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[latexpage]Los números naturales $\fontsize{15}{15}\mathbb{N}$

Vamos a empezar por el primero de los conjuntos numéricos, los números naturales. Mediante esta $\mathbb{N}$ es como se representan. Estos números son los que utilizamos normalmente para contar, es decir $$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$$ algunos autores incluyen el $0$ dentro de los números naturales y otros autores no. Para diferenciarlo se suele usar el símbolo $\mathbb{N}^*$ para indicar que se trata de los números naturales sin el $0$, es decir $$\mathbb{N}^*=\{1,2,3\ldots\}$$ También verás que cuando se quiere hablar de números naturales que incluyen el cero, específicamente se escribe $\mathbb{N}_0$

A nivel de 1º ESO y 2º ESO, te diré, que poco importa si incluimos el $0$ o no. Tiene más que ver con cuestiones de álgebra superior y lo cierto es que tampoco hay ningún consenso al respecto. Si quieres ver una explicación completa sobre esto, puedes ver este vídeo del canal de Youtube Derivando.

Operaciones en [latexpage] $\fontsize{15}{15}\mathbb{N}$

Es muy importante saber qué operaciones puedes hacer en un conjunto numérico y cómo se van a comportar ( ) Así, sabemos que no se puede dividir por cero, que cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero…

A continuación te explico las propiedades de las operaciones suma y multiplicación en [latexpage] $\fontsize{15}{15}\mathbb{N}$. Ten en cuenta que solo podemos hablar de estas operaciones porque no siempre podemos dividir o restar; quiero decir que si tú sumas dos números naturales el resultado será un número natural (por ejemplo $5+7=12$ que es natural), pero si los restas no tiene por qué salirte un número natural (por ejemplo $7-5=2$ que es natural; pero $5-7=-2$ ya no es un número natural). Igualmente puedes pensar para el caso de la multiplicación y la división: siempre puedes multiplicar dos números naturales y el resultado será un número natural, pero no siempre puedes dividir dos números naturales y que el resultado lo sea.

Pues bien, voy a enumerarte las propiedades de los números $\mathbb{N}$ para las operación suma y producto. Si quieres ver la demostración de estas propiedades y por qué es así, puedes ir a la entrada sobre ello.

Para la suma:

Las propiedades de los números naturales para la suma son las siguientes (vamos a considerar que el $0$ es un número natural):

• Propiedad asociativa: significa que si tienes varias sumas (únicamente sumas) consecutivas, las puedes hacer en el orden que mejor te venga.
  
  Técnicamente se expresa así:
  
  $$a+(b+c)=(a+b)+c$$
  
  pero seguro que con un ejemplo lo ves mucho mejor:
  
  \begin{equation}
  \begin{align}
  6+(9+2)&=(6+9)+2\\
  6+11&=15+2\\
  17&=17
  \end{align}
  \end{equation}
• Elemento neutro: el número $0$ es el elemento neutro de la suma. Quiere esto decir que si a cualquier número le sumas $0$ se queda como está.
  
  Técnicamente se expresa así:
  
  $$a+0=0+a=a$$
  
  Pero si quieres un ejemplo, aquí tienes uno:
  
  $$4+0=0+4=4$$
  
  
• Propiedad conmutativa: esta propiedad te permite cambiar de orden los sumandos y te asegura que el resultado es el mismo.
  
  Técnicamente se expresa así:
  
  $$a+b=b+a$$
  
  Pero si quieres un ejemplo aquí tienes uno:
  
  \begin{equation}
  \begin{align}
  4+9&=9+4\\
  13&=13
  \end{align}
  \end{equation}

Para el producto:

• Propiedad asociativa: significa que si tienes varias multiplicaciones (únicamente multiplicaciones) consecutivas, las puedes asociar de dos en dos como mejor te venga.
  
  Técnicamente se expresa así:
  
  $$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$
  
  pero seguro que con un ejemplo lo ves mucho mejor:
  
  \begin{equation}
  \begin{align}
  6\cdot (5\cdot 2)&=(6\cdot 5)\cdot 2\\
  6\cdot 10 &=30\cdot 2\\
  60&=60
  \end{align}
  \end{equation}
  
• Elemento neutro: en este caso el número $1$ es el elemento neutro del producto. Quiere esto decir que si a cualquier número lo multiplicas por $1$ se queda como está.
  
  Técnicamente se expresa así:
  
  $$a\cdot 1= 1\cdot a=a$$
  
  Pero si quieres un ejemplo, aquí tienes uno:
  
  $$4\cdot 1=1\cdot 4=4$$
  
  
• Propiedad conmutativa: esta propiedad te permite cambiar de orden los factores y te asegura que el resultado es el mismo.
  
  Técnicamente se expresa así:
  
  $$a\cdot b=b\cdot a$$
  
  Pero si quieres un ejemplo aquí tienes uno:
  
  \begin{equation}
  \begin{align}
  4\cdot 9&=9\cdot 4\\
  36&=36
  \end{align}
  \end{equation}

Propiedad distributiva:

La propiedad distributiva es una propiedad que cumplen la suma y el producto «a la vez». Se dice que el producto es distributivo respecto de la suma.

Técnicamente se escribe así:

$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+ a\cdot c$$

Observa que ha sido la multiplicación la que se «ha repartido» para cada uno de los sumandos del paréntesis.

Como el párrafo anterior parece un trabalenguas, voy a mostrártelo con un ejemplo:

\begin{equation}
\begin{align}
4\cdot (7+13)&=4\cdot 7+ 4\cdot 13\\
4\cdot 20&=28+52\\
80&=80
\end{align}
\end{equation}

Es imprescindible que te quede claro que el producto es distributivo respecto de la suma pero no al revés. Si alguna vez escribes en

$$4+(3\cdot 5)= 7\cdot 9$$

Alguien a tu alrededor se echará las manos a la cabeza . Es posible que un gatito del whatsapp llore desconsoladamente hasta que corrijas el error.

Ya hemos acabado con $\mathbb{N}$. Vamos con los números enteros, $ \mathbb{Z}$. Dale a la siguiente página