✔ ▶ Examen de 3 ESO (1ª ev. 2º ex. 20/21) 📑 🚩

A continuación paso a resolverte el segundo examen de la primera evaluación que hemos hecho este mes de diciembre de 2020.

Ejercicio 1

Anselmo se dedica a la cunicultura. Sabe que con $100\ kg$ de alfalfa (Medicago spp.) puede dar de comer a 16 conejos durante 12 días. Hoy tiene 6 conejos en su granja y $150\ kg$ de alfalfa. El siguiente pedido de pienso se lo sirven dentro de 30 días. ¿podrá alimentarlos durante ese período de tiempo?

Se trata de un problema de proporcionalidad compuesta, donde las variables a estudiar son: número de conejos, kilogramos de pienso y días. Para empezar a solucionar este problema realizamos la siguiente tabla:

SITUACIÓN	CONEJOS	ALFALFA	DÍAS
Enunciado	16	100	12
Pregunta	6	150	x

Tabla que resuelve el problema del examen

Lo primero de lo que debes darte cuenta es que los 30 días a los que hace referencia el problema no forman parte de la tabla, porque realmente te están pidiendo que compares cuántos días puedes alimentar a 6 conejos con 150 kg de alfalfa y si ese tiempo es más o menos de 30 días.

Así pues, una vez que tienes esto claro, debes averiguar cómo se relacionan las distintas variables que te interesan:

Alfalfa y días: se relacionan mediante proporcionalidad directa, puesto que, para la misma cantidad de conejos, cuanta más alfalfa tengas, más tiempo podrás alimentar a los conejos.
Conejos y días: se relacionan de manera inversamente proporcional, puesto que, con la misma cantidad de alfalfa, cuantos más conejos, menos días podrás alimentarlos.

Y con esto en mente sólo tenemos que plantear nuestra ecuación:

$\frac{12}{x}=\frac{100}{150}\cdot \frac{6}{16}$

Mi consejo es que antes de hacer ningún tipo de cuenta, simplifiques el lado derecho de la ecuación.

$\frac{12}{x}= \frac{1}{4}$

Con esto, el cálculo de la $x$ es trivial: $x=48$

Y ahora viene la parte más importante del problema. La interpretación de los datos.

Como Anselmo sabe que tiene pienso para 48 días, puede estar tranquilo, ya que no se quedará sin pienso antes de que le sirvan otra remesa. Por tanto

Anselmo podrá dar de comer a los conejos sin ningún problema.

A continuación te dejo el enlace a un vídeo de mi canal de YouTube donde puedes ver resuelto este mismo problema.

[embedyt]https://youtu.be/CWZ4MFPtQg4&width=200&height=125[/embedyt])

Problema 2

Un orfebre posee dos tipos de lingotes de oro. Unos con una pureza del $90\%$ y otros con una pureza del $75\%$ . Desea obtener $300\ g$ de una amalgama de oro del $85\%$ de pureza.

¿Qué cantidad de cada tipo de lingote debe verter en el crisol?
¿Cuánto $\emph{Au}$ hay en cada uno de los lingotes?

Se trata de un problema de mezclas donde las variables que intervienen son la pureza del oro y los gramos que queremos conseguir.

Para empezar a trabajar el problema, hacemos la siguiente tabla:

Lingote	Pureza (%)	Peso (g)	Au
Lingote A	90%=0,9	$\color{red}x$	$\color{red}0,9x$
Lingote B	75%=0,75	$\color{red}300-x$	$\color{red}0,75\cdot (300-x)$
Amalgama	85%=0,85	$300$	$0,85\cdot 300= 255$

Tabla que resuelve el problema del examen

En esta tabla está todo lo que necesitamos para hacer el problema:

En la columna “pureza” debes poner los datos en tanto por uno ya que es lo que te va a dar la clave para resolver el problema y porque necesitas interpretar el porcentaje.
En la columna peso lo que haces es adjudicar a cada lingote un peso para que al final, la amalgama sean $300\ g$
La columna Au te da la clave. Lo que aporta, en oro, cada lingote a la mezcla debe ser el total de oro que hay en la misma, así que ya tienes tu ecuación a resolver:

$0,9x+0,75\cdot (300-x)=255\Longrightarrow 0,9x+225-0,75x=255$

Y de aquí obtienes que:

$0,15x=30\ \Longrightarrow x= 200$

Y ahora viene la contestación de las preguntas del problema:

¿Cuánto se vierte de cada lingote? $200\ g$ del lingote A y $100\ g$ del lingote B
¿Cuánto oro tiene cada lingote? $180\ g$ en el lingote A, $75 \ g$ en el lingote B y $255\ g$ en el lingote amalgamado.

A continuación te dejo un vídeo de mi canal de YouTube donde puedes ver la resolución de este problema.

[embedyt]https://youtu.be/_rJYUcisMfI&width=200&height=125[/embedyt]

Problema 3

A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz, distantes entre sí $660\ km$ , a una velocidad de $75\ km/h$ . Una hora después, Natalia sale desde Cádiz y se dirige hacia Zamora por la misma carretera que Tomás a una velocidad de $60\ km/h$ :

¿A qué hora se cruzarán?
¿Y a qué distancia están de Cádiz?

Se trata de un problema de persecuciones. Pero debes tener en cuenta que, en este caso, la distancia disminuye desde ambos extremos. Es decir, que la velocidad conjunta es de $135\ km/h$ .

Otra cuestión muy importante a tener en cuenta es que los dos sólo se están moviendo a partir de las 8:00 ya que de 7:00 a 8:00 el único que se mueve es Tomas.

Por ello vamos a replantear el problema y conservar todos los parámetros salvo la hora, que lo cambiaremos a las 8:00 y la distancia que serán $660-75=585 \ km$ .

Si te das cuenta ya lo tenemos casi planteado, deben recorrer $585 \ km$ y esa distancia disminuye a una velocidad de $135\ km/h$ . Por tanto el tiempo que tardan en encontrarse es:

$t=\frac{585}{135}=\frac{13}{3}\ h=4:20$

Pero espera un momento, son 4:20 ¿desde qué momento? Pues desde las 8:00 de la mañana que para eso es la hora que hemos tomado como referencia. Así la hora a la que se encuentran será:

$8:00+4:20=12:20$

Nos falta por saber a qué distancia estarán de Cádiz. Para ello pensamos qué distancia ha recorrido Natalia desde que salió de esa ciudad. Como son $\frac{13}{3}\ h$ a una velocidad de $60\ km/h$ , resulta que el espacio que recorre es:

$d=\frac{13}{3}\cdot 60=260\ km$

Así, la distancia a la que se encuentran de Cádiz es de $260\ km$

A continuación te dejo un vídeo de mi canal de YouTube donde puedes ver la resolución de este problema.

[embedyt]https://youtu.be/NYFEeiXW05Y&width=200&height=125[/embedyt])

Problema 4

¿Cuánto suman los múltiplos de 6 comprendidos entre 200 y 500?

Se trata de la suma de una progresión aritmética, por lo que debemos tener muy presentes las siguientes fórmulas:

$a_n=a_1+(n-1)\cdot d\qquad \qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Y no vamos a necesitar más fórmulas. Lo que sí es necesario es tener una buenas dosis de deducción:

¿Son todos los números entre 200 y 500 los que deberemos sumar? No. Sólo algunos. La sexta parte, así que serán 50, pero mi consejo es que los calcules pues depende cual sean los extremos (200 y 500) puede que sean 50, 49 o 51.
Y una vez que sepas cuántos números debes sumar, tan sólo es aplicar la fórmula:

Para calcular los multiplos de 6 que hay entre 200 y 500 debemos saber que:

El primer múltiplo de 6 mayor que 200 es 204.
El último múltiplo de 6 antes de 500 es 498.

Entre estos dos números hay 498-204=294 números, de los cuales sólo la sexta parte son múltiplos de 6.

Por tanto tenemos que sumar

$\frac{294}{6}=49$

números.

Ahora vamos a ver nuestra progresión aritmética. Lo más sencillo es que consideres tu sucesión de la siguiente manera:

$204,210,216, \ldots, 498$

Así ya sabemos lo siguiente: $a_1=204;\ a_{49}=498$ y podemos calcular la suma:

$S_{49}=\frac{204+498}{2}\cdot 49=17199$

Y esa es la solución…

A continuación te dejo un vídeo de mi canal de YouTube donde puedes ver la resolución de este problema.

[embedyt]https://youtu.be/sGKe9DMIZ6M&width=200&height=125[/embedyt])

Problema 5

Un nenúfar ocupa $10\ cm^2$ . Cada día duplica su superficie hasta cubrir completamente la alberca donde se encuentra. Si esto ocurre al cabo de 20 días:

¿Qué día ocupa la cuarta parte de la superficie?
¿Cuánta superficie tiene la alberca?

En este problema tienes que pelearte con una progresión geométrica, y su interpretación.

A continuación te dejo un vídeo de mi canal de YouTube donde puedes ver la resolución de este problema.

La fórmula general de una progresión geomeétrica es

$g_n=g_1\cdot r^{n-1}$

por lo que si el primer día ocupa $10\ cm^2$ y esperamos $n=10$ días, tenemos que la superficie del estanque es:

$g_{10}=10\cdot 2^{10-1}=5120\ cm^2$

Y la pregunta de respuesta más sencilla es ¿cuándo ocupa la mitad del estanque? Esto ocurre un día antes de cubrir el estanque en su totalidad, porque si cada día duplica la superficie; si lo miras hacia atrás, cada día anterior ha ocupado la mitad.

Así pues las soluciones son:

Superficie del estanque: $5120\ cm^2$
¿Qué día ocupa la mitad del estanque?: el noveno día.

[embedyt]https://youtu.be/qIdjSfqzxXs&width=200&height=125[/embedyt])

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Vida de la entrada:

– 2021-01-21: Publicación.
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Ejercicio 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

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