⏩ Conjuntos numéricos 👍

[latexpage]Los números enteros $\fontsize{15}{15}\selectfont \large \mathbb{Z}$

La siguiente parada en los conjuntos numéricos son los enteros. Estos números te van a permitir restar, porque el resultado de toda resta de enteros es un número entero . Como antes, si quieres ver una entrada mucho más formal (que se sale por completo del nivel de la ESO), puedes echar un vistazo a mi entrada sobre la construcción de los números enteros.

Cuando explico los números enteros pido a mis alumnos que se imaginen en un ascensor de un centro comercial con varios sótanos y varios pisos sobre el suelo. Después les indico que se imaginen que están en la 3º planta, entran en el ascensor y bajan 5 pisos ¿a qué planta llegarán? Todos me dicen que debajo del suelo, en el 2º sótano.

Pues bien, ahora lo que tienes que hacer es, tan solo, aprender cómo codificar el estar por debajo del suelo . Se codifica con un signo menos «$-$» delante del número; a estos nuevos números los vamos a llamar números negativos.

Así, en el ejemplo anterior, la operación a realizar es la siguiente:

$$3-5=-2$$

Y ya está. Siempre que restamos números enteros, obtenemos un número entero.

Por supuesto, no siempre se obtienen números negativos. Por ejemplo:

$$8-3=5$$

Pero

$$3-8=-5$$

Así ya puedes intuir que la resta no es conmutativa como la suma.

Otro ejemplo muy fácil de ver es el de la temperatura . Imagínate que estás en noviembre, en un refugio de alta montaña, por ejemplo en la sierra de Gredos

Por la mañana, cuando llegaste, había unos agradables $15º\ C$ pero por la noche se espera que las temperaturas caigan $25º\ C$. ¿Qué temperatura habrá entonces? Pues muy fácil, debes hacer:

$$15-25=-10$$

Es decir, por la noche habrá $-10º\ C$ , una temperatura muy poco agradable para no estar dentro de un refugio.

Ahora imagínate que te despiertas por la mañana para subir al pico Almanzor, y hay una temperatura de $-7º\ C$. A lo largo del día la temperatura va a subir $3º\ C$ ¿Cuál será entonces la temperatura? Pues ahora toca suma números enteros, pero el primero es $-7$ (negativo):

$$-7+3=-4$$

Es decir, ése día no llegaremos a tener una temperatura mayor que $0º\ C$

Operaciones en [latexpage] $\fontsize{15}{15}\mathbb{Z}$

Por mi experiencia, la operación más complicada de entender es, sin duda, la resta y su utilización conjunta con los paréntesis. Así que antes de nada voy a detenerme en ello un poco, pero antes de seguir ¿tienes clara la jerarquía de operaciones?

Con los ejemplos anteriores del centro comercial y la temperatura, espero que ya no tengas problemas en sumar y restar enteros. Pero debes tener claro que el signo menos solo afecta al número que tiene inmediatamente a su derecha o bien a un paréntesis completo.

Es muy común ver cosas como las siguientes:

$$2-3+5+2=2-10=-8$$

Y esta operación está muy mal el signo $-$ tan solo afecta al $3$, que es el único número que es negativo. Así lo correcto habría sido escribir:

$$2-3+5+2=-1+5+2=4+2=6$$

Lógicamente, cuando tienes un poco de práctica, estas operaciones las haces «del tirón».

Vamos a ver ahora qué ocurre si intervienen paréntesis en las operaciones. Como sabes no podemos escribir dos signos de operación consecutivos, así si escribes esto $-3\cdot +5$ te lo van a considerar erróneo pues no se puede saber si quieres decir $-3\cdot 5$ o bien $-3+5$. Así que mucho ojo

Cuando tengas paréntesis, debes realizar primero las operaciones que hay dentro del mismo. Ya sabes, es la jerarquía de operaciones.

\begin{equation*}
\begin{align}
-\left(4+5\cdot 2\right)&= \qquad\qquad \text{Primero operamos el producto}\\
&=-\left(4+10\right)\qquad\qquad \text{Ahora la suma}\\
&=-\left(14\right)\qquad \qquad\text{Ahora quitamos el paréntesis}\\
&=-14
\end{aling}
\end{equation*}

Otra operación típica que te pondrán en un examen en 1º ESO y 2º ESO es algo parecido a lo siguiente:

$$-2\cdot \left(-4\right) -\left(3-2\cdot 5\right)-1$$

Esto no es porque tu profe te tenga manía, si no porque necesita saber si conoces y aplicas correctamente la regla de los signos y la jerarquía de operaciones.

Así que vamos a resolver esta operación:

• Primero opero el $-2$ con el $(-4)$ en el primer paréntesis y opero el producto del segundo pareéntesis. El $-1$ lo dejo para el final. Así obtengo lo siguiente $$ +8 -\left(3-10)-1$$
• En el segundo paso, debo operar el paréntesis y me queda lo siguiente: $$+8-(-7)-1$$ Si sigo operando un poco y empleo la regla de los signos $$+8+7-1$$
• Y ahora fíjate que solo hay que hacer una suma y una resta: $$15-1=14$$
• Así que el resultado es 1️⃣4️⃣

Vamos a ver 👁 ahora las propiedades de los números enteros con las operaciones que tenemos definidas. Seguimos centrándonos en la suma y la multiplicación , pero aquellas propiedades que te he explicado para los números enteros, te las voy a nombrar, pero no te los voy a volver a contar.

Para la suma:

Igual que para los números naturales $\mathbb{N}$, los enteros $\mathbb{Z}$ tienen las siguientes propiedades para la suma:

• Asociativa
• Conmutativa
• Elemento neutro

Pero ocurre que los números enteros también tienen otra propiedad «nueva» para la suma:

• Elemento opuesto: Tiene un nombre un poco rimbombante, pero es sencillo. ¿Qué dos números sumados dan como resultado $0$?. Pues esa pareja de números son los opuestos.
  
  Técnicamente lo verás escrito así:
  
  $$a+a’=a’+a=0$$
  
  Pero con un ejemplo se ve mucho más claro:
  
  $$(+3)+(-3)=(-3)+(+3)=0$$

Para el producto:

Los números enteros tienen las mismas propiedades para el producto que los números naturales, es decir:

• Asociativa
• Conmutativa
• Elemento neutro

Propiedad distributiva

Al igual que nos números naturales, la suma es distributiva respecto de la multiplicación.

Te lo recuerdo porque mi experiencia me dice que es fácil no acordarse de esta propiedad.

\begin{equation*}
\begin{align}
-3\cdot (4+7)=&-3\cdot 4+ (-3)\cdot 7\\
-3\cdot 11 =&-12-21\\
-33=&-33
\end{align}
\end{equation*}

Ya hemos acabado con $\mathbb{Z}$. Vamos con los números racionales, $ \mathbb{Q}$. Dale a la siguiente página