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[latexpage]Los números racionales $\fontsize{15}{15}\selectfont \large \mathbb{Q}$

El siguiente de los conjuntos numéricos, yendo por orden, son los números racionales. Estos números son aquellos que se pueden expresar como una fracción. En esta entrada no te voy a enseñar cómo averiguar la fracción, pero puedes ir a la entrada sobre fracciones generatrices donde te lo explico.

Los números racionales, que se representan con una letra $\mathbb{Q}$ puesto que en inglés la palabra quotient empieza por Q. Y eso es lo que son los racionales, un cociente (división) entre otros dos números.

Una fracción $\displaystyle\frac{A}{B}$ tiene dos partes:

• 🅰 La parte de arriba $A$ se llama numerador.
• 🅱 La parte de abajo $B$ se llama denominador.

Cuando trabajas con fracciones, hay muchas que representan el mismo número. Por ejemplo $\displaystyle\frac{3}{4}=\frac{9}{12}=\frac{66}{88}=\cdots$ representan el mismo número, $0,75$. De todas ellas hay una que es la más simple que se llama representante canónico o bien fracción irreducible; en este caso es $\displaystyle \frac{3}{4}$. Como puedes imaginarte es esta fracción la que se utiliza para el estudio del número que representa.

Los números racionales y los números decimales.

Una fracción representa una división. ¿Te has fijado como se representa la división en una calculadora? . Sí, es una fracción. Pero ¿qué se divide?, pues muy fácil, siempre se divide el numerador 🅰 entre el denominador🅱. Es decir que $\displaystyle\frac{15}{4}$ significa «divide 15 entre 4».

Así puede ocurrir que cuando dividas consigas lo siguiente:

• Un número entero: eso significa que el numerador es múltiplo del denominador. O bien que el denominador es divisor del numerador. Si no sabes lo que son los múltiplos y divisores, puedes echar un vistazo a mi entrada.
  
  $$\displaystyle\frac{16}{4}=4$$
  
• Un número decimal con un número finito de decimales: número decimal exacto. Esto ocurre cuando el denominador, en su descomposición factorial solo tiene doses ($2$) o cincos ($5$). Te pongo varios ejemplos.
  
  $\displaystyle\frac{23}{8}=2,875$ El denominador es $8=2^3$
  
  $\displaystyle\frac{17}{5}=3,4$ El denominador es $5=5$
  
  $\displaystyle\frac{37}{20}=1,85$ El denominador es $20=2^2\cdot 5$
  
• Un número decimal con un número infinito de decimales los cuales se repiten todos: número decimal periódico puro. Esto ocurre cuando el denominador tiene una factorización donde no aparecen ni el $2$ ni el $5$. Como antes te pongo varios ejemplos:
  
  $\displaystyle\frac{7}{3}=2,3333\ldots$ El denominador es $3=3$.
  
  $\displaystyle\frac{14}{9}=1,5555\ldots$ El denominador es $9=3^2$.
  
  $\displaystyle\frac{18}{21}=0,857142\ 857142\ \ldots$ El denominador es $21=3\cdot 7$.
  
  $\displaystyle \frac{17}{33}=0,51\ 51\ 51 \ 51\ \cdots$ El denominador es $33=3\cdot 11$
  
  La parte que se repite se denomina periodo, y como ves puede estar formada por un mismo número como en los dos primeros casos o bien de varios números más como en los segundos. Cuando escribes el periodo no debes separarlo, yo lo he hecho aquí para que te sea más fácil identificarlo. Lo que sí se hace es poner una rayita o un arquito encima de él. Observa:
  
  $\displaystyle\frac{7}{3}=2,\overline{3}$
  
  $\displaystyle\frac{14}{9}=1,\overline{5}$
  
  $\displaystyle\frac{18}{21}=0,\overline{857142}$
  
  $\displaystyle \frac{17}{33}=0,\overline{51}$
  
• Un número decimal con infinitos decimales, donde hay algunos inmediatamente después de la coma que no se repiten, el resto sí. Se trata de un número decimal periódico mixto. Se debe a que el denominador posee en su factorización algún dos o cinco y además otros primos distintos (al fin y al cabo no es más que mezclar los dos casos anteriores). Como antes, te pongo varios ejemplos:
  
  $\displaystyle \frac{17}{14} =1,2\overline{142857}$ El denominador es $14=2\cdot 7$
  
  $\displaystyle \frac{61}{55} =1,1\overline{09}$ El denominador es $55=5\cdot 11$
  
  $\displaystyle \frac{17}{6} =2,8\overline{3}$ El denominador es $6=2\cdot 3$
  
  $\displaystyle \frac{17}{15} =1,1\overline{3}$ El denominador es $15=3\cdot 5$
  
  $\displaystyle \frac{37}{42} =0.8\overline{809523}$ El denominador es $42=2\cdot 3 \cdot 7$
  
  Como puedes ver todos los denominadores de las fracciones anteriores tienen en su descomposición factorial algún dos o cinco y algún otro número primo más.
  

De todo lo anterior, lo importante es que sepas que todo número racional se puede expresar como un número decimal, pero al revés no. Estos nuevos números se llama irracionales. Voy a explicarte esto un poco más. Son aquellos números que completan a los racionales para formar los reales, $\mathbb{R}$. De momento no necesitas saber más; te recuerdo algunos números que seguro que conoces y no se pueden expresar como una fracción:

• $\pi=3,141592654\ldots$ es un número que tiene infinitas cifras decimales pero que no acaba/se repite nunca.
• $\sqrt{2}=1,41421356\ldots$ es otro número que tiene infinitas cifras decimales pero que tampoco acaba/se repite nunca.
  
  Los dos números anteriores tienen la particularidad de que es muy difícil saber qué dígito ocupa un determinado lugar. Por ejemplo, ¿cuál es el dígito que ocupa el lugar $1000$ en el desarrollo decimal de $\pi$? Te aseguro que no es una pregunta nada fácil de responder.
  
  Sin embargo sí hay números irracionales con desarrollo decimal infinito y en donde es «fácil» averiguar qué digito ocupa un determinado lugar. Por ejemplo:
  
• $1,111213141516171819\ldots$ donde el patrón decimal es el siguiente un $1$ y un $1$, otro $1$ y el número siguiente del anterior, $2$; un $1$ y el siguiente del dos, $3$; un $1$ y el siguiente del tres, $4$, etc. Puedes «cantar» el patrón decimal: UNO, uno, UNO, dos, UNO, tres, UNO, cuatro, UNO, cinco…
• $1,123456789101112\ldots$ en este caso el desarrollo decimal se consigue escribiendo todos los números naturales de forma consecutiva: «uno, dos, tres, cuatro, cinco…»

Operaciones en [latexpage] $\fontsize{15}{15}\mathbb{Q}$

Si piensas un poco, podrás darte cuenta de que con los números naturales podías sumar y multiplicar, pero no siempre se podía restar. Esto lo solucionaron los números enteros y ya siempre se podía restar y el resultado era un número entero.

Pero lo que no siempre se podía hacer en los números enteros es dividir . No siempre que divides dos números enteros te da como resultado un número entero. Por ejemplo si «divides $15$ entre $5$» el resultado es $3$ que es un número entero, pero si «divides $15$ entre $4$» el resultado es $3,75$ que no es un número entero. con los números racionales este problema queda solucionado por completo, ya que $\displaystyle \frac{15}{4}=3,75$ SI es un número racional.

Cómo se suman los números racionales

Sumar números racionales no es algo inmediato. Solo se puede hacer si poseen ambos números igual denominador, por lo que debemos buscar fracciones equivalentes a la iniciales que tengan igual denominador.

Imagina que quieres hacer la siguiente suma $$\frac{2}{3}+\frac{5}{4}$$ Tenemos que los denominadores son $3$ y $4$. Necesitamos que sean el mismo. Para ello calculamos el $mcm(3,4)$ ¿Que aun no sabes cómo calcular el mcm de dos números? Puedes echar un vistazo 👀 a la entrada donde te explico como calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor de dos números.

El caso es que si calculas $mcm(3,4)=12$ por lo que debemos buscar fracciones equivalentes a $\frac{2}{3}+\frac{5}{4}$ y cuyos denominadores sean ambos $12$.

$$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$$

$$\frac{5}{4}=\frac{15}{12}$$

Y ¿cómo llego a saber que son ésas las fracciones? Muy sencillo, sigo los siguientes pasos. Te lo explico para la fracción $\displaystyle \frac{2}{3}$

1. Escribo el denominador que quiero conseguir. En este caso $12$.
2. Ahora digo «¿Doce entre tres?», «cuatro». «¿Cuatro por dos?», «ocho».
3. Y ocho es el nuevo numerador que debo escribir.

Te lo vuelvo a explicar para la fracción $\displaystyle \frac{5}{4}$

1. Escribo el denominador que quiero. El $12$.
2. Ahora digo «¿Doce entre cuatro?», «tres». «¿Tres por cinco?», «quince».
3. Y quince es el nuevo numerador que debo escribir.

Por lo que la suma ahora ya se ve bastante mejor:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{4}=\frac{8}{12}+\frac{15}{12}$$

Lo último que queda por hacer es sumar los numeradores. Así tenemos:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{4}=\frac{8}{12}+\frac{15}{12}=\frac{23}{12}$$

No es el caso, pero si resultase una fracción que se pudiese reducir, habría que hacerlo. Da siempre el resultado final como una fracción irreducible.

¿Qué pasa si un número de los que hay que sumar es negativo? (o sea, hay una resta). Realmente no pasa nada, colocas el signo en el numerador, y entonces tendrás una resta. Ejemplo:

$$\frac{3}{2}-\frac{7}{5}=\frac{15}{10}-\frac{14}{10}=\frac{15-14}{10}=\frac{1}{10}$$

Cómo se multiplican los números racionales

Ya te he enseñado cómo sumar números racionales, ahora vamos a multiplicarlos y dividirlos que es mucho más fácil. Vamos a multiplicar:
$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}$$
Como es una multiplicación se multiplica numerador 🅰 por numerador 🅰 y denominador 🅱 por denominador🅱. Fíjate qué fácil:
$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}= \frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$
Y date cuenta que el resultado te lo doy en forma de fracción irreducible.

Ahora vamos a dividir fracciones. Imagínate que debemos dividir $$\frac{2}{3}: \frac{5}{4}$$
Lo que debes hacer es «dar la vuelta» a la fracción que va después de los dos puntos «:» y multiplicarlas:
$$\frac{2}{3}: \frac{5}{4}=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$$

Propiedades de las operaciones en [latexpage] $\fontsize{15}{15}\mathbb{Q}$

Al igual que antes con los números naturales y enteros, voy a escribirte qué propiedades tienen para la suma y la multiplicación. Aquellas propiedades que ya te he explicado en los anteriores conjuntos numéricos no te las voy a volver a explicar.

Así las propiedades que poseen los números racionales para la suma y producto son:

Para la suma:

• Asociativa
• Elemento neutro
• Elemento opuesto
• Conmutativa

Para el producto:

• Asociativa
• Elemento neutro: El $1$ se puede escribir como $\frac{1}{1}$
• Conmutativa
• Elemento inverso: Dado un número racional (distinto de $0$), siempre existe otro número racional de forma que si los multiplicas, su producto es $1$.
  Técnicamente se escribe así:
  $$a\cdot a’=a’\cdot a=1$$
  
  Pero con un ejemplo se ve mucho mejor:
  
  $$\frac{3}{8}\cdot {8}{3}=\frac{24}{24}=1$$
  
  Date cuenta que el inverso de $\displaystyle \frac{3}{8}$ es $\displaystyle \frac{8}{3}$, es decir «le hemos dado la vuelta», que es lo que hemos hecho cuando hemos dividido números racionales. Por eso se dice que:

Dividir es multiplicar por el inverso.

Propiedad distributiva

Igual que para los números naturales y enteros, la propiedad distributiva también se cumple.

Te lo muestro con un ejemplo:

\begin{equation*}
\begin{align}
\frac{2}{3}\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{3}\right)=&\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\\
\frac\frac{2}{3}\left(\frac{9-4}{12}\right)=&\frac{6}{12}-\frac{2}{9}\\
\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{12}=&\frac{1}{2}-\frac{2}{9}\\
\frac{10}{36}=&\frac{9-4}{12}\\
\frac{5}{18}=&\frac{5}{18}
\end{align}
\end{equation*}

Ya hemos acabado con $\mathbb{Q}$. Vamos con los números reales, $ \mathbb{R}$. Dale a la siguiente página