▶ 🚩 Suma de una progresión aritmética ➕➰

En esta entrada te hablé de las progresiones aritméticas ➰ y cómo caracterizarlas. En la entrada de hoy te voy a enseñar a calcular la suma de una progresión aritmética.

Cuenta la leyenda que lo que te voy a contar se le ocurrió a C. F. Gauss cuando tenía unos 10 años y estaba en clase. Resulta que su profesor les pidió que sumaran los 100 primeros números (en otros sitios he leído que les pidió sumar los números entre 3546 y 3646).

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El caso es que si intentas sumarlos te van a ocurrir dos cosas:

• Vas a tardar un ratito
• Es muy probable, casi seguro, que te vas a confundir.

Así que ahí tienes a Gauss pensando cómo resolver este problema de forma rápida y bien. A los 5 minutos dio con la resupuesta que si lo quieres saber es 5050. Pero vamos a ver cómo se llega a esto.

Deducción de la suma de una progresión aritmética

Imagina que necesitamos calcular la suma de los primeros $k$ términos lo de una progresión aritmética $\{a_n\}$. En un alarde de ingeniosidad, vamos a llamarlo $S_k$. Esto es:

$$S_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k$$

Vamos a verlo con nuestras progresiones aritméticas que trabajamos en la entrada anterior. Te recuerdo que son las siguientes

$$
\begin{aligned}
\{a_n\}=&1+(n-1)\cdot 1= n\\
\{b_n\}=&2+(n-1)\cdot 3\\
\{c_n\}=&10-(n-1)\cdot 4\\
\end{aligned}
$$

Y generan, respectivamente las siguientes sucesiones de números:

$$1,2,3,4,\ldots$$

$$2,5,8,11,\ldots$$

$$10,6,2,-2,\ldots$$

Tomemos $\{b_n\}$ y vamos a sumar los 10 primeros términos. Es decir, tenemos que sumar:

$$S_{10}=2+5+8+11+14+17+20+23+26+29$$

Esta suma es bastante fácil de calcular, el resultado es 187, pero de lo que se trata es de hallar una método general que nos permita sumar no 10 términos si no 10000 términos cualesquiera.

Vamos a poner esta suma del revés es decir:

$$S_{10}=32+29+26+23+20+17+14+11+8+5+2$$

Y ahora viene el truco. Vamos a poner estas sumas una encima de la otra

$$\begin{aligned}
S_{10}=&2+5+8+11+14+17+20+23+26+29\\
S_{10}=&29+26+23+20+17+14+11+8+5+2
\end{aligned}$$

Si ahora sumamos ambas igualdades obtenemos lo siguiente (acuérdate de esta propiedad de las progresiones aritméticas):

$$2S_{10}=31+31+31+31+31+31+31+31+31+31$$

Por lo tanto tenemos que $2S_{10}=310\Longrightarrow S_{10}=155$

Puedes intentar calcular la suma de la progresión aritmética $\{a_n\}$ y $\{c_n\}$ mediante este método. Por ejemplo, intenta sumar los 100 primeros términos de $\{a_n\}$ y los 500 primeros de $\{c_n\}$.

Y eres capaz de hacerlo, pero espero que te sirva también para que veas la utilidad de deducir fórmulas y mecanismos que aceleren y sobre todo aseguren el resultado.

Generalización del método

Vamos a generalizar lo que hemos hecho antes. Tomemos una sucesión arbitraria. Debe ser una sucesión aritmética. Llamémosla $\{\alpha_n\}$ para no confundirnos con la que ya hemos estado utilizando anteriormente. Tenemos que calcular la suma de estos términos de la progresión aritmética:

$$S_k=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\cdots+\alpha_{k-2}+\alpha_{k-1}+\alpha_k$$

Igual que antes, ponemos la suma al revés

$$S_k=\alpha_k+\alpha_{k-1}+\alpha_{k-2}+\cdots+\alpha_3+\alpha_2+\alpha_1$$

Y ahora las ponemos una encima de la otra:

$$\begin{aligned}
S_k=&\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\cdots+\alpha_{k-2}+\alpha_{k-1}+\alpha_k\\
S_k=&\alpha_k+\alpha_{k-1}+\alpha_{k-2}+\cdots+\alpha_3+\alpha_2+\alpha_1
\end{aligned}$$

Cuando sumamos término a término, tenemos:

$$2S_k=\alpha_{1}+\alpha_{k}+\alpha_{2}+\alpha_{k-1}+\alpha_{3}+\alpha_{k-2}+\cdots +\alpha_{k-2}+\alpha_{3}+\alpha_{k-1}+\alpha_{2}+\alpha_{k}+\alpha_{1}$$

Y ahora observa cómo podemos agrupar los sumandos a la derecha del igual:

$$2S_k=({\color{red}\alpha_{1}+\alpha_{k}})+({\color{blue}\alpha_{2}+\alpha_{k-1}})+({\color{red}\alpha_{3}+\alpha_{k-2}})+\cdots +({\color{blue}\alpha_{k-2}+\alpha_{3}})+({\color{red}\alpha_{k-1}+\alpha_{2}})+({\color{blue}\alpha_{k}+\alpha_{1}})$$

Te los he colocado entre paréntesis y alternando colores para que te des cuenta que la suma es siempre constante. Por lo tanto nos queda saber muy poquito:

• ¿Cuánto suman los paréntesis? Pues resulta que cada paréntesis suma lo mismo, según la propiedad que puedes ver aquí.
• ¿Cuántos paréntesis hay? Hay tantos paréntesis como términos sumas.

Por lo tanto, tenemos que:

$$2S_k= k\cdot (\alpha_1+\alpha_k)$$

Y de aquí podemos saber la fórmula que suma los $k$ primeros términos de una progresión aritmética.

$$\color{blue}\fbox{$
\displaystyle S_k=\frac{\alpha_1+\alpha_k}{2}\cdot k$ }
$$

Que también puedes ver escrita como:

$$S_k=\left(\alpha_1+\alpha_k\right)\frac{k}{2}$$

Fíjate en el número $\displaystyle \frac{k}{2}$. Este es la cantidad de parejas que puedes hacer con los diferentes términos que sumas, así que yo recuerdo esta fórmula mediante la siguiente regla mnemotécnica:

Ejemplos de suma de progresión aritmética

Voy a resolverte los ejemplos que te había dejado más arriba planteados:

Suma de los 100 primeros términos de $\{a_n\}=n$

Esto es equivalente, por como está definida la sucesión, a sumar los primeros 100 números. Es lo que le preguntaron a Gauss. Nos piden:

$$1+2+3+4+5+\cdots +99+100$$

Pero nosotros ya conocemos una fórmula que nos lo permite calcular rápidamente:

$$S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot 100=5050$$

Suma de los primeos 500 términos de $\{c_n\}= 10-(n-1)\cdot 4$

En este caso puede echarte para atrás la definición de la progresión aritmética, pero su suma es muy senciilla:

$$S_{500}=10+6+2-2-6-\cdots -c_{500}$$

Nuestro problema aquí va a ser calcular precisamente $c_{500}$, pero con la definción de la progresión esto es muy fácil:

$$c_{500}=10-(500-1)\cdot 4=-1986$$

Con lo que ya podemos sumar tranquilamente:

$$S_{500}=\frac{10-1986}{2}\cdot 500=-489500$$

Como puedes ver es un número al que si debes llegar por el método de la vieja es decir, con paciencia y sumando uno a uno todos los términos… bueno no vas a llegar: 500 números negativos, sumados, en progresión aritmética… tendrás suerte si sólo cometes 4 o 5 errores.

Preguntas típicas de examen

Te voy a dejar algunas de las preguntas típicas de examen que puede ponerte tu profe, que ya te digo que no te tiene manía. Pero no las voy a resolver, eso te lo dejo a ti para que lo hagas en comentarios:

• Calcula la suma de los primeros 70 términos de la siguiente progresión aritmética: $2, 9,16,23,\ldots$
• De una progresión aritmética sabemos que $a_5=\frac{13}{4}$ y que $d=\frac{5}{8}$. Calcula la suma de los primeros 10 términos.
• ¿Cuánto suman los múltiplos de 10 que son mayores de 150 y menores o iguales que 1000?
• Tenemos una progresión aritmética de la que sabemos que $a_{10}=-34$ y $a_{20}=-74$. ¿Cuánto suma $a_{10}+\cdots+a_{20}$

Y hasta aquí la entrada de hoy.

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