Así que si tienes que restar dos monomios con diferente parte literal, lo que obtendrás es un binomio:

    \[4x^2-7x^3=-7x^3+4x^2\]

Que igual que en el caso de la suma te lo doy ordenado de mayor a menor grado de los monomios.

📢 Si restas monomios con la misma parte literal, obtendrás monomios con esa parte literal‼ 🔥

📢 Si restas monomios con diferente parte literal, el resultado NO es un monomio‼🔥

📢 NUNCA, NUNCA, NUNCA se restan los grado o se opera la parte literal‼‼🔥

Creo que la suma y la resta de monomios no necesita más explicación, así que vamos a pasar al producto y cociente.

Producto de un monomio y un escalar (número)

Cuando quieres multiplicar un número y un monomio, lo único que debes hacer es operar todo lo que no sea la parte literal, es decir, el número y el signo‼

    \[7\cdot 4x^2=28x^2\qquad -3\cdot 5xy=-15xy\qquad 2\cdot (-3y^2)=-6y^2\qquad -5\cdot (-xyz)=5xyz\]

En estos ejemplos te he puesto todas las posibilidades con las que te vas a encontrar. Ten en cuenta que la regla de los signos sigue vigente y que es necesario respetarla.

Vamos a analizar el primer caso 7\cdot 4x^2=28x^2. La multiplicación sigue significando exactamente lo mismo, es decir, una serie de sumas repetidas. Así la anterior operación significa 4x^2+4x^2+4x^2+4x^2+4x^2+4x^2+4x^2 o lo que es lo mismo sumar varias veces el mismo monomio, y al final ¿Cuántas x^2 vas a obtener? Pues exactamente siete veces cuatro o lo que es lo mismo 28. Podemos interpretarlo con manzanas al igual que antes: así que vamos a identificar x^2= 🍏

4🍏+4🍏+4🍏+4🍏+4🍏+4🍏+4🍏=28🍏

Como ves éste es un concepto muy intuitivo y no creo que necesites más ejemplos, sin embargo te voy a dar otro. En este caso, vamos a decir que xy^2z=🍄 y lo que vamos a sumar son setas: 🍄

    \[2xy^2z+3xy^2z=5xy^2 z\]

Si lo traducimos a setas tenemos que:

2🍄+3🍄=5🍄

Creo que ya te ha quedado claro,

📢 Multiplicar un monomio por un escalar es multiplicar el escalar por el coeficiente (y sus signos) y dejar la parte literal‼🔥

Producto de dos monomios

Vamos a dar un paso un poco mayor. Ahora vamos a multiplicar dos monomios y en este caso nos da igual cómo sea la parte literal. Lo que debes controlar bien, muy bien, son las propiedades de las potencias.

📢 Siempre se pueden multiplicar dos monomios, independientemente de su parte literal‼🔥

Por ejemplo:

    \[3x^2y \cdot 7xy^3z=21x^3y^4z\]

¿Qué ha ocurrido en este caso? Si observas un poco 🧐 puedes ver que he ido multiplicando los coeficentes por un lado y luego cada letra por otro, así tengo:

  • 3\cdot 7=21
  • x^2\cdot x=x^3
  • y\cdot y^3=y^4
  • z^0\cdot z=z Para, para‼ ¿De donde sale z^0⁉ Pues muy sencillo, ¿te acuerdas de los espías? 🕵 pues el 0 de z^0 es un espía. Está en el primer monomio, pero pasa desapercibido, así que aunque no lo veas, tienes que tenerlo en cuenta a la hora de operar 👁 ‼

Vamos con otro ejemplo:

    \[6x\cdot (-2y^2)=-12xy^2\]

¿Observas como ocurre lo mismo que antes?

  • 6\cdot (-2)=-12 Cuidado con el signo menos ➖ ‼Los signos también juegan‼
  • PRIMER ESPÍA 🕵 En el primer monomio hay un y^0 que cuando lo multiplico por y^2 obtengo: y^0\cdot y^2=y^2
  • SEGUNDO ESPÍA 🕵 En el segundo monomio hay un x^0 que lo multiplico por x del primero y obtengo: x^0\cdot x=x

Cociente de un monomio y un escalar (número)

Cuando debemos dividir un monomio entre un escalar ¿se te ocurre qué debemos hacer 🤔? Sí, efectivamente debemos operar sólo los números y los signos. Nada más. Vamos con unos ejemplos, pero antes te diré que escribiré \displaystyle \frac{{3x^2y} }{3} en vez de 3x^2y:3. Acostúmbrate a ver las divisiones en forma de fracción, son mucho más inteligibles.

    \[\frac{3x^2y}{3}=x^2y\quad\qquad \frac{-12x^2z}{4}=-3x^2z\quad\qquad \frac{8yz^3}{-4}=2yz^3\quad\qquad \frac{-20xy}{-16}=\frac{5}{4}xy\]

Veamos qué ha pasado:

  • En todos los casos se trata de dividir un monomio entre un número.
  • Se respeta la regla de los signos.
  • Siempre se opera la división entre el coeficiente del monomio y el escalar.
  • La parte literal no varía después de dividir un monomio por un escalar.
  • Cuando aparecen números racionales \displaystyle \frac{20}{16} mi consejo es que simplifiques la fracción y dejes la fracción irreducible. Sobre todo si luego vas a tener que seguir operando con ese resultado.

Cociente de dos monomios

El cociente de dos monomios es un poco más complicado, en el sentido de que no siempre el resultado es un monomio. Muchas veces obtendrás como resultado una fracción algebraica. Así que una cosa es que puedas dividir dos monomios y otra muy distinta es que el resultado sea un monomio.

En general, puedes estar seguro que tu profe, que no te tiene manía, te va a exigir lo siguiente:

  • En 1ESO y 2ESO, los resultados no serán nunca una fracción algebraica.
  • Si cursas 3ESO te puede aparecer alguna, sobre todo según avance el curso.
  • En 4ESO ten por seguro que te van a aparecer fracciones algebraicas y que vas a tener que saber operarlas correctamente.
  • Para aquellos que estáis en 1Bachillerato y 2Bachillerato… 🤣 ¿Qué queréis que os diga?… las fracciones algebraicas serán vuestro pan de cada día.

Vamos a ir subiendo el nivel de dificultad:

Si el dividendo y divisor tienen igual parte literal

Este es el caso más sencillo: el resultado va a ser el cociente entre los coeficientes de los monomios. Por ejemplo:

    \[\frac{4x^2y}{2x^2y}=2 \quad\qquad\frac{36xy^3z}{-18xy^3z}=-2 \quad\qquad\frac{-24x^3}{8x^3}=-3 \quad\qquad\frac{-27y^3}{-18y^3}=\frac{9}{2}\]

Como ves en ambos casos la parte literal desaparece literalmente 😀 Tomemos como ejemplo, la primera fracción \displaystyle \frac{4x^2y}{2x^2y}:

  • Dividimos los coeficientes \frac{4}{2}=2
  • Dividimos la parte literal, letra a letra:
    • \frac{x^2}{x^2}=1 porque ¿Qué pasa si divides algo entre eso mismo?
    • \frac{y}{y}=1 aquí ocurre exactamente lo mismo que antes.

Si el dividendo y divisor tienen las mismas letras pero elevadas a exponentes distintos

En este caso hay que aplicar las propiedades de las potencias a rajatabla. Ten en cuenta que eso implica que vas a dividir monomios con diferente parte literal.

Si los exponentes del dividendo (numerador) son mayores que los del divisor (denominador). Si esto ocurre, tendremos como resultado un monomio con las mismas o menos letras que al principio. Por ejemplo:

    \[\frac{12x^2yz^3}{9x^2z}=\frac{4}{3}yz^2\]

Puedes observar lo siguiente:

  • Cuando divides \displaystyle \frac{12}{9} obtienes \displaystyle \frac{4}{3}. Simplemente es simplificar una fracción.
  • Si divides \displaystyle \frac{x^2yz^3}{x^2z} vas a obtener \displaystyle yz^2 ¿Cómo lo consigues? dividiendo letra a letra
    • \displaystyle \frac{x^2}{x^2}=1 porque ¿Qué pasa si divides algo entre sí mismo?
    • \displaystyle \frac{y}{y^0}=y ojo 👁 con el espía 🕵 en el denominador no hay y, luego significa que lo que hay es y^0=1
    • Por último \displaystyle \frac{z^3}{z^2}=z Aquí debes aplicar las propiedades de las potencias: división de potencias con la misma base, se deja la base y se restan los exponentes por lo que \displaystyle \frac{z^3}{z^2}=z^{3-2}=z^1=z

Si los exponentes del dividendo son menores que los del divisor. Si esto ocurre, tendremos como resultado una fracción algebraica.  Por ejemplo:

    \[\frac{36x^2y}{24x^2yz^2}=\frac{3}{2z^2}\]

No es la intención de esta entrada ver qué ocurre cuando tienes que operar con una fracción algebraica, sino mostrarte cómo llegar a operar correctamente con monomios y polinomios. Así que vamos con ello:

  • En el numerador tenemos: \displaystyle \frac{36}{24}=\frac{3}{2} Es la simplifcación de una fracción.
  • Para el caso del denominador: \displaystyle \frac{x^2y}{x^2yz^2} Vamos a analizar qué ocurre con cada letra:
    • \displaystyle \frac{x^2}{x^2}=1 ya que dividendo y divisor son iguales.
    • \displaystyle \frac{y}{y}=1 Por la misma razón de antes.
    • 👁 Ahora tenemos que lidiar con un espía🕵, pero a estas alturas lo tenemos controlado: \displaystyle \frac{z^0}{z^2}= \frac{1}{z^2}
    • Así pues, en el numerador se queda un 1 y en el denominador sólo queda la z. La fracción va a ser: \displaystyle \frac{ 1}{z^2} que habrá que multiplicar por el coeficiente.
  • Si ahora multiplicamos la parte literal por el coeficiente, obtenemos el resultado que te he puesto más arriba. Se trata de una fracción algebraica. No es un polinomio ‼

Si el dividendo y divisor no tienen igual parte literal

En este caso quiero mostrarte qué ocurre si las partes literales son completamente distintas. En este caso, nos encontramos en la misma situación que en el apartado anterior. El resultado casi con toda seguridad será una fracción algebraica. El razonamiento es el mismo que te acabo de hacer, por lo que simplemente te voy a poner varios ejemplos.

    \[\frac{3xy}{y^2z^3}=\frac{3x}{yz^3}\qquad\frac{4x^3}{2y^3}=2\frac{x^3}{y^3}\qquad 3\frac{4x^3y^2}{6yzt}=2\frac{s^3y}{zt}\]

Espero que hayas podido llegar hasta aquí sin problema. En una entrada próxima te explicaré cómo operar con polinomios: suma, resta, multiplicación por escalar, producto de polinomios y división de polinomios. Quedaría así pendiente la factorización de polinomios que te lo explicaré más adelante.

Como de costumbre, si deseas dejar algún comentario o sugerencia, siéntete libre de hacerlo sin más requisito que lenguaje de uso (y no de abuso😉).

Si quieres contactar conmigo puedes hacerlo aquí 📧

▶ Gracias por leerme ✅

Si te gusta lo que hago y quieres invitarme a un café ☕ ¡¡te doy las gracias por adelantado!!

Bibliografía

  • Argüeso, M., Borobia, N., Lázaro, O., Pajares, A., Tomeo, V.; 2015; Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I; Ed Paraninfo; Madrid; ISBN: 978-84-283-3548-5
  • Colera Jiménez, J., Oliveira González, M. J., Gaztelu Albero, I., Colera Cañas, R.; 2015; Matemáticas aplicadas a las enseñanzas académicas, 3 ESO; Ed. ANAYA; Madrid; ISBN: 978-84-698-5213-4.
  • Colera Jiménez, J., Oliveira González, M. J., Gaztelu Albero, I., Colera Cañas, R.; 2016; Matemáticas aplicadas a las enseñanzas académicas, 4 ESO; Ed. ANAYA; Madrid; ISBN: 978-84-698-1069-9.
  • Ruiz Jiménez, M. J., Llorente Medrano, J., González García, C., Aparicio Peñas, A. M., Arribas Ruíz, F.; 2015; Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I; Ed. EDITEX; Madrid; ISBN: 978-84-9078-504-1.

Vida de la entrada:

– 2020-10-28: Publicación.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.

Scroll hacia arriba