▶ 🎖 Problemas de movimiento 🚗🏍

Presta atención al problema de movimiento que te cuento. Es toda una gesta del ciclismo 🚴 el día 13 de julio de 1992 Miguel Induráin participó en la contrarreloj de la 9ª etapa del Tour de Francia de ese año. En esta etapa los corredores salían cada 2 minutos y el ciclista navarro dobló a tres ciclistas que habían salido antes que él (2, 4 y 6 minutos antes).

De esto es de lo que vamos a hablar en esta entrada, de problemas de movimiento, de persecuciones… Esta entrada forma parte de los diferentes problemas aritméticos que se estudian en 3ESO, aunque algunos años es posible introducir alguno en 2ESO, esto no es lo normal.

Por lo tanto, ¿estás dispuesto a resolver un problema de movimiento? abróchate el cinturón 🚀 que comenzamos.

¿Cómo puedes identificar un problema de movimiento?

Presta atención a los siguientes enunciados:

  • Hace unos días, en el País de las Maravillas, Alicia estaba conversando con el Gato de Cheshire, cuando vio pasar a su lado la Liebre de Marzo a una velocidad de 10\ km/h. Como tenía que contarle una historia, apenas 10\ s después Alicia salió corriendo detrás de la liebre a 15\ km/h. La madriguera de la liebre está situada a 100\ m de donde está Alicia, ¿podrá alcanzar a la liebre antes de que entre en la madriguera?
  • Paula sale a las 11, 3\ h de su casa caminando a 5, 7\ km/h en busca de su amigo Álex. A las 13, 9\ h sale Álex a su encuentro en bicicleta a 19, 2\ km/h. Si viven a 39, 4\ km ¿a qué hora se encuentran?
  • Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 80\ km/h y, dos horas más tarde, sale un coche de la misma ciudad a 120\ km/h. ¿A qué distancia de la ciudad alcanzará el coche al camión?
  • Esther viaja de Sevilla a Barcelona en su coche. Sale a las 8 de la mañana y lleva una velocidad constante de 90\ km/h. A 110\ km de Barcelona, Juan coge, a esa misma hora, un autobús que viaja a 70\ km/h, con la misma dirección que Esther. ¿A qué hora se encuentra Esther con el autobús? ¿Qué distancia ha recorrido cada uno?
  • A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz, distantes entre sí 660\ km, a una velocidad de 75\ km/h, y a esa misma hora, Natalia sale de Cádiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Tomás a una velocidad de 120\ km/h. ¿A qué hora se cruzarán? ¿Y a qué distancia estarán de Cádiz?

Características de un problema de movimiento

Como puedes observar hay una serie de características comunes a los anteriores problemas:

  • Te describen una situación de persecución o encuentro.
  • Se te va a preguntar por un tiempo, un espacio o incluso por una velocidad.
  • Siempre hay datos de los dos móviles, pero parece que falta algo.

Pues estas características, y alguna más que podrás tú mismo descubrir (puedes dejarlas en comentarios más abajo 👇) es lo que caracteriza a un problema de movimiento.

Cómo enfrentarte a un problema de movimiento

Pues de la misma manera que cuando haces otro problema. Lo primero es hacer un dibujo que represente el problema y que además te sirva para poder guiarte en su resolución.

Para ello no es necesario que seas un experto dibujante, ni mucho menos. Es suficiente con que el esquema que hagas describa la situación del dibujo.

Por lo tanto los pasos que debes dar son:

  • Hacer el esquema que represente el problema.
  • Establecer qué datos te da el problema y qué datos debes calcular.
  • Paralelamente al paso anterior, puedes ir identificando las relaciones que hay entre ambos datos.
  • Lo más seguro es que haya una o dos variables que sean iguales para ambos móviles. ¡¡Ahí está la clave de la resolución!!
  • Algunas personas van planteando sistemas de ecuaciones, lo cual, en principio no tiene ningún pero. Sin embargo, cuando mires el esquema, podrás plantear el problema con una única ecuación de primer grado.

Ahora yo te voy a ir resolviendo cada uno de los problemas anteriores y vas a poder observar como mis esquemas no son artísticos, si no simplemente eso, esquemas. Además, vas a poder ir identificano cada uno de los pasos que te acabo de enumerar.

Toma papel y lápiz ✍ que comenzamos ‼

Resolución de los ejemplos anteriores

Ejemplo 1

Hace unos días, en el País de las Maravillas, Alicia estaba conversando con el Gato de Cheshire, cuando vio pasar a su lado la Liebre de Marzo a una velocidad de 10\ km/h. Como tenía que contarle una historia, apenas 10\ s después Alicia salió corriendo detrás de la liebre a 15\ km/h. La madriguera de la liebre está situada a 100\ m de donde está Alicia, ¿podrá alcanzar a la liebre antes de que entre en la madriguera?

Este es el esquema del problema:

Esquema que representa el problema de movimiento de Alicia y la Liebre de Marzo.

Aquí tenemos lo siguiente:

  • Alicia está al inicio y sale 10s después de la liebre de marzo.
  • Además se deben encontrar antes de la madriguera, pues si la Liebre de Marzo llega a la madriguera antes que Alicia, no la puede perseguir y por tanto no la alcanza.
  • Las velocidades son distintas tanto para Alicia como para la Liebre.
  • El tiempo que está la Liebre corriendo es el mismo que el de Alicia más 10 s (o bien Alicia está 10 s menos moviéndose).

¿Qué es lo común para ambos? El espacio. Ambos recorren el mismo espacio hasta que se encuentran, pero en diferente tiempo. Así que lo único que tenemos que saber es a qué distancia se encuentran y una vez hecho esto ver si es mayor o menor que la distancia a la madriguera.

Vamos a ver las diferentes variables:

Para Alicia

  • Velocidad: v_a=15\ km/h
  • Tiempo: t_a=t_l-10\ s
  • Distancia: d

Para la Liebre

  • Velocidad: v_l=10\ km/h
  • Tiempo: t_l=t_l
  • Distancia: d

Como sabes la distancia recorrida en función de la velocidad y el tiempo es: d=v\cdot t por tanto

Para Alicia: d=v_a\cdot t_a

Para la Liebre: d=v_l\cdot t_l

Y ahora tenemos un problema. Las velocidades están en km/h y el tiempo de retraso de Alicia está en s. Necesitamos hacer un cambio de unidades. En mi caso voy a pasar los segundos a horas y voy a seguir operando. ¿Cómo voy a operar? Sencillo, si la distancia recorrida por ambos es la misma (hasta su encuentro), entonces puedo plantear la siguiente ecuación:

    \[v_a\cdot t_a=v_l\cdot t_l\]

Es decir, la distancia que recorre Alicia es la misma que la que recorre la Liebre.

Y poniendo números con sus cambios de unidades y todo, tenemos:

    \[15\ \frac{km}{h} \left(t_l-10\ s\cdot \frac{1h}{3600}\right)=10\ \frac{km}{h}\cdot t_l\]

Y si resuelves esta ecuación, sencilla, de primer grado obtienes que

    \[t_l=\frac{1}{120}\ h\]

¿Y esto que es? Pues un tiempo en horas que son 30 segundos.

Así que tardan en encontrarse 30 segundos… ¿de quien? de la liebre (porque he calculado t_l). Luego la distancia a la que se encuentran es:

    \[d=10\ \frac{km}{h}\cdot 10\ s \cdot \frac{1h}{3600s}=0.0833\ km=83.3\ m\]

Por tanto se encuentran 83 m después de haberse cruzado. Esto es, Alicia alcanza a la liebre ANTES de que esta llegue a la madriguera.

Ejemplo 2

Paula sale a las 11, 3\ h de su casa caminando a 5, 7\ km/h en busca de su amigo Álex. A las 13, 9\ h sale Álex a su encuentro en bicicleta a 19, 2\ km/h. Si viven a 39, 4\ km ¿a qué hora se encuentran?

La forma esquemática de representar el problema es:

Esquema que representa el problema de movimiento de Paula y Álex.

Debes darte cuenta de lo siguietne:

  • Entre ambos recorren la totalidad de los 39.4\ km
  • Todas las unidades son coherentes es decir, todo está en kilómetros y horas.
  • Alex sale después que Paula, por lo tanto el tiempo que está en movimiento es menor.

A continuación te pongo un cuadro similar al que hicimos en el ejercicio anterior:

Para Paula

  • Velocidad: v_p=5.7\ km/h
  • Tiempo: t_p
  • Distancia: d_p

Para Álex

  • Velocidad: v_a=19.2\ km/h
  • Tiempo: t_a=t_p-2.7
  • Distancia: d_a= 39.4-d_p

Y con esto tenemos todos los elementos necesarios para empezar a trabajar en el planteamiento de la ecuación. Como resulta qeu nos preguntan por la distancia a la que se encuentran vamos a igualar los tiempos.

Ya sabes que si tienes la velocidad (v) y la distancia (d), el tiempo (t) se calcula \displaystyle t=\frac{d}{t}

  • Tiempo de Paula: \displaystyle t_p =\frac{d_p}{v_p}=\frac{d_p}{5.7}
  • Tiempo de Álex: \displaystyle t_a =t_p-2.7= \frac{d_a}{v_a}=\frac{39.4-d_p}{19.2}

De esta segunda ecuación tenemos que \displaystyle t_p=\frac{39.4-d_p}{19.2}+2.7 Y ahora podemos igualar los tiempos de Paula que hemos calculado (fíjate que en el fondo es resolver un sistema de dos ecuaciones lineales por igualación). Así obtenemos:

    \[\frac{d_p}{5.7}=\frac{39.4-d_p}{19.2}+2.7\]

Y cuando resuelves esta ecuación obtienes que:

    \[d_p=20.88\ km\]

¿Y todo esto está bien? Hazte siempre esta pregunta, ya que nada impide que te hayas confundido al operar.

Pues bien, para saberlo, lo que debes hacer es lo siguiente:

  1. ¿Cuánto tiempo ha estado andando Paula? \displaystyle t_p=\frac{20.88}{5.7}=3.66\ h
  2. Por tanto, Álex ¿Cuánto tiempo estuvo montado en bicicleta? \displaystyle t_a=t_p-2.7=0.96\ h
  3. En ese tiempo, ¿Qué distancia recorrió Álex? \displaystyle d_a=t_a\cdot v_a= 19.2\cdot 0.96=18.51\ km
  4. ¿entre ambos suman la distancia inicial?: \displaystyle 39.4 \overset{??}{=} d_a+d_p= 20.88+18.51 Y salvo por el redondeo es verdad.

Por tanto:

Paula y Álex se encuentran a 20.88\ km de la casa de Paula y 18.51\ km de la casa de Álex.

Ejemplo 3

Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 80\ km/h y, dos horas más tarde, sale un automóvil de la misma ciudad a 120\ km/h. ¿A qué distancia de la ciudad alcanzará el automóvil al camión?

Este es un ejemplo típico de ejercicio de persecución, cuyo esquema es:

Esquema que representa el problema de movimiento entre un camión y un coche.

El resumen de datos es el que puedes ver en el siguiente cuadro:

Para el camión:

  • Velocidad: v_c=80\ km/h
  • Tiempo: t_c
  • Distancia: d_c

Para automóvil:

  • Velocidad: v_a=120\ km/h
  • Tiempo: t_a=t_c-2
  • Distancia: d_a=  d_c

La ventaja de este cuadro es que acabamos de ver qué es lo común en ambos casos (la distancia) y además la relación que existen entre todas las variables del problema. Como la distancia (d) conociendo la velocidad (v) y el tiempo (t) es: d=v\cdot t y ambas distancias (camión y automóvil) son iguales, tenemos:

    \[v_a\cdot t_a=v_c\cdot t_c\qquad \Longrightarrow \qquad 120\left(t_c-2\right)=80\cdot t_c\]

Y si resuelves esta ecuación de primer grado, sencilla donde las haya, obtienes que:

\displaystyle t_c=6\ h

O dicho de otra manera, se encuentran cuando el camión lleva 6 horas de recorrido o cuando el alutomóvil lleva 4 horas de recorrido.

Es decir, se encuentran a 480 \ km del punto de inicio.

Ejemplo 4

Esther viaja de Sevilla a Barcelona en su coche. Sale a las 8 de la mañana y lleva una velocidad constante de 90\ km/h. A 110\ km de Barcelona, Juan coge, a esa misma hora, un autobús que viaja a 70\ km/h, con la misma dirección que Esther. ¿A qué hora se encuentra Esther con el autobús? ¿Qué distancia ha recorrido cada uno?

Como siempre, empieza por realizar un esquema de la situación:

Esquema que representa el problema de movimiento de Esther y Jorge.

Ahora deberías elaborar un cuadro donde aparezcan todas las variables y su valor numérico para así poder saber su relación.

Para Esther:

  • Velocidad: v_e=90\ km/h
  • Tiempo: t_e
  • Distancia: d_e

Para Jorge:

  • Velocidad: v_j=70\ km/h
  • Tiempo: t_j=t_e
  • Distancia: d_j=  d_e-110

Puedes observar en el cuadro de arriba que ahora lo que es distinto para ambos, a parte de la velocidad es la distancia, porque Jorge sale con 110 km recorridos debido a que la referencia la hemos puesto en la Ciudad Condal. Y sabiendo qeu lo común es el tiempo, podemos plantear la siguiente ecuación:

    \[\frac{d_e}{90}=\frac{d_j}{70}=\frac{d_e-110}{70}\]

Y si resuelves la ecuación anterior obtienes que:

d_e=495\ km

Por lo tanto, la distancia que recorre Jorge es: d_j=1000-110-495=395\ km

El último paso que deberías hacer es comprobar que efectivamente los cálculos son correctos. Para ello deberías calcular el tiempo que está cada uno de ellos en movimiento y ver si las distancias que calculas de esa manera son las mismas.

NOTA: En este ejercicio nos han dado la distancia Sevilla-Barcelona, pero podríamos haberlo resuelto sin saber ese dato.

Ejemplo 5

A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz, distantes entre sí 660\ km, a una velocidad de 75\ km/h, y a esa misma hora, Natalia sale de Cádiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Tomás a una velocidad de 60\ km/h. ¿A qué hora se cruzarán? ¿Y a qué distancia estarán de Cádiz?

Lo primero es lo primero. Debes esquematizar el problema, como por ejemplo aquí abajo.

Esquema que representa el problema de movimiento de Tomás y Natalia.

Ahora toca resumir los datos de la siguiente manera:

Para Tomás:

  • Velocidad: v_t=75\ km/h
  • Tiempo: t_t
  • Distancia: d_t

Para Natalia:

  • Velocidad: v_n=120\ km/h
  • Tiempo: t_n=t_t
  • Distancia: d_n=  660-d_t

¿Qué es lo común en ambos casos? El tiempo. Puesto que ambos salen a la misma hora, ambos están en movimiento el mismo tiempo. Así puedes plantear la siguiente ecuación:

    \[\frac{d_t}{75}=\frac{660-d_t}{120}\]

Y resolver esta ecuación es muy sencillo. Su solución es:

d_t=253.85\ km

Esto significa que se encuentran a esa distancia de Cádiz, pero ¿a qué hora? Calcular esto es tan sencillo como saber cuánto tiempo ha tardado Tomás en recorrer esa distancia y sumárselo a la hora de salida:

t_t=\frac{253.85}{75}=3.38\ h

Por tanto la solución es:

Se encuentran a 253.85\ km de Cádiz a las 10,38 h= 10:23 ¡¡¡Ten cuidado con el cambio de horas a horas, minutos y segundos. Se trata del sistema sexagesimal!!!

En resumen

Espero que con esta entrada te haya quedado claro como enfrentarte a un problema de movimiento. Como has podido comprobar se trata de problemas donde sólo intervienen tiempo, velocidad y distancia y se pueden presentar como encuentros o persecuciones.

Supongo que te habrá quedado claro la importancia de hacer un esquema y de ser ordenado en qué escribir y cómo escribirlo.

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Bibliografía

  • Colera Jiménez, J., Oliveira González, M. J., Gaztelu Albero, I., Colera Cañas, R.; 2016; Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas: 3 ESO; Ed. Anaya; Madrid; ISBN: 978-84-678-5213-4.

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