▶ ✈ Crecimiento exponencial 📈

Muy buenas profemaniático. Hoy te traigo aquí una entrada un poco alejada de lo que son las matemáticas escolares, pero creo que es muy interesante. Se trata de una entrada sobre el crecimiento exponencial.

Creo que no hace falta decirte que en este 2020 nos hemos vuelto todos epidemiólogos y expertos en propagación de enfermedades… así que he pensado que esta es una oportunidad estupenda para mostrarte una aplicación práctica y muy útil de las matemáticas. Y además, por qué no, decirte que si los políticos de turno en vez de estar vigilando su ombligo, hubiesen hecho caso a gente experta; habría habido menos muertos y las consecuencias que tendremos que enfrentar a partir de ahora serían muchísimo más llevaderas.

Por supuesto el ánimo del blog es hacer unas matemáticas cercanas, y además creo que esta es la entrada más importante que he escrito hasta ahora por las siguientes razones:

  • Quiero que sea entendible por todo el mundo, independientemente de que sepa muchas o pocas matemáticas. Así podrá saber qué ha pasado y lo que puede estar por venir.
  • Pretendo mostrarte una aplicación muy importante de las matemáticas. Enseñarte que no son esa ciencia de frikis y gente un poco pirada. Tiene aplicaciones, son muy importantes, y llegado el momento, las matemáticas pueden salvar vidas.

Por tanto, olvídate de ver aquí modelos muy sofisticados, ecuaciones diferenciales y cálculos complicadísimos. Mi intención es mostrarte grosso modo como se comporta el crecimiento exponencial y que nos asomemos un poquito a la dinámica de poblaciones, y si pretendo que todo el mundo que se acerque por aquí pueda entenderlo, no me queda otro remedio que simplificar algunas cuestiones y cálculos. Esto no significa que pierda rigor en lo que diga. Todo lo contrario, simplifico cosas para que todo el mundo pueda entenderlo y llegado el caso se vea la necesidad de recurrir a expertos; y esto aumenta la capacidad profesional de todos, porque elimina supersticiones y engañabobos en la toma de decisiones. Nunca te fíes de alguien que no es capaz de explicarte algo de forma sencilla y en cambio utiliza un lenguaje retorcido y complicado, con circunloquios absurdos. Ese es quien te está haciendo la envolvente.

Al final no te hablaré del modelo más famoso de epidemiología, si no del modelo logístico. Quédate y lo veremos.

Introducción

A lo que vamos. Suelo dejar la bibliografía al final de la entrada, y esta vez no será diferente. Sin embargo te recomiendo que la eches un vistazo y si puedes conseguir alguno de los títulos y artículos que te digo, estaría muy bien que los leyeras. Todo lo que yo te diga aquí está sacado de las fuentes que te pongo.

¿Y cómo saber si las fuentes son confiables o no? Esta pregunta daría para una entrada completa, o dos. Pero hay alguien que ya lo ha hecho por mí y, francamente, lo explica muy bien: es Aldo Barta del canal de Youtube «El robot de Platón». Así que hazle una visita y dedica menos de 7 minutos en saber qué fuentes creer y qué fuentes son… bueno, basura.

Crecimiento exponencial

Cuando en matemáticas se habla de crecimiento exponencial, se habla del Ferrari de los crecimientos. Voy a mostrarte varios ejemplos de funciones crecientes que puedes ver en la siguiente gráfica:

Distintos tipos de crecimiento: Rojo: Función constante (no crecimiento). Verde: Crecimiento logarítmico. Azul: Crecimiento lineal. Negro: Crecimiento polinomial \displaystyle\left( \frac{x^2}{25}-0.5\right). Amarillo: Crecimiento exponencial (1.2^x-3)

Si quieres saber cómo he realizado el gráfico anterior tan sólo debes replicar el siguiente código en el programa R. Yo lo hice en la distribución R-Studio, pero el código es el mismo:

CRECIMIENTO EXPONENCIAL Y OTRAS GRÁFICAS CRECIENTES:
parabola<-function(x){(x^2)/25-0.5}
exponencial<-function(x){1.2^x-3}
plot((0), (0), ylim=c(0, 20), xlim=c(0, 20), col="white", lwd=2, main = "Distintos tipos de crecimiento", xlab="Abscisas", ylab="Ordenadas")
abline(h=2, col="2", lwd=2, add=T)
curve(log10(x), add=T, col="3", lwd=2)
abline(-3, 1, col="4", lwd=2)
curve(parabola(x), add=T, lwd=2, col="black")
curve(exponencial(x), add=T, lwd=2, col="7")

En esta gráfica cada una de las funciones anteriores es creciente, pero veamos algunas cuestiones:

  • La línea roja es una recta horizontal, y=2, por lo que su crecimiento es cero (técnicamente decimos que su derivada primera es nula; todas las funciones que te he puesto en la gráfica anterior tienen primera derivada positiva en cada punto que ves, que es la forma matemática de decir que crecen en ese punto).
  • La gráfica verde es la gráfica de una función logarítmica, y=\log x, es la tortuga de las funciones crecientes. Crece muy muy muy despacio.
  • La siguiente función creciente es la recta azul, y=mx+n. Crece siempre lo mismo, es constante en su crecimiento, y aunque está bien, no es la más rápida de todas.
  • La gráfica negra representa una función polinómica, en este caso una parábola y=ax^2+bx+c. El crecimiento de estas funciones está muy bien, y a veces puede ser espectacular, aunque, como en la gráfica, a veces le cuesta arrancar. Pero no es la más rápida; ni mucho menos
  • La gráfica amarilla es una función exponencial, y=a^x+b con a>0. Es la función que más rápido crece, y aunque depende de de los valores de a y b, tarde o temprano adelanta a todas las funciones anteriores.

Así que cuando te digan que algo crece exponencialmente acuérdate de la gráfica anterior. Para y reflexiona un poco. Muy probablemente no sea un crecimiento exponencial, o no durante todo el tiempo. Lo más probable es que sea un crecimiento polinómico.

Qué es la función exponencial

Unas historietas para centrar el crecimiento exponencial

Cuando en clase empiezo a explicar las progresiones geométricas siempre empiezo hablando de la leyenda del tablero de ajedrez. Hoy, a continuación voy a contarte varias historias que implican un crecimiento exponencial. La historia del tablero de ajedrez y la de las semillas de amapola están sacadas del libro de Yakob Perelmann, el cual, si tienes la oportunidad de encontrar, no dudaría ni un minuto en comprarlo.

La leyenda del tablero de ajedrez

La leyenda cuenta, que cuando el Rajá se enteró del juego del ajedrez quiso recompensar a su inventor y le llamó a Palacio.

El anciano que había inventado el juego pidió tan sólo un grano de trigo por el primer escaque del tablero; dos granos por el segundo escaque; cuatro granos por el tercer escaque, ocho granos por el cuarto escaque… y así sucesivamente doblando el número de granos de trigo respecto de la casilla anterior.

Esto desairó mucho al Rajá y medio le echó del Palacio. Muy enfadado pidió a sus matemáticos-astrónomos que calculasen cuántos granos había pedido el inventor y que se los dieran.

Varias semanas después le llegaron los resultados al Soberano y, apesadumbrados, los astrónomos indicaron que era imposible complacer la recompensa del anciano, pues habría que desecar la Tierra y plantarla íntegramente de trigo varias veces para poder satisfacer la recompensa.

Figura que ilustra la leyenda del tablero de ajedrez. Cada escaque posee el doble de granos que la casilla anterior. Kiriko está esperando a ver cuántos granos le tocan a él. Realizado con PowerPoint y GIMP.

Simplemente la última casilla tiene 2^{63} granos de trigo, que es un número de 19 dígitos. La suma del total de granos del tablero son S_{64}=2^{64}-1 grano de trigo. Suponiendo que un grano de trigo pesa unos 0.035 \ g, el total de la recompensa del tablero de ajedrez habría supuesto un peso de: 6.45\cdot 10^{11}\ t ¡¡toneladas!!

La cápsula de la amapola

La segunda historia, que cuento a veces en clase para ilustrar lo que es una progresión geométrica, es la de las semillas de amapola. Imagínate que en el planeta Tierra hay sólo una amapola y que en la cápsula hay 300 semillas de las que sobreviven todas. Si hay dos generaciones por año y cada amapola necesita 1m^2 para vivir. ¿Qué superficie será necesaria para albergar a todas las amapolas al cabo de 5 años?

En el siguiente dibujo te muestro qué ocurre. En este dibujo no puedo representar cada una de las 300 semillas que sobreviven, así que de cada flor sólo represento 3 hijos (imagínate que cada flor hija es en realidad 100 flores hijas). Es importante que veas que la sucesción de números (flores) que aparece en el dibujo es 1, 3, 9, 27\ldots Pero en la historieta esa sucesión es 1,\ 30\ 000,\ 9\ 000\ 000, 2\ 700\ 000\ 000,\ldots

Esquema donde te represento la leyenda de la amapola. Como en el dibujo no puedo poner 300 amapolas hijas por cada flor, he representado tan sólo 3 hijos por flor. ¿te das cuenta de lo rápido que crece?

Representar este tipo de crecimientos en una gráfica es casi imposible a no ser que cambiemos las escalas de los ejes o los modifiquemos de alguna otra manera. Vamos a seguir echando números.

En este caso, en la historieta, hay 10 generaciones (dos por año, durante cinco años), pero la primera generación cuenta sólo con una única amapola, con lo que al final, el número de amapolas son 1.9683\cdot 10^{22} lo cual implica ese mismo número de metros cuadrados necesarios para albergarlas en el planeta. ¿Y esto es mucho o poco? Pues un rápido vistazo a la wikipedia nos dice que la superficie de tierras emergidas en nuestro planeta es de 148\ 940\ 000\ km^2 Así que la última generación de amapolas necesitaría 132\ 153\ 887.5 Tierras para poder desarrollarse en plenitud. ¡¡¡ Y eso sólo en 5 años!!!.

Desintegración radioactiva (decrecimiento exponencial)

El último ejemplo que quiero mostrarte es el siguiente. La cantidad de un elemento radiactivo (R_1) que podemos encontrar después de dejar cierta cantidad inicial R_0, durante un determinado tiempo t depende de la naturaleza del elemento (k), pero siempre sigue la siguiente ley:

    \[R_1=R_0e^{-kt}\]

Lo cual es una función exponencial que depende del tiempo como variable independiente.

Además, habrás oído hablar de semivida de un elemento químico, que es el tiempo que tardan en desintegrarse (desaparecer, ¡vaya!) la mitad de los átomos. Es decir es un tiempo t' tal que R_1=\frac{1}{2}R_0 y eso depende del elemento químico.

Además sabiendo lo anterior, podemos calcular el número k que aparecía antes de la siguiente manera:

    \[\frac{R_0}{2}=R_0 \cdot e^{-k\cdot t'}\longrightarrow k=\frac{\ln 2}{t'}\]

Podemos echar un vistazo a la wikipedia y ver las vidas medias de algunos elementos. Así que podemos elaborar la siguiente tabla:

ElementoSemivida (años)Constante k
^{14}C57601,20968\cdot 10^{-4}
^{235}U7,038\cdot 10^89, 84864\cdot 10^{10}
^{131}I0,02197(=8,02 días)31,54598
Períodos de semivida de algunos elementos químicos

¿Por qué he elegido estos elementos? Cada elemento tiene un tiempo de semivida muy diferente al resto y esto hace que no los podamos respresentar en la misma gráfica (fíjate en los años, que están representados en el eje X de las siguientes gráficas). Sin embargo, estos elementos son importantes en el día a día poruqe:

  • ^{235}U: Supongo que no hace falta que te diga que la radioactividad del uranio puede crearnos muy serios problemas (y si no que se lo pregunten a los habitantes de Chernóbil).
  • {14}C: Este elemento se utiliza en Paleontología y arqueología para datar descubrimientos.
  • ^{131}I: El iodo (yodo) radioactivo se usa para curar y detectar determinados tumores. ¡¡Pregúntale a los oncólogos y radiólogos!!.

Podemos hacer una gráfica donde partamos de 1000 átomos de cada elemento y ver qué ocurre a lo largo del tiempo. Obtenemos lo siguiente:

El código que he usado en R para realizar estas gráficas exponenciales es el siguiente:

desin.carbono<-function(x, N0=1000, k=(1.20968*10^(-4))){ N0exp(-k*x)}

desin.iodo<-function(x, N0=1000, k=31.54598){N0exp(-k x)}

desin.uranio<-function(x, N0=1000, k=9.84864*10^(-10)){ N0exp(-k*x)}

años.carbono<-seq(from=1, to=40000, length=100000)
años.iodo<-seq(from=0, to=0.2, length=100000)
años.uranio<-seq(from=1, to=5*10^(9), length=100000)

plot(desin.carbono(años.carbono)~años.carbono, xlim=c(0, 40000),ylim=c(0,1000), col=2, type="l", lwd=3, xlab="Años de desintegración", ylab="Nº átomos", main="Curva de desintegración del carbono-14")

plot(desin.uranio(años.uranio)~años.uranio, xlim=c(0, 5*10^(9)),ylim=c(0,1000), col=2, type="l", lwd=3, xlab="Años de desintegración", ylab="Nº átomos", main="Curva de desintegración del uranio-235")

plot(desin.iodo(años.iodo)~años.iodo, xlim=c(0, 0.25),ylim=c(0,1000), col=2, type="l", lwd=3, xlab="Años de desintegración", ylab="Nº átomos", main="Curva de desintegración del yodo-131")
Algunas consideraciones:

¿Te parecen iguales estos gráficos? Sí y no. La forma de la gráfica es la misma, se trata de una función exponencial decreciente. Pero ¿te has fijado en los ejes?

  • El eje Y es el mismo para todas las gráficas: va desde 0 hasta 1000.
  • El eje X es ya otra cosa. ¿Te has fijado en la escala?
    • Para el caso del I-131 el eje X acaba en el número 0,25 o lo que es lo mismo, en tres meses, porque la escala está en años: ¿dónde estabas tú hace 3 meses?
    • Para el caso del C-14, el eje X llega hasta los 40000 años ¿Qué había en tu ciudad hace 40000 años?
    • Si nos fijamos en el U-235, el eje X llega hasta los 5 000 000 000 años. Si la Tierra tiene una edad está en 4 500 000 000 años (año arriba o año abajo). ¿Qué era de la Tierra hace tanto tiempo?

Sobre todo quiero que te fijes en las escalas de los ejes porque una forma muy burda, pero muy sencilla y efectiva de tergiversar una información es precisamente ésa: cambiar las escalas. Así que ya sabes, la próxima vez que te comparen dos gráficos para venderte lo que sea, mira las escalas no sea que te estén dando gato 🐱 por liebre 🐰

Y esto ¿para qué?

Volviendo al crecimiento (y decrecimiento exponencial), todo lo anterior no dejan de ser ejemplos mas o menos curiosos, pero que tienen en común el hecho de que:

  • El crecimiento exponencial puede aparecer en los lugares más sencillos e insospechados: porque no me digas que los ejemplos que te he puesto son difíciles de entender…
  • Cuando te enfrentas a una magnitud que posee crecimiento exponencial, crece tremendamente rápido.
  • Debe haber mecanismos que impidan que las cuestiones sometidas a crecimiento exponencial dominen su ámbito (al menos en el mundo de la ecología).

No quiero entrar en cuestiones matemáticas más profundas, porque ya te he dicho que quiero que esta entrada sea entendida por todo el mundo. Ahora te voy a habar un poquito de ecología.

Un poco de ecología

Voy a contarte un poco los grandes factores que influyen en el crecimiento y mantenimiento de una especie en un territorio, en una población. Y quiero que vuelvas a recordar el ejemplo de la amapola. Aunque teóricamente una sola amapola podría cubrir la Tierra en muy poco tiempo, ¿es realista esto? ¿acaso una amapola produce menos de 300 semillas? Si vives cerca de un parque o conoces lugares donde hay árboles o arbustos podrás ver producen muchísimas más que 300 semillas.

Por ejemplo, los plataneros (no los bananeros) del género Platanus producen varios miles de semillas al año, así que es evidente que no todas se pueden volver árboles adultos. Igualmente los arándanos (género Vaccinum) poseen bayas dentro de las cuales puede haber varias decenas de semillas por lo que unos pocos frutos ya generan varios centenares de semillas al año. Una sola bacteria de los yogures que tienes en tu ffigorífico es capaz de reproducirse a una velocidad enorme. Tanto como duplicar su número cada 30 minutos si las condiciones son buenas.

Y todo esto ¿para qué te lo cuento? para que llegues a la conclusión de que en la naturaleza un crecimiento exponencial puro es muy difícil de lograr. Tiene que haber factores que limiten todo esto.

Quédate con…

Desde un punto de vista ecológico, hay dos grandes factores que son:

  • Factores abióticos: dentro de estos están aquellos recursos no-vivos es decir, la temperatura, la cantidad de luz, agua disponible, sustrato y pH, nutrientes varios… Esto no debe resultarte raro. La carencia de distintos nutrientes también nos producen enfermedades a los humanos, quizá la más conocida sea la anemia ferropénica, pero hay otras enfermedades como algunos tipos de anemias megaloblásticas, beri-beri, escorbuto, ceguera nocturna…
  • Factores bióticos: estos factores son aquellos ligados a otros seres vivos. Aquí entran cuestiones como depredación, parasitismo, comensalismo… y creo que esto no hace falta darle muchas vueltas. Taenia solium o Sarcoptes scabiei nos producen enfermedades a los humanos; el zorro come conejos; las poblaciones de gorrión (hoy día en España, al menos, están amenazadas) son comensales en nuestras ciudades…

Evidentemente en dos líneas no te puedo comentar toda la Ecología que puedes estudiar a fondo en varias asignaturas universitarias, pero quédate con la copla de que hay elementos que, de alguna manera, frenan el crecimiento de una población. De otra manera, sin freno, cualquier crecimiento exponencial implicaría el colapso de la Tierra.

¿Cómo podemos formlar ese crecimiento con una ecuación? La ecuación más simple es la siguiente:

    \[P_t=P_0\cdot e^{a(t-t_0)}\]

Donde:

  • P_0 es la población inicial
  • P_t es la población en el tiempo t.
  • t_0 es el momento inicial. Si no hay otra cuestión, intenta que sea t_0=0 así será mucho más fácil hacer operaciones.
  • a es un coeficiente que depende de distintos factores abióticos y bióticos, y que hay que calcular ad-hoc.

El problema con esta ecuación es que es una ecuación exponencial y por tanto indica un crecimiento exponencial. Para evitar esto, se introducen coeficcientes correctores y se llega a la ecuación de una ley logística, cuya ecuación diferencial es la siguiente:

    \[\frac{dp}{dt}=aP-bP^2\]

Trabajando con esta ecuación y resolviéndola obtenemos la siguiente ley de crecimiento poblacional:

    \[P_t=\frac{a\cdot P_0}{b\cdot P_0+(a-b\cdot P_0)e^{-a(t-t_0)}}\]

Si te interesa una discusión más profunda sobre esto puedes echar un vistazo al libro de Braun.

Lo importante es que sepas que estas ecuaciones te dicen lo siguiente:

  • Si el coeficiente b es más pequeño que a y el tamaño de la población P no es excesivo entonces bP^2 es mucho menor que aP y por tanto, la población crece de manera exponencial (lo que suele ocurrir al principio).
  • Conforme la población va aumentando, se va frenando el crecimiento exponencial hasta que se alcanza un tamaño máximo (en matemáticas se dice que el crecimiento es asintótico y está acotado superiormente por una asíntota).
  • Y si el tamaño poblacional se vuelve constante ¿Dónde llega? Pues esto es muy interesante saberlo, pues la asíntota horizontal tiene un valor de y=\frac{a}{b}

¿No me das algún ejemplo?

Tranquilo. Sí. Te voy a dar un par de ejemplos:

Ejemplo. Crecimiento exponencial de la población humana.

Supongamos que el aumento de la población humana de la Tierra es del 1.0921%. Además imaginemos que para el ser humano el coeficiente a=0.029 (que es el dato que ofrece Braun en su libro) y que la población humana actual es 7600 millones de personas. Así tenemos que la máxima población que podremos esperar es:

    \[0.010921=0.029-b\cdot 7.6\cdot 10^9\]

y de aquí sacamos que b=2.3788\cdot 10^{-12}

Por lo que la máxima población mundial esperable es de

    \[\frac{0.029}{9.2105\cdot 2.3788\cdot 10^{-12}}\approx 1.2191\cdot 10^{10}\]

¡¡12 mil millones de personas!!

Es decir que aún queda para que podamos alcanzar el máximo teórico de la población mundial. Vamos a hacer una gráfica. Con los datos que te he dado antes, vamos a crear una función en R que llamaremos poblacion.mundial y vamos a ver su gráfica. Para ello tecleamos todos los siguientes parámetros.

poblacion.coef.b<-2.378808864*10^(-12) 
poblacion.coef.a<-0.029 
poblacion.2017<-7600*10^6

poblacion.mundial<-function(x,año=2017, a=poblacion.coef.a, b=poblacion.coef.b, P=poblacion.2017)
{
num<-(a*P) 
den<-(b*P+(a-b*P)*exp(-a*(x-año)))
num/den
}

Y ahora sólo nos queda pedirle a R que nos dibuje la gráfica de esta función. Para ello tecleamos el siguiente código:

curve(poblacion.mundial, xlim=c(500, 2020), xlab="Año", main="Población mundial en millones de habitantes")

Así obtenemos el siguiente gráfico:

Gráfica que muestra el crecimiento de población mundial desde el año 500 hasta hoy en día.
Gráfica de sobre la evolución de la población mundial que aparece en wikipedia [05-12-2020]

Como puedes ver ambas gráficas se parecen bastante. Las diferencias entre ambas representeaciones dependen de los datos que hayamos introducido en el modelo y de otras cuestiones como censos históricos o periodos de guerra, hambrunas o enfermedades. Es evidente que yo no pretendo aquí hacer una estimación de la población que hubo hace 1000 años o la que habrá dentro de 500. Lo que intento es hacerte ver cómo los modelos teóricos realizados en con la deducción matemática son capaces de acomodarse más que bien a los datos reales.

Y la palabra mágica es ajuste. Hay toda una disciplina matemática llamada inferencia estadística que, entre otras cosas, se encarga de ajustar modelos teóricos a los datos recogidos en una pequeña parte de la población para así poder hacer estimaciones a futuro de lo que ocurrirá. Pero eso es otra entrada… u otro blog entero.

Y analicemos de qué depende de que se ajuste mejor o peor:

  • De los coeficientes a y b de los que te hablé antes y que dependen de la naturaleza de la especie estudiada (en este caso la humana); pero no sólo de eso; también dependen de los distintos factores condicionantes como son la natalidad o la mortalidad; y éstos a su vez, de cuestiones tan variadas como el acceso a agua potable o sanidad, la nutrición y también cuestiones tales como el nivel educativo, las infraestructuras de un país….
  • De la población de la que partimos. En el ejemplo que te he puesto he partido de la estimación de población que ha dado la ONU (pero para 2017), y de un coeficiente que aparece en un libro de 1993. Es evidente que, al menos el segundo de estos datos está desfasado y sería necesario volver a calcularlo. Pero como ésa no es la cuestión que quiero tratar en esta entrada, vamos a darlos por válidos. En lo que quiero que te fijes es que se puede modelizar matemáticamente qué va a pasar, y obviamente, cuanto mejor sean tus datos; mejores serán tus modelizaciones.

Ejemplo 2. Crecimiento exponencial de una bacteria de yogur

Trabajemos ahora con una bacteria de un yogur. Supongamos (y vas a ver que son bastantes suposiciones) para simplificar que:

  • Partimos de una cantidad fija de leche a la que queremos fermentar.
  • En el momento inicial tenemos una única bacteria de una única especia. Sea, por ejemplo, Lactobacillus spp. Así, no llamaré P a la población si no L
  • Supongamos que siempre existen condiciones ideales para la división de esa bacteria
  • También vamos a suponer que cada hora la bacteria se divide por 2 cada cierto tiempo, pero de tal manera que en 3 horas su población se ha multiplicado por 2.3090 (espero que no tengas ningún problema en identificar esto con un crecimiento exponencial)
  • Supongamos que el máximo de individuos que pueden llegar a vivir en ese medio es de 10000
  • Nuestra referencia de tiempo, ahora, van a ser los días.

De esta manera tenemos que:

  • En un día la población se multiplica por 2.309^8=807.963\approx 808
  • Así nuestro coeficiente a=2.3090
  • Si el máximo de individuos es 10000, entonces nuestro coeficiente b=\frac{2.309}{1000}=0.002309

Y con esto ya tenemos nuestro modelo para el número de bacterias de un yogur:

    \[L_t=\frac{2.3090\cdot 1}{0.002309\cdot 1+(2.3090-0.002309)\cdot e^{-2.3090(t-t_0)}}\]

Como el experimento empieza en el momento en que viertes la leche para fermentar, eso significa que t_0=0. Lo importante es que este modelo también lo podemos poner mediante una gráfica de la siguiente manera:

Modelo que predice cómo variará la población de bacterias en un yogur.

Puedes ver cómo, al principio, el crecimiento es muy lento (durante el primer día); es casi lineal. A partir del primer día el crecimiento es claramente exponencial, hasta el día cuarto (más o menos) a partir de entonces el crecimiento decae y la población permanece constante en 1000 individuos (esa es su cota máxima, su asíntota).

Ten en cuenta…

Y antes de pasar al último apartado de la entrada me gustaría que te fijases en varias cosas que están implícitas en los ejemplos anteriores:

  • ¿Qué es población?… población es la cantidad de entes que estamos estudiando de una especie biológica en un determinado tiempo y lugar. Da igual que sean Homo sapiens ssp. sapiens o Lactobacillus rhamnosus o Fraxinus excelsior o Sus scrofa… Da igual: una especie biológica en un tiempo determinado y en un lugar concreto
  • En el ejemplo del yogur te he dicho que siempre se mantienen condiciones optimas para el crecimiento poblacional. Pero cualquier libro de ecología (y el sentido común) te dice que el medio va cambiando a la vez que la población estudiada. Es decir, en el caso del yogur, según vayan aumentando el número de bacterias, el pH de la leche cambiará y eso implica que cambian las condiciones de crecimiento para la bacteria.
  • Muy importante: los seres humanos somos los únicos capaces de influir conscientemente en nuestro medio para provocar unas condiciones u otras. ¿Qué habría ocurrido si a la leche del yogur le hubieses añadido azúcar? ¿Y si decides cocerla? ¿o congelarla? todas estas acciones no habrían sido fortuitas, las habrías hecho tú conscientemente y habrías influido en la capacidad de reproducción del Lactobacillus (en los coeficientes a y b).

Y todo este rollo ¿Qué tiene que ve con el coronavirus?

Pues todo este rollo tiene que ver en que podemos considerar el coronavirus como una población biológica que crece y se estabiliza en un determinado momento. ¿Qué ocurre cuando estamos en algo que los periodístas y políticos llaman ola? pues ocurre, nada más y nada menos, que entramos en una fase de crecimiento exponencial.

Pero crecimiento exponencial ¿de qué? Pues de la población de coronavirus. Puedes pensar que al igual que la bacteria del yogur necesita los azúcares de la leche para poder vivir, el coronavirus necesita al ser humano para reproducirse. Suena un poco raro, pero el ser humano es la comida del coronavirus; y tiene mucha comida disponible (somos casi 8000 millones).

Y lo que ocurre es que cuando el coronavirus crece, el ser humano enferma. Y cuando el virus crece muy rápido, el ser humano enferma muy rápido

Si el ser humano enferma muy rápido, se saturan los hospitales. Y si se saturan los hospitales al final… bueno, al final hay gente que morirá porque no se les pudo atender adecuadamente, o porque alguien se tuvo que enfrentar a la pregunta de… ¿a cuál de estas personas atiendo?

Y tú ¿qué puedes hacer desde el sofá de tu casa? Pues lo que te he dicho antes. El ser humano es el único que puede, conscientemente, cambiar las condiciones del medio. Y esto es un gran poder, porque puedes hacer que el virus se extienda más o menos rápido.

Así que al final todo depende de tí:

  • ¿Lo han hecho mal los políticos? Tremendamente mal. Han encarnado a la perfección las cuatro acepciones de la palabra necio. Y lo han hecho con pasión y arrojo; sin dejar lugar no ya a la duda si no tan sólo a ver lo que estaba ocurriendo. Además se han embarcado en una batalla por ver quien la tenía más dura (la cara) o más grande (las mentiras que contaban).
  • Pero al final la primera línea eres tú. Tú puedes modificar los coeficientes a y b del modelo que te he expuesto. Y además no son necesarias medias heroicas: mascarilla, higiene, ventilación de espacios cerrados, no reunirse con otras personas (existen las videollamadas)…
  • Así que sí. Los dirigentes han sido, son, y por desgracia seguirán siendo necios, pero ¿Cómo calificamos a aquellas personas irresponsables que no son capaces de seguir instrucciones sencillas?: Los calificamos como ¿Bobo? ¿Zoquete? ¿Idiota? ¿Memo? ¿Estólido?…

Así que ya sabes, hace unos días en EE.UU. fue el día de acción de gracias, y cuando escribo estas líneas (3-12-2020) resulta que la población estadounidense está muriendo a manta precisamente por esos movimiento. Ahora en España estamos iniciando el puente de la Constitución, veremos cómo andamos dentro de 10-15 días (por cierto, justo antes de las vacaciones de Navidad). Y ojalá me equivoque, pero viendo y sabiendo cómo funciona la gente aquí en España, mucho me temo que este año la cuesta de enero va a ser una cuesta exponencial.

Por el momento nada más.

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Bibliografía

  • Braun, M.; 1993; Differential equations an their applications; 4ª ed; Springer; Nueva York; IBSN: 978-0-387-94330-5 (en inglés).
  • Dreux, P.; 1984; Introducción a la ecología; Alianza editorial – «Biblioteca fundamental de nuestro tiempo»; Madrid; ISBN10: 84-206-9288-3 ISBN13: 978-84-206-9288-3.
  • García, A., García, F., López, A., Rodríguez, G., de la Villa, A.; 2007; Cálculo I: Teoría y Problemas de Análisis Matemático en una Variable; 3ª ed; CLAGSA; Madrid; ISBN: 978-84-921847-2-9.
  • Lahoz-Belta, R.; 2015; Las matemáticas de la vida: Modelos numéricos para la biología y la ecología; RBA-National Geographic; Barcelona; ISBN: 978-84-473-7846-3
  • Linés Escardó, E.; 1991; Principios de análisis matemático; Ed. Reverté; Barcelona; ISBN: 978-84-291-5072-8.
  • PROGRAMA POPULUS
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  • https://www.un.org/development/desa/es/news/population/world-population-prospects-2017.html#:~:text=La%20poblaci%C3%B3n%20mundial%20actual%20de,dado%20a%20conocer%20este%20mi%C3%A9rcoles. [consultado 05-12-2020]

Vida de la entrada:

– 2020-12-10: Publicación

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