▶ 📈 Proporcionalidad compuesta ¿de qué? 🤷🏻‍♂️

¿Acaso no es bastante sufrimiento estudiar la proporcionalidad directa o inversa que ahora tienes que estudiar la proporcionalidad compuesta? ¿Y compuesta de qué? No te preocupes, en esta entrada te voy a explicar qué es la proporcionalidad compuesta y cómo enfrentarte a ella.

Ya sabes que este tipo de problemas se empiezan a estudiar en 2ESO. Así que supongo que estarás en ese curso. Pero no te preocupes si eres menor o mayor, esta entrada la vas a poder seguir sin problemas.

Así que toma papel y lápiz 📝 que comenzamos ‼

¿Qué es la proporcionalidad compuesta?

En las entradas de proporcionalidad directa e inversa teníamos en cuenta dos variables como, por ejemplo, la harina para hacer un bizcocho y las raciones que íbamos a obtener; o la velocidad a la que se mueve un coche y el tiempo que tarda en recorrer cierta distancia.

Pero en los enunciados de los problemas de proporcionalidad compuesta no te vas a encontrar dos magnitudes si no, al menos, tres magnitudes distintas. Aquí te propongo varios enunciados, que iremos resolviendo:

Enunciados típicos de problemas de proporcionalidad compuesta

  • Juan y sus amigos han alquilado dos coches durante 3 días, y han pagado 440€. ¿Cuánto habrían pagado por tres coches durante cinco días?
  • Una tubería vierte agua a una balsa con un caudal de 5 m^3/min. Tarda en llenarse 6 horas. ¿Cuál es el caudal necesario para llenar dos balsas iguales en cuatro horas?
  • Unos cines, con tres salas, facturan 54 000\ E en 9 semanas. Si una entrada cuesta 6 € ¿Cuántas entradas pueden vender si tienen siete salas abiertas durante 10 semanas?
  • Una empresa de mantenimiento cobra 120€ por la revisión de las instalaciones en 6 días diferentes. Cada revisión tarda en realizarla 250 minutos:
    1. ¿Cuánto cobrará por un mantenimiento de 8 días en otro lugar que tarda en revisar 400 minutos?
    2. Cuántos días de revisiones diferentes puede hacer, con las mismas tarifas, en otra comunidad que se quiere gastar 72€ y que tarda en revisarse 5 horas?
  • Un taller de carpintería, con una jornada laboral de 8 horas diarias y tres trabajadores, tardan en realizar un pedido 10 días. ¿Cuánto tardarían 5 trabajadores en realizar 4 pedidos trabajando 10 horas diarias?
  • 5 resineros son capaces de resinar una mata de pinar en tres días, y ganan 1050€. ¿Cuántos resineros son necesarios para resinar otra mata igual si han trabajado 6 días y han cobrado 1680€?
  • Un ganadero posee 50 vacas. En una semana consumen 500 kg de pienso y producen 2000 l de leche. ¿Cuántas leche puede conseguir si alimenta 75 vacas durante 2 semanas con 1500 kg de pienso?
  • A continuación puedes ver los ingredientes para realizar una fabada tradicional para 6 personas. Si disponemos de 3 morcillas, 4 chorizos, 400 g de panceta ¿Cuántas alubias debemos añadir si pretendemos dar de comer a 12 personas?

Ingredientes necesarios para cocinar una fabada asturiana. Fuente: recetasderechupete.com

¿Cómo enfrentarse a un problema de proporcionalidad compuesta?

La forma de enfrentarse a un problema de proporcionalidad compuesta es muy similar a cómo te debes enfrentar a otro de proporcionalidad directa o inversa:

  1. Elabora una tabla donde las columnas sean cada una de las magnitudes en estudio.
  2. En las filas, escribe cada una de las situaciones que te describe el problema. Como mínimo deberás escribir, al menos, lo siguiente:
    1. En la primera fila debes escribir los nombres de las magnitudes.
    2. La segunda línea, resérvala para escribir los datos que te da el problema
    3. Las siguientes líneas debes ir colocando cada una de las situaciones problemáticas que te pide el problema. Así obtendrás que en cada fila te falta la cantidad correspondiente a una magnitud, que es lo que debes calcular (la vamos a llamar magnitud-incógnita).
  3. Debes tener cuidado con las unidades. Igual que no vas a mezclar una velocidad medida en km/h con un tiempo medido en minutos, aquí debes hacer lo mismo: ¿Qué unidades se usan para el volumen? ¿Cuáles para el tiempo? ¿Cómo se mide el peso?…
  4. Lo siguiente es relacionar cada magnitud con tu magnitud-incóginta y decidir si es una proporcionalidad directa o inversa.
  5. El siguiente paso es plantear la ecuación a resolver, pero esto es más fácil verlo con un ejemplo, que decírtelo aquí.

Así que vamos a ir viendo todos los ejemplos anteriores que te he dicho y así te enseño cómo se resuelven. Como de costumbre, al principio te lo explicaré todo con pelos y señales y según avancemos en los ejemplos te iré dejando a ti para que calcules algunos pasos.

‼ VAMOS ‼

Ejemplos de problemas de proporcionalidad compuesta

Ejemplo 1.

Juan y sus amigos han alquilado dos coches durante 3 días, y han pagado 440€. ¿Cuánto habrían pagado por tres coches durante cinco días?

El primer paso que debes dar es saber qué magnitudes (variables) son la que intervienen en el problema:

  • En primer lugar tienes el número de coches que han alquilado 🚗
  • Después aparecen los días que han alquilado los coches 🗓
  • Por último, es necesario saber cuánto han pagado 💶

Una vez que tienes esto claro realizas la tabla que te pongo a continuación y estableces para tú incógnita (el precio) cómo se relacionan el resto de variables (número de coches y días de alquiler):

  • El precio y el número de coches se relacionan de manera directamente proporcional, porque cuantos más coches alquiles, más dinero deberás pagar.
  • Por otro lado el número de días y el precio también son directamente proporcionales, porque cuantos más días alquiles el coche más dinero deberás pagar.

Así pues tienes la siguiente tabla con todo lo que necesitas.

Tabla que resume todo el problema de proporcionalidad compuesta.

Como ves en esta tabla está resumido completamente el problema y además ya sabemos cómo se relacionan las variables coches y días con el precio (D. P. significa directamente proporcionales).

Veamos, ahora como resolver este problema:

  • En primer lugar, te tienes que imaginar que, tal y como están escritas las variables y sus valores numéricos se pueden ver tres fracciones que son \displaystyle \frac{2}{3}, \displaystyle \frac{3}{5} y \displaystyle \frac{440}{x}
  • Además, toda este problema de proporcionalidad compuesta se basa en dos relaciones directamente proporcionales. ¿Te acuerdas de eso de que dos magnitudes son directamente proporcionales si su cocientes es constante? ¡¡¡Pues ya tenemos el cociente escrito!!!
  • Lo único que tenemos que hacer es plantear la ecuación, y eso lo hacemos dejando sola a la fracción donde aparece nuestra incógnita. .

Por tanto, nuestra ecuación es:

    \[\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{3}{5}=\displaystyle \frac{440}{x}\]

Y lo puedes resolver como una ecuación de primer grado sencilla. Sin embargo, a mi me gusta enseñar a mis alumnos a preguntarse ¿puedo simplificar algo? (hay una costumbre muy extendida de no simplificar y claro, los números aumentan muchísimo porque estás multiplicando) y operar de la siguiente manera:

    \[\frac{2}{\color{red}3}\cdot \frac{\color{red}3}{5}=\frac{440}{x}\]

    \[\frac{2}{5}=\frac{440}{x}\]

Y una vez llegados aquí paro y aprovecho para repasar algunas de las propiedades de las fracciones. En concreto una que dice que si dos fracciones son iguales entonces se verifica aquello de «producto de extremos, producto de medios»

    \[2x=5\cdot 440 \quad \Longrithtarrow \quad x=\frac{2200}{2}=1100\]

¿Y esta es la solución?. NO. Esto es un número que has calculado. Ahora te toca redactar la solución y escribir (sobre todo si es un examen) algo parecido a esto:

Si alquilaran tres coches durante cinco días, pagarían 1100 €.

Y esta sí es la solución.

Ejemplo 2

Una tubería vierte agua a una balsa con un caudal de 5 m^3/min. Tarda en llenarse 6 horas. ¿Cuál es el caudal necesario para llenar dos balsas iguales en cuatro horas?

Igual que en el ejemplo anterior, lo primero es esquematizar el problema en una tabla.

Tabla resumen del problema de proporcionalidad compuesta.

Esta tabla ya nos está dando varias pistas:

  • El caudal se mide en m^3/min pero el tiempo nos lo dan en h 🤷 Vamos a tener que hacer un cambio. Creo que lo más fácil es pasar las horas a minutos.
  • Hay una magnitud que se relaciona de forma directamente proporcional y otra que lo hace de manera inversamente proporcional. Pasa saberlo debes preguntarte:
    1. Para el mismo tiempo de llenado 🤔 ¿Si lleno dos balsas, necesito más caudal o menos? Más caudal, pues entonces es directamente proporcional.
    2. Para el mismo número de balsas de riego 🤔 ¿Si tardo menos en llenarlas es porque hay más o menos caudal? Más caudal, pues entonces es inversamente proporcional.

A continuación debes imaginarte las tres fracciones que hay escritas en la tabla: \displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle \frac{5}{x} y \displaystyle \frac{360}{240}. Como ves, ya he aprovechado para pasar el tiempo a minutos. Es fundamental que tengas en cuenta las unidades.

De estas tres fracciones hay una que representa a una magnitud inversamente proporcional, pues entonces calculas su inversa, que a efectos prácticos, es darle la vuelta a la fracción y en vez de escribir \displaystyle \frac{360}{240} debes escribir \displaystyle \frac{240}{360}

Y ahora sí, ya estás en condiciones de dejar sola la fracción donde tengas la incógnita y multiplicar las otras dos (te marco en rojo, la fracción que representa la magnitud inversamente proporcional):

    \[\frac{5}{x}=\frac{1}{2}\cdot{\color{red} \frac{240}{360}}= \frac{120}{360}\]

Resolver ésto es muy fácil:

    \[\frac{5}{x}=  \frac{120}{360}\quad \Longrightarrow \quad 5\cdot 360= 120x \quad \Longrightarrow \quad x=15\]

Y ahora te preguntas ¿Este 15 que me ha salido qué 😈 es? Pues como todo lo has puesto en las misma unidades, este es el caudal que estabas calculando. Y en un examen debes escribir algo parecido a esto.

Necesitaríamos un caudal de 15\ m^3/min

Ejemplo 3

Unos cines, con tres salas, facturan 54 000 € en 9 semanas. Si una entrada cuesta 6 € ¿Cuántas entradas pueden vender si tienen siete salas abiertas durante 10 semanas?

Para este problema tenemos la siguiente tabla-resumen:

Tabla resumen del problema de proporcionalidad compuesta.

Como ves en este caso tenemos dos variables (salas y tiempo) que se relacionan de manera directamente proporcional con la variable facturación. Pero ¡¡espera un momento!! 🔴 El ejercicio nos pide cuántas entradas y ¿Dónde están? Piensa lo siguiente, ¿si yo tengo la facturación, puedo conseguir saber el número de entradas? Sí, sin duda porque es dividir por 6.

Así que voy a hacer todo el ejercicio como si me pidieran la facturación y al final, dividiré por 6 y así hallaré el número de entradas.

Ya eres un experto en el planteamiento de estos problemas así que la ecuación que debes resolver es:

    \[\frac{54000}{x}=\frac{3}{7}\cdot \frac{9}{10}\]

Y su solución es:

    \[x=140\ 000\]

¿Y estas son las entradas que venden? No. Esto es lo que facturarían. Ahora tengo que hacer el último paso que es dividir por 6:

    \[entradas=\frac{140000}{6}= 23\ 333,3\ldots\]

Y ahora viene lo realmente difícil del problema ¿Cuántas entradas venden?

Ten en cuenta que tu profe, que no te tiene manía, no te pone este problema para que te vuelvas loco si no para que aprendas a pensar. Es evidente que o bien vendes 233333 entradas o bien vendes 23334 entradas, pero si pones que vendes 23333.3 te lo pondrá como mal porque… ¿eso que significa? ¿Que hay una persona que entra y sólo ve los créditos iniciales? No tiene sentido. Así que ahora a ti te toca aplicar tus conocimientos en aproximación y redondeo y decir que la respuesta correcta es:

Venden 23333 entradas.

Ejemplo 4

Una empresa de mantenimiento cobra 120€ por la revisión de las instalaciones en 6 días diferentes. Cada revisión tarda en realizarla 250 minutos:

  • ¿Cuánto cobrará por un mantenimiento de 8 días en otro lugar que tarda en revisar 400 minutos?
  • Cuántos días de revisiones diferentes puede hacer, con las mismas tarifas, en otra comunidad que se quiere gastar 72€ y que tarda en revisarse 5 horas?

Este problema, realmente tiene dos preguntas, así que tendremos que calcular dos cosas completamente distintas. La tabla que debes hacer es la siguiente:

Tabla resumen del problema de proporcionalidad compuesta.

Como ves aquí tienes dos problemas completamente diferentes. El primero te lo he marcado con las flechas en verde, mientras que el segundo te lo he marcado con las flechas en rojo.

Ten cuidado, aunque son dos apartados diferentes, están ambos dentro del mismo problema. Por lo tanto, debes emplear una letra distinta para cada incógnita que calculas, ya sabes, aquello de que dos letras distintas no pueden representar la misma cosa; y la misma letra no puede representar dos cosas diferentes. En mi caso yo he elegido las letras x e y.

Vamos a resolverlos por separado:

Apartado 1. Cálculo de la facturación (x)

Este es un problema de proporcionalidad directa, pero todas las magnitudes se relacionan de manera directamente proporcional. Así que tenemos la siguiente ecuación:

    \[\frac{120}{x}=\frac{6}{8}\cdot \frac{250}{400}\]

Y si lo resuelves, obtienens la solución

    \[x= 256\]

Apartado 2. Cálculo de los días (y)

En este problema de proporcionalidad compuesta, dos magnitudes se relacionan de manera directa y otras dos se relacionan de manera inversamente proporcional, por lo que la ecuación a resolver es la siguiente (te marco en rojo, la fracción que representa proporcionalidad inversa):

    \[\frac{6}{y}=\frac{120}{72}\cdot\color{red} \frac{300}{250}\]

La solución de esta ecuación es:

    \[y= 3\]

Y las soluciones son…..

Ya sabes que el último paso en la resolución de un problema es escribir la solución.

Para el primer apartado, deberían cobrar 256 €.

Para el segundo apartado, con esas condiciones, podrían trabajar 3 días.

Ejemplo 5

Un taller de carpintería, con una jornada laboral de 8 horas diarias y tres trabajadores, tardan en realizar un pedido 10 días. ¿Cuánto tardarían 5 trabajadores en realizar 4 pedidos trabajando 10 horas diarias?

Ya eres un experto en estos problemas, así que vamos a ir un poco más ligeros.

La tabla que necesitas para plantear el problema es:

Tabla resumen del problema de proporcionalidad compuesta.

¡¡Caray!! aquí hay cuatro variables. Pues sí. Hay una que está escondida, que es el número de pedidos. Léete el enunciado otra vez y verás como aparece.

Lo demás es fácil, indentificar qué variables son directa o inversamente proporcionales y plantear la ecuación para resolverla después.

La ecuación a plantear es:

    \[\frac{10}{x}=\frac{1}{4}\color{red} \cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{10}{8}\]

Luego, al final debes resolver que:

    \[50x=960\quad \Longrightarrow \quad x=\frac{960}{50}=19.2\]

Y ahora volvemos a tener que interpretar el número 19.2 ¿Qué es? son días que vas a necesitar para completarlo. Es decir si empiezas el día 1 vas a trabajar los días (imagínate que no hay fines de semana ni fiestas… )

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

¿Por qué trabajas el día 20? Porque el día 19 no has acabado el trabajo.

Así pues, si tu fueses el gerente de la carpintería ¿Qué le dirías a tu cliente? Le dirás que vas a tardar 20 días, que es la respuesta.

Pues toda esta argumentación, es la que debes hacer, sobre todo si estás en un examen. Y debes dejarla escrita aunque sea un examen de matemáticas. ¿Te imaginas todas las entradas de este blog sin explicación en prosa? Pues tu profe, que te aseguro que no te tiene manía, necesita saber en cada momento qué estas haciendo, igual que tú necesitas que yo te guíe cuando lees este blog.

Ejemplo 6

Una cuadrilla de 5 resineros son capaces de resinar una mata de pinar en tres días, y cobran por ello 1050€. ¿Cuántos resineros son necesarios para resinar otra mata igual si han trabajado 6 días y han cobrado 1680€?

La tabla que resume el problema es la siguiente:

Tabla resumen del problema de proporcionalidad compuesta

Como es hay una proporcionalidad directa y otra inversa con las cuales hay que trabajar. Así que la ecuación a resolver es:

    \[\frac{5}{x}=\color{darkgreen}\frac{1050}{1680}\color{red}\cdot \frac{6}{3}\]

Cuya solución es:

    \[6\cdot 1050 x= 5\cdot 1680\cdot 3 \quad \Longrightarrow \qquad x= \frac{15120}{6300}= 2.4\]

Y aquí tenemos otra vez que interpretar un número. Evidentemente no puede haber 2.4 personas trabajando, por lo que tenemos que aclarar cuál va a ser la solución. Puedes explicarlo de varias maneras:

  • Hay una persona que ha trabajado sólo parte del tiempo del resto.
  • Uno de los trabajadores está aprendiendo, y cobra menos.
  • La persona que ha recogido los datos que te han dado se ha equivocado en algún número.

Cualquiera de estas interpretaciones, o cualquiera otra que se te pueda ocurrir (pero que sea plausible, por favor) debes dejarla escrita y más si estás haciendo un examen.

Lo que quiero hacerte notar con todo esto es que lo verdaderamente importante no es el resultado (2.4 en este caso) si no la interpretación del mismo. Y en mi caso es lo que más valoro en un examen.

Ejemplo 7

Un ganadero posee 50 vacas que alimenta con 500 kg de pienso durante una semana obtiene 2000 l de leche. ¿Cuántas leche puede conseguir si alimenta 75 vacas durante 2 semanas con 1500 kg de pienso?

Este ejercicio es muy sencillo, y a pesar de que son 4 variables, todas se relacionan con «leche» de manera directamente proporcional.

Tabla resumen del problema de proporcionalidad compuesta.

Así, la ecuación a resolver es:

    \[\frac{2000}{x}=\frac{50}{75}\cdot \frac{500}{1500}\cdot \frac{1}{2}\]

Y la solucion es:

    \[25000x=450\000\000\quad \Longrightarrow \quad x= 18000\]

Y volvemos a lo de siempre: ¿qué es ese número, 18000? Pues es la producción de leche. Así la solución es:

El ganadero debería esperar una producción de 18000\ l de leche.

Ejemplo 8

A continuación puedes ver los ingredientes para realizar una fabada tradicional para 6 personas. Si disponemos de 3 morcillas, 4 chorizos, 400 g de panceta ¿Cuántas alubias debemos añadir si pretendemos dar de comer a 12 personas?

Ingredientes necesarios para cocinar una fabada asturiana. Fuente: recetasderechupete.com

Esta receta está sacada de la página web recetasderechupete.com la cual te recomiendo que visites. Vamos a utilizar esta receta como ejemplo de lo que es una proporcionalidad compuesta en un ejemplo de la vida diaria.

Aunque te pueda parecer que vas a necesitar tener en cuenta todos y cada uno de los ingredientes de la receta, lo cierto es que sólo debes atender a aquellos que te nombran en el enunciado. Por ello la tabla a realziar es la siguiente (deberías pensar por qué todas las relaciones que se establecen son de proporcionalidad directa):

Tabla resumen del problema de proporcionalidad compuesta

Pero con esta tabla, la solución casi la podemos tocar con la mano 🖐

    \[\frac{500}{x}=\frac{6}{12}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{250}{400}\]

Cuya solución es:

    \[6000x=28\ 800\ 000\quad \Longrigtharrow \quad x=4800\]

4800 ¿qué? gramos de alubias. Es decir

Necesitamos 4800g=4.8kg de alubias

Resumiendo

Espero que con esta entrada te haya quedado claro cómo enfrentarte a problemas de proporcionalidad compuesta. Como en todos lo ejercicios que se proponen en un curso de ESO y bachillerato, los resultados están adaptados para que salgan bien; en la vida diaria lo más seguro es que ningún número sea entero, por eso te he insistido tanto en interpretar el resultado y lo importante que es. Al menos yo le doy tanta importancia a las operaciones como a la interpretación del resultado.

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Bibliografía

  • Colera Jiménez, J., Oliveira González, M. J., Gaztelu Albero, I., Colera Cañas, R.; 2016; Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas: 3 ESO; Ed. Anaya; Madrid; ISBN: 978-84-678-5213-4.
  • Quisiera agradecer a la web recetasderechupete.com el haberme permitido utilizar una receta en esta entrada. Pásate por ahí, que es un blog delicioso 😋

Vida de la entrada:

– 2020-11-26: Publicación.

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