▶📚 No me gustan los porcentajes… 😥

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Los porcentajes se empiezan a estudiar en 1ESO, por lo que, como profesor, me resulta complicado ver cómo algunos alumnos aun tienen problemas en este tipo de situaciones en 3ESO o 4ESO. Claramente algo falla cuando después de dos o tres años estudiando esto aún no se es capaz de aprehender el significado de las situaciones que se plantean en este tipo de problemas.

Lo que a mí me suele dar mejor resultado en cursos bajos (1ESO y 2ESO) es unir los porcentajes al estudio de las fracciones. Después de haber estado trabajando durante varios días (normalmente entre 6 y 8 horas de clase) sobre qué es una fracción, qué significa, cómo se opera con ellas… los chicos están preparados para que alguien les diga cosas del tipo «me he ido a comprar un móvil y estaba rebajado un 15%. Al final pagué 200€ ¿Cuál era el precio sin rebajar?»

El caso es que a priori a mi no me parece que este tema tuviese que revestir especial dificultad pues es muy directa su resolución. Además, como lo que interviene siempre es la cantidad inicial, la cantidad final y el porcentaje, sólo se pueden hacer tres tipos de problemas y nada más. Es verdad que se puede complicar algo la cuestión encadenando subidas y bajadas porcentuales, pero el núcleo del problema es muy claro.

En esta entrada te voy a contar lo siguiente:

• Qué es un porcentaje y su relación con las fracciones.
• Por qué una rebaja porcentual seguido de una subida porcentual (igual) no nos da la misma cantidad del inicio.
• Problemas tipo para conocer…
  1. La cantidad final
  2. La cantidad inicial
  3. El porcentaje
• Los porcentajes en ofertas comerciales, la prensa, la TV, la economía…

Porcentajes y fracciones

La interpretación más sencilla que se puede hacer de una fracción es que indica el número de partes que hacemos de algo (denominador) y el número de partes con las que nos quedamos (numerador). Así podemos decir que $3/4$ significa «divide algo en 4 partes iguales y quédate con 3 de ellas» Te pongo varios ejemplos en la imagen siguiente:

Entonces, ¿qué hago para pasar de fracción a porcentaje? La cuestión es que si realizas la división que te indica una fracción como la anterior, donde el numerador es más pequeño que el denominador SIEMPRE te va a salir un número menor o igual que la unidad. Es lógico, si divido algo en partes y tomo algunas, como mucho podré conseguir reunir la totalidad de ellas y lo más normal es que falte algo. Pues bien, si expresas $3/4$ como un número decimal, resulta que tienes $3/4=0,75$ Para pasar este número decimal a un porcentaje, simplemente multiplicalo por 100.

$$\frac{3}{4}=0,75=75\%}$$

Es decir que lo que significa $75\%$ realmente es: «divide en 100 partes y quédate con 75 de ellas» ¿y esto como se expresa en forma de fracción? pues se expresa $\displaystyle \frac{75}{100}$ pero ALTO ¿te acuerdas de las fracciones equivalentes? Pues mira

$$\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$$

Luego esto significa que cuando decimos $75\%$ estamos diciendo lo mismo que si decimos $3/4$ de esa cantidad.

¿Y qué significan los porcentajes mayores que 100%?

Pues si te digo la verdad, no lo sé 🤷🏻‍♂️. Entiendo lo que la gente quiere decir cuando dicen algo como «La deuda en España crecerá este año hasta el 113,4%, su máximo desde que se tienen registros» (noticia de BussinesInsider, consultada 09-10-2020). Lo que quieren decir en este caso es que la deuda será el total del PIB y un 13% más.

Pero en mi opinión decir que algo ha aumentado 📈 al 800% o al 260% es un error matemático de bulto que indica que no se entienden los porcentajes. Observa la siguiente tabla donde vamos a ir escribiendo el porcentaje de tarta que nos comemos.

Fíjate en las dos últimas lineas. ¿Es posible que nos comamos 25 partes de una tarta cuando sólo tenemos 20 partes disponibles? ¿Nos podríamos comer 30 partes? Como ves, de lo máximo que podemos disponer es de la totalidad de las partes, pero no de más del total de las partes.

Ahora vamos a hacer otro ejercicio donde vamos a ir viendo cómo crece cierta cantidad.

Con esta tabla podemos ver que es muy fácil interpretar lo que es una subida del 10% o del 50% o incluso de 100% y sobre todo date cuenta que si algo aumenta un 100% lo que ocurre es que se multiplica por 2 igualmente ocurre que un 200% se corresponde con multiplicarlo por 3 y un 300% se corresponde con multiplicarlo por 4.

¿Y qué me puedes decir de esta noticia de RTVE (consultada el 09-10-2020) que te pongo en la siguiente imagen? Aquí puedes ver dos cosas cuanto menos curiosas:

• «aumento negativo» ¿no lo puedes llamar simplemente descenso? ¿cómo es eso de subir una cuesta bajándola?
• «la ingesta ha superado el 100%» Yo creo que si lo bebes todo, te has bebido el 100% y ya no hay nada más que beber, a no ser que, como son bebidas espirituosas, empieces con el agua de los floreros💐 … que todo es posible en según qué situación.

Claro que la cosa podría haber sido como en esta noticia del diario El País (consultada 09-10-2020)

Y lo bueno es que ni siquiera he tenido que hacer un esfuerzo en buscar todo esto, esta ha sido la búsqueda que he hecho en Google:

Como ves no he hecho una búsqueda muy refinada, y aún así la primera y la quinta noticia traen conceptos curiosos sobre los porcentajes.

No voy a seguir dando más vueltas a esta situación, porque creo que ya ha quedado más o menos clara; así que a partir de ahora vamos a meternos en harina 👨‍🍳

Rebajas y subidas porcentuales

Los problemas de porcentajes son un poco raros. Al principio parece que te están mareando con sube tanto o baja cuanto o pierdo tal cantidad o me dan esta otra cantidad. Sin embargo sólo hay tres cosas que te pueden preguntar. Nada más. Las puedes ver en el siguiente esquema:

Así que ya sabes, el total debe ser lo que te quedas más lo que pierdes. Ni más ni menos.

$$Cantidad\ total\ = \ Lo\ que \ queda\ +\ Lo \ que\ pierdes$$

La única cuestión es que no se suele preguntar así. Todo el mundo estamos deseando que nos digan algo parecido a tengo tres docenas de manzanas y pierdo diez manzanas ¿con cuántas me quedo? Pero la verdad es que te encuentras con preguntas de este estilo:

• Un coche cuesta $12500$ € Cuando lo vas a comprar, el vendedor te dice que lo van a rebajar un $7\%$. ¿Por cuánto lo compras al final?
• Has pagado por un coche $11625$ €. Pero este es el precio del coche rebajado un $7\%$. ¿Cuánto costaba incialmente?
• Un coche que cuesta $12500$ € finalmente lo compras por $11625€$ ¿Cuál es la rebaja (en %) que te han hecho?

Como ves todos los problemas anteriores se refieren a un coche donde te van preguntando cosas distintas:

• En el primer caso te preguntan la cantidad final.
• El el segundo caso te preguntan la cantidad inicial.
• En el tercer caso te preguntan el procentaje de rebaja.

Pues bien, en problemas de porcentajes no hay otra opción. SIEMRPRE te van a preguntar por una de estas tres cosas. Te lo pueden enrevesar todo lo que quieran, contarte una historia de lo más variopinta… pero al final te van a preguntar una de las tres cosas anteriores. No hay más.

Y como todo esto se ve mejor con ejemplos que en plan teórico, vamos a ir viendo cada caso con sus respectivos ejemplso.

Porcentajes y cálculo de la cantidad inicial

Este tipo de problemas son aquellos que te plantean ¿Y si no hubiese pillado la oferta, cuanto habría pagado? Como por ejemplo aquí (consultado 10-10-2020).

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Fíjate, ahora la mochila cuesta $9,15 \euro$, pero ¿Cuánto costaba antes? (lo he difuminado) Lo que sí sabes es que tiene una rebaja del 52% que está muy pero que muy bien. De entrada el 50% de algo es su mitad, así que simplemente con esto ya sabes que, al menos costaba $18,30€$, pero vamos a calcularlo bien:

Si me han rebajado el 52%, eso significa que yo he tenido que pagar el 48%, o lo que es lo mismo 48 partes de un total de 100. Pues ahora tan sólo debes resolver esa ecuación:

$$\frac{48}{100}x=9,15 \longrightarrow x=\frac{9,15}{0,48}\approx 19,06€$$

Dos cosas te quiero advertir sobre esta cuenta:

• Sabíamos que el precio iba a ser mayor que 18,30€ pero tampoco muchísimo más. Nos ha salido 19,06€.
• Hay una forma mucho más rápida de hacer este cálculo y es directamente dividir la cantidad final por el porcentaje en tanto por uno (en este caso 0,48). Es lo que hemos hecho al fin y al cabo.

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Imagina ahora que te plantean el siguiente problema: Manuel se ha comprado una bicicleta que le ha costado 600€. Cuando habla con sus amigos le dicen que esa misma bicicleta hace dos meses costaba menos. Pero no le dicen el precio anterior, le dicen que la bicicleta ha subido un 15%. ¿Cuánto costaba la bicicleta?

No te confundas. Te están diciendo que al precio anterior le han sumado un 15% (¡del precio anterior!) así que no calcules el 15% de 600 y se lo restes, porque si lo haces en un examen, tu profe que no te tiene manía te lo pondrá como mal, ya que no has sabido interpretar el enunciado.

Esta bicicleta costaba una cantidad (la que fuera) y cuando le sumamos el 15% de esa cantidad es cuando obtenemos los 600€.

De forma algebraica (llamando $x$ a la cantidad inicial) ocurre lo siguietne:

$$x+15\%x=600$$

O lo que es lo mismo (ten en cuenta que $15\% =0,15$)

$$x+0,15 x=1,15 x=600 \quad \longrightarrow x=\frac{600}{1,15}\approx 521,74$$

Existe una forma más rápida de calcular esto y es llegar directamente a la última fracción. Como la cantidad inicial, en este caso, tiene que ser menor, eso significa que tendremos que dividir por un número mayor que 1 ¿Cuánto más? pues el porcentaje expresado en tanto por uno ($1+0,15=1,15$)

Porcentajes y cálculo de la cantidad final

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Ahora vamos a echarle un ojo a esta oferta virtual (consultado 10-10-2020)

Como ves aquí no te dicen cuál va a ser el precio final, si no que si eres estudiante, éste será un $30%$ menor. Así pues, si suponemos que el ordenador tenía un precio inicial de… digamos $895\ €$ ¿Cuánto dinero pagarías por él?

El camino que casi todos los alumnos escogen, y no sé muy bien por qué, es el de calcular el 30% a esa cantidad y luego restárselo:

$$30\% 895= 268,5\quad \longrightarrow \quad Precio\ final=895-268,5=626,5$$

Sin embargo, a pesar de que esta operación es impecable, implica dos cuentas: la del cálculo del 30% y la de la resta. Hay una forma muy sencilla de calcularlo discurriendo de la siguiente manera: Si me hacen un descuento del 30% eso significa que no pago 30 partes de las 100 en que se divide el objeto; es decir aún tengo que pagar 70 partes. O lo que es lo mismo, si me hacen un 30% de descuento, es que tengo que pagar el 70% del objeto:

$$Precio \ final =70\% 895=626.5$$

¡¡¡En una sola cuenta!!!

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Imagínate ahora que vas a comprar un reproductor de mp3 y el dependiente te dice que hoy cuesta 55€, pero que si vas mañana está previsto que el precio suba un 25%. ¿Cuánto costará manaña?

Aquí tú partes de una cantidad inicial de 55€ a la cual le sumas el 25% de ella misma. Algebraicamente, llamando $x$ a la cantidad final, significa que:

$$55+0,25\cdot 55=x$$

Es decir que costará 68,75€

Igual que en el caso anterior hay una forma más rápida de calcular esto y es la siguiente: como vamos a obtener una cantidad mayor, lo que debemos hacer es multiplicar por un número mayor que 1 ¿Cuánto más grande? pues el tanto por ciento que aumentamos la cantidad expresado como tanto por uno.

Es decir que tenemos que multiplicar la cantidad inicial por $1+0,25=1,25$ Y espero que ya sepas que esto no es que el precio suba un $125%$…

Problemas de cálculo del porcentaje

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Observa la siguiente oferta de un folleto de un supermercado (consultado el 10-10-2020):

Observa que si compras una dorada necesitarás pagar $3,49\ €$, pero si compras dos piezas pagarás la pieza a $3,25\ €$ (lógicamente tiene que haber un error en la letra pequeña del cartel amarillo). ¿Qué porcentaje te han rebajado?

En este caso tú pagarás $3,25€$ de un total de $3,49$ luego te estás ahorrando $0,44€$ . ¿Cuál es tu precio de partida? …Exacto, $3,49$ luego tu rebaja es:

$$\frac{0,44}{3,49}\approx 0,1261$$

Lo que en porcentaje supone un $12,6\%$ que no está nada mal.

Es importante que sepas de qué precio partes, pues si haces las cuentas desde el precio ya rebajado esos $0,44€$ no suponen el $12,6\%$ si no el $13,5\%$. Así pues debes preguntarte sobre qué cantidad debes calcular el porcentaje; y no hay una regla fija, depende del contexto del problema, pero siempre puedes darle un poco al coco y el propio problema te dará la solución.

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Los porcentajes en el día a día

Aunque te pueda parecer que las mates no sirven en el día a día, lo cierto es que están muy presentes. Vamos a ver algunos ejemplos de uso de porcentajes en documentos importantes.

1️⃣ Ejemplo 1

En el documento Energy and environment report 2008 (no he encontrado otro más reciente, si lo conoces, por favor déjame el enlace en comentarios ), la Unión Europea te presenta varios gráficos y algunos de ellos poseen porcentajes.

En este gráfico se analizan las emisiones de gases de efecto invernadero dependiendo del sector consultado. Ten en cuenta que no te dicen si se emite $1\ kg$ o $1000 \ kg$ El dato que te ofrecen es el de las emisiones totales $5177\ Mt\ CO_2 – equivalent$ y con esto es suficiente para saber cuánto emite cada sector.

En este mismo documento tenemos otro gráfico que es el siguiente:

2️⃣ Ejemplo 2

En esta revista científica (10-10-2020) aparece el siguiente gráfico sobre educación en Europa.

3️⃣ Ejemplo 3

En el Anuario de estadística forestal de 2018 podemos ver el siguiente pictograma donde se colorea cada provincia de España según el porcentaje de superficie forestal respecto del total de la superficie provincial.

Con este tipo de gráficos referidos a porcentaje podemos saber, por ejemplo que la provincia de Valladolid es la que menor superficie forstal tiene en porcentaje. Mucho menos que La Coruña o Huelva. No nos está diciendo si hay 10 ha o 10000 ha de superficie, si no que el porcentaje con respecto a la totalidad de la provincia es menor.

Como de costumbre si quieres comentar algo, necesitas una aclaración o quieres que trate un tema en concreto, no dudes en escribirlo en los comentarios

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 Gracias por leerme 

Bibliografía:

• Argüeso, M., Borobia, N., Lázaro, O., Pajares, A., Tomeo, V.; 2015; Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I; Ed. Paraninfo; Madrid; ISBN: 978-84-283-3548-5.
• Colera Jiménez, J., Oliveira González, M. J., Gaztelu Albero, I., Colera Cañas, R.; 2016; Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas: 4 ESO; Ed. Anaya; Madrid; ISBN: 978-84-698-1069-9.
• Colera Jiménez, J., Oliveira González, M. J., Gaztelu Albero, I., Colera Cañas, R.; 2016; Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas: 3 ESO; Ed. Anaya; Madrid; ISBN: 978-84-678-5213-4.
• Ruiz Jiménez, M. J., Llorente Medrano, J., González García, C., Aparicio Peñas, A. M., Arribas Ruíz, F.; 2015; Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I; Ed. EDITEX; Madrid; ISBN: 978-84-9078-504-1.
• VV.AA.; 2015; Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3ESO; Ed. Santillana – Serie RESUELVE; Madrid; ISBN: 978-84-680-1285-8
• Noticias, gráficos y figuras de publicaciones:
  1. https://www.eea.europa.eu/publications/eea_report_2008_6/Energyandenvironmentreport2008.pdf
  2. https://www.rtve.es/noticias/20200613/mucha-harina-poca-carne-bien-aprovechada-cesta-compra-confinamiento/2016121.shtml
  3. https://cincodias.elpais.com/cincodias/2020/04/15/economia/1586974545_252144.html
  4. https://www.chollometro.com/ofertas/elcorteingles.es
  5. https://store.hp.com/SpainStore/Merch/Offer.aspx?p=c-hp-estudiantes
  6. https://static0.tiendeo.com/images/tiendas/330/catalogos/537382/537382.pdf
  7. https://www.redalyc.org/pdf/755/75524558002.pdf
  8. https://www.mapa.gob.es/es/desarrollo-rural/estadisticas/aef_2018_documentocompleto_tcm30-543070.pdf