▶📚 Problemas de llenado 🎖

Los problemas de depósitos y llenados se empiezan a trabajar en 3 ESO. Con suerte, a veces, se pueden introducir muy brevemente (casi de refilón en el mejor de los casos) en 2 ESO, pero sólo si el grupo lo demanda, lo cual no suele ser lo frecuente.

Mediante este título de «Problemas de depósitos y llenado» se trabajan una variedad de problemas donde la pregunta fundamental es si una cierta actividad genera suficientes recursos para colmar determinada actividad 🤔 Pero no hay que confundirse a pesar del título, a veces, no se refieren ni a depósitos ni a velocidades, ni a llenado 🤷  

Depósito de agua de santa Engracia (Madrid, España)
Depósito de agua de santa Engracia (Madrid, España), [tomado de wikipedia]

Por ejemplo, los siguientes problemas, todos, pertenecen a esta categoría:  

  • 1️⃣ Un grifo tarda en llenar un aljibe 5 horas y otro lo hace en 3 horas. ¿Cuánto tardan ambos grifos en llenarlo conjuntamente? Si paralelamente se abre el desagüe que puede vaciar por completo el aljibe en 4 horas ¿Se llenará o se vaciará? 
  • 2️⃣ Un operario tarda en labrar una tierra 6 días, mientras que otro es capaz de hacer la misma labor en 3 días. Si la jornada laboral es de 8horas diarias, ¿Cuántas horas tardan entre ambos en labrar la finca? Si el salario es de 5€/h ¿Cuánto dinero ganan entre los dos?
  • 3️⃣ En una fábrica de tableros de fibras, poseen una tolva que se llena de fibras de madera procedentes de tres fuentes distintas. 
    • 🟢 PRIMERA: Es capaz de llenar la tolva en un total de 4 horas. 
    • 🟢 SEGUNDA: Es capaz de llenar la tolva en 6 horas.  
    • 🟢 TERCERA: ES capaz de llenar la tolva en 12 horas.  
      Por otro lado poseen dos salidas a dos líneas de producción distintas:  
    • 🔴 SALIDA 1: ES capaz de vaciar la tolva en 3 horas 
    • 🔴 SALIDA 2: Es capaz de vaciar la tolva en 2,5  horas.  
      Si la fábrica está a plena producción, ¿serán capaces de tener una producción continua de tableros? 
  • 4️⃣ En la imprenta  Impresos S. L. poseen dos máquinas que pueden usar para el mismo trabajo. La primera máquina (A) tarda 15 horas, mientras que la segunda máquina (B) tarda 12 horas. La jornada laboral discurre desde las 8:00 hasta las 20:00. Hoy a las 8:00 han empezado a imprimir con la máquina A, y a las 12:00 han añadido la máquina B. ¿Cuándo quedará el trabajo totalmente hecho? 

Como ves todos estos problemas se basan en una pregunta que implica ¿cuánto tiempo se tarda en…? Y donde intervienen varias máquinas, grifos, personas… cada una de ellas con un ritmo de producción distinto.

Voy a resolvértelos ✍ para que puedas saber cómo se hacen, pero como norma general te diré que lo primero que tienes que hacer (tanto para este como para cualquier tipo de problema) es realizar un dibujo o esquema❗ que te permita saber qué estás haciendo y cuales son los pasos a seguir. Verás que los esquemas que yo hago son muy simples pero representan la situación y son muy buena guía de trabajo.

Problema tipo A  

Un grifo tarda en llenar un aljibe 5 horas y otro lo hace en 3 horas. ¿Cuánto tardan ambos grifos en llenarlo conjuntamente? Si paralelamente se abre el desagüe que puede vaciar por completo el aljibe en 4 horas ¿Se llenará o se vaciará? 

Como te acabo de decir, lo primero que debes hacer es realizar un dibujo/esquema que te indique qué está pasando en lo que te describen en el problema.  

Esquema que muestra la situación dada en el problema así como los datos. ¿eres capaz de ver qué es lo que pasa?

En segundo lugar debes referir los datos a una unidad de tiempo ⏳ (en mi caso la voy a referir a 1 hora). Debes preguntarte lo siguiente:  

  • ¿En una hora…. 
  • …cuánto llena el primer grifo? Efectivamente, \displaystyle \frac{1}{5} del volumen total del depósito. 
  • …cuánto llena el segundo grifo? Aplicando el mismo razonamiento, tenernos que es \displaystyle\frac{1}{3} del aljibe. 
  • …cuánto vacía el desagüe? Pues evidentemente en una hora el desagüe vacía \displaystyle\frac{1}{4} el volumen del depósito.           

Y ahora que ya sabes qué ocurre en una hora, debes tener en cuenta que los grifos “suman” agua, mientras que el desagüe lo “resta”.  

Así, si sólo tenemos en cuenta la labor de los grifos, obtenemos que en una hora se llena:  

    \[\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{15}\]

 

Y puesto que sabemos que en una hora hemos llenado \displaystyle\frac{8}{15} del depósito, esto significa que todo el depósito se tarda en llenar \displaystyle\frac{15} {8} de hora.  

Pero lo que debes saber ahora es que nadie da un tiempo en horas de la anterior manera 🙅 Esto son 1, 875 horas lo cual son \displaystyle 1h\, 52min\, 30s que es el tiempo que efectivamente tarda el depósito en llenarse.  

Vamos a ver qué ocurre si añadimos el desagüe. Lo que debemos hacer es “restar” el agua que sale por el mismo así que la operación a realizar es:  

    \[\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{15}-\frac{1}{4}=\frac{17}{60}\]

 

Por lo tanto, con el desagüe abierto tenemos que en una hora el depósito se llena \displaystyle \frac{17}{60}, o lo que es lo mismo que tarda en llenarse \displaystyle \frac{60}{17}=3,5294 de horas, es decir \displaystyle 3h\ 31min\, 45,88s

Una pregunta que debes hacerte es ¿se llena? La respuesta es que sí, ya que si bien el desagüe va restando agua, los grifos aportan más y esta es la razón por la que la operación anterior es mayor que cero.  

Problema tipo B

Un operario tarda en labrar una tierra 6 días, mientras que otro es capaz de hacer la misma labor en 3 días. Si la jornada laboral es de 8horas diarias, ¿Cuántas horas tardan entre ambos en labrar la finca?

Otro esquema que muestra la situación y datos del problema.

Volvemos a hacer lo mismo, es decir, vamos a ver qué ocurre en una unidad de tiempo, pero en este caso esta unidad e tiempo es el día. En este caso el primer trabajador, en un día, labra un total de \displaystyle \frac{1}{6} de la tierra, mientras que el segundo, en un día tamién, realiza \displaystyle \frac{1}{3} del trabajo.

Por lo tanto, ambos trabajadores juntos 👷👷 en un día realizan:

    \[\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Y el problema, en el fondo ya lo tenemos resuelto, pues si en un día realizan la mitad del trabajo, eso significa que tardarán en conjunto dos días para completarlo.

Si ahora tenemos en cuenta que la jornada laboral es de 8horas, y puesto que tardan dos días en realizarlo todo; eso significa que tardan en conjunto 16horas en completarlo: 16 horas de trabajo de cada uno.

Como el salario es de 5€/h y puesto que cada uno trabaja 16 horas, eso significa que cada uno de ellos gana 80€. Es decir, que entre los dos han ganado 160€.

Problema tipo C

En una fábrica de tableros de fibras, poseen una tolva que se llena de fibras de madera procedentes de tres fuentes distintas. 

  • PRIMERA: Es capaz de llenar la tolva en un total de 4 horas. 
  • SEGUNDA: Es capaz de llenar la tolva en 6 horas.  
  • TERCERA: ES capaz de llenar la tolva en 12 horas.  
    Por otro lado poseen dos salidas a dos líneas de producción distintas:  
  • SALIDA 1: ES capaz de vaciar la tolva en 3 horas 
  • SALIDA 2: Es capaz de vaciar la tolva en 2,5  horas.  

Si la fábrica está a plena producción, ¿serán capaces de tener una producción continua de tableros? 

Este problema se soluciona exactamente igual que los anteriores:

Otra forma distinta de esquematizar los datos y situación del problema.

En primer lugar vemos cuánto se llena la tolva con las tres fuentes que la alimentan. Para ello hay que sumar los inversos de los tiempos, así:

    \[\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{2}\]

Aunque en este caso es trivial ver que se tardan dos horas en llenar la tolva, como esa no es la pregunta que nos hacen no es necesario calcular ese tiempo.

Por otro lado vamos a ver cuánto tiempo tardan las salidas en vaciar el depósito:

    \[\frac{1}{3}+\frac{1}{2,5}=\frac{11}{15}\]

Aquí ya no es tan fácil ver a ojo cuanto tarda la tolva en descargarse, pero como no nos lo piden tampoco lo vamos a calcular.

Lo que debemos calcular es la diferencia ➖ entre ambos resultados, y mucho más importante, discutir el resultado.

    \[\frac{1}{2}-\frac{11}{15}=-\frac{7}{30}\]

Y esto es lo que hay. Nos aparece un número negativo. 🤯 Eso significa que sale más fibra de madera de la que entra. Por lo tanto: No son capaces de tener una producción continua de tableros por lo que si tú fueras el jefe de planta deberías ver como aumentar la velocidad de llenado por las tres líneas que hay actualmente o bien cómo conseguir una nueva fuente de fibras que llenase la tolva.

Problema tipo D

Hasta ahora todos los problemas eran más o menos parecidos, había una serie de fuentes y salidas, pero actuaban todas a la vez 🎼. En este ejercicio la cuestión es muy diferente:

En la imprenta  Impresos S. L. poseen dos máquinas que pueden usar para el mismo trabajo. La primera máquina (A) tarda 15 horas, mientras que la segunda máquina (B) tarda 12 horas. La jornada laboral discurre desde las 8:00 hasta las 20:00. Hoy a las 8:00 han empezado a imprimir con la máquina A, y a las 12:00 han añadido la máquina B. ¿Cuándo quedará el trabajo totalmente hecho? 

Con este esquema puedes ver que hay un tiempo en que la única máquina que trabaja es la A y luego se une la B.

Lo primero que debes preguntarte es cuánto trabajo queda por hacer cuando empieza a trabajar la máquina B, es decir, después de estar trabajando la máquina A durante 4 horas en soledad 🧐

Pues bien, la máquina A trabaja realizando \displaystyle\frac{1}{15} de la tarea cada hora; por lo que al cabo de 4 horas ⏳ habrá realizado \displaystyle\frac{4}{15} y quedarán por hacer \displaystyle \frac{11}{15} del total.

Ahora vamos a ver cuánto tardarían ambas máquinas en realizar el trabajo si empezaran a la vez: en este caso hacemos lo mismo que hemos hecho antes: en una hora ambas máquinas completan:

    \[\frac{1}{15}+\frac{1}{12}=\frac{3}{20}\]

Esto significa que si tuvieran que trabajar a la vez durante todo el trabajo en cada hora realizarían \displaystyle \frac{3}{20} y por tanto tardarían \displaystyle \frac{20}{3}\approx 6,7 horas.

Pero ¿cuánto trabajo realizan ambas máquinas a la vez?…. exacto, sólo el \displaystyle \frac{11}{15} del total, luego en conjunto no están trabajando 6,7h si no menos tiempo. Vamos a calcularlo:

    \[\frac{11}{15}\cdot\frac{20}{3}=\frac{44}{9}\approx 4,9\ h\]

Tan sólo queda unir los dos resultados parciales: la máquina A está trabajando durante 4 horas, y ambas máquinas en conjunto, trabajan otras 4,9 horas. Por tanto el trabajo tarda 8,9 horas, que son 8\ h\, 53\ min\, 20\ s.

Si en la imprenta empiezan a trabajar a las 8:00, quedará concluido a las 16\ h\, 53\ min\, 20\ s. Es decir, aproximadamente a las 5 de la tarde.

Como puedes comprobar, la dificultad de este ejercicio estriba en que parte del trabajo lo hace la máquina A en solitario antes de empezar a funcionar la máquina B, pero con un poco de tranquilidad y sabiendo los pasos que hay que dar, no es imposible de resolver.

Espero que con esto te haya quedado claro que los problemas de llenado implican variedad de situaciones más o menos cotidianas donde se necesita conocer cuánto tiempo va a tardar en realizarse determinada tarea sea esta el llenado de un depósito, una labor manual… o simplemente la necesidad que tienen las distintas empresas para organizar sus recursos y sus tiempos de trabajo.

Ya no tienes excusa para enfrentarte a este tipo de problemas y solucionarlos🥊. Son mucho más fáciles de lo que parecen 😃

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Bibliografía

  • Colera Jiménez, J., Oliveira González, M. J., Gaztelu Albero, I., Colera Cañas, R.; 2016; Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas: 4 ESO; Ed. Anaya; Madrid; ISBN: 978-84-698-1069-9.

Vida de la entrada:

– 2020-10-26: Publicación.

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