▶🎖 Problemas de proporcionalidad directa 👨‍🍳

Siete sardinas y media a peseta y media la sardina y media ¿Cuántas pesetas y media son? Este acertijo me lo decía mi abuelo hace años, y ¡¡ya lo sé resolver!!

¿Sabes que cuanto más deprisa va un vehículo, más espacio recorre en el mismo tiempo? ¿Y que cuanto más deprisa va el mismo vehículo menos tiempo tarda en recorrer la misma distancia? Pues en el primer caso estamos hablando de proporcionalidad directa, mientras que en el segundo caso se trata de proporcionalidad inversa.

En esta entrada nos vamos a encargar de estudiar el primer caso (proporcionalidad directa), y dejaremos la inversa para otra entrada. Así que ponte cómodo, pilla papel y boli y… ¡¡¡COMENZAMOS!!! ✈

Antes de nada, me gustaría decirte que los problemas de proporcionalidad directa e inversa se empiezan a estudiar en 1ESO. Junto a ellos se estudian los repartos proporcionales y la proporcionalidad compuesta aunque esta última se estudia con mayor profundidad en 2ESO

Me gustaría conseguir con esta entrada, sobre todo, que destierres la regla de tres. Es un método poco elegante, y no te permite razonar qué está pasando. Además, mi experiencia me dice que los chavales están tan acostumbrados a la regla de tres que la aplican incluso cuando no la deben aplicar.

Que es la proporcionalidad

En primer lugar te debo decir que dos magnitudes son proporcionales cuando su producto o su cociente es una constante. Aunque lo que te acabo de decir es verdad, lo cierto es que en la práctica se hace lo siguiente:

  • Se dice que dos magnitudes son proporcionales si son directamente proporcionales.
  • Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, se especifica diciéndolo explícitamente.

Bien, pero ¿qué significa que dos magnitudes son proporcionales? ¿Cualquier gráfica creciente es proporcionalidad directa? Pues no. Observa lo que puedes ver representado en este gráfico:

Gráfico que compara dos funciones crecientes. En azul la función logaritmo y en rojo la función lineal. 
La función lineal describe una función de proporcionalidad directa.
Gráfica que muestra dos funciones creciente. Sólo la gráfica roja es proporcionalidad directa.

Como puedes ver en el gráfico, según voy aumentando el valor del eje horizontal (de las X o de abscisas), también aumenta el valor del eje vertical (de las Y o de ordenadas). O dicho de otra manera más coloquial: si aumenta una magnitud, también aumenta la otra.

Pero debes ser cuidadoso, en el gráfico anterior hay dos funciones que son crecientes, pero sólo la que está representada en color rojo representa la proporcionalidad directa. Vamos a analizar el gráfico, pero te voy a decir antes cómo lo he hecho.

¿Cómo he elaborado estas gráficas?

Tranquilo que no me voy a meter con cuestiones de análisis matemático ni nada por el estilo. Te voy a decir cómo puedes crear tú esta misma gráfica.

Para ello he utilizado el software gratuito R. En concreto en su distribución de R-Studio, en donde he tecleado el siguiente código:

x<-1:10
lineal<-0.1*x
logaritmo<-log10(x); logaritmo

curve(log10(x), type="l", col="blue", lwd=2, xlim=c(1,10), ylim=c(0,1), xlab=c("Abscisas"), ylab=c("Ordenadas"))
points(logaritmo~x, add=T, pch=17, col="blue", type="p")

points(lineal~x , add=T, type="l", col="red", lwd=2)
points(lineal~x, add=T, pch=17, col="darkgreen", add=T, type="p")

En las tres primeras líneas he creado mis datos:

  • He creado el conjunto x que es x=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}
  • El conjunto lineal lo he conseguido dividiendo el anterior conjunto x por 10.
  • Luego he creado mi conjunto logaritmo calculando el logaritmo en base 10 de x. Si aún no sabes qué es un logaritmo no te preocupes. Es una función creciente, que toma la forma de una curva creciente; con esto nos basta para lo que te quiero contar en esta entrada.

En la siguiente línea he dibujado la curva de la función logaritmo:

  • He codificado que el color sea azul, la anchura de la línea, los límites del gráfico…
  • Luego he añadido los puntos de mi archivo logaritmo en color azul.

En las siguientes dos líneas he dibujado la gráfica en color rojo:

  • He codificado un gráfico donde la variable dependiente sea lineal y mi variable independiente sea el conjunto x.
  • Posteriormente he añadido los triagulitos verdes sobre la recta roja, que son cada uno de los 10 puntos de mi conjunto lineal.

¿Qué te tiene que quedar claro sobre la proporcionalidad directa?

Me gustaría que con esta gráfica te quede claro lo siguiente: Sólo la recta roja representa dos magnitudes que son directamente proporcionales. La gráfica azul, a pesar de ser estrictamente creciente, no representa una función de proporcionalidad (ni directa, ni inversa, ni nada de nada…).

Así que espero que te grabes a fuego esta gráfica y qué significa una función de proporcionalidad directa. Recuerda:

Sólo la gráfica de color rojo representa una función de proporcionalidad directa.

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo.

De forma algebraica lo puedes representar como una recta que pasa por el origen de coordenadas.
y=mx

No quiero entrar aquí en la ecuación de una recta y demás cuestiones que pertenecen a otras entradas del blog. Pero fíjate en la m. Se llama constante de proporcionalidad, y si la despejamos como si fuera una ecuación obtendremos

    \[m=\frac{y}{x}\]

¿Y todo esto qué significa? pues sencillamente que si dividimos los valores de ambas magnitudes conseguimos siempre el mismo número.

Vamos a verlo con los valores de la gráfica anterior. Te lo pongo en la siguiente tabla, donde he redondeado a dos decimales:

xlineal\displaystyle \frac{x}{lineal}\displaystyle \frac{lineal}{x}logartimo\displaystyle \frac{x}{logaritmo}\displaystyle \frac{logaritmo}{x}
10.1100.100
20.2100.10.306.640.15
30.3100.10.486.290.16
40.4100.10.606.640.15
50.5100.10.707.150.14
60.6100.10.787.710.13
70.7100.10.858.280.12
80.8100.10.908.860.11
90.9100.10.959.40.11
101100.11100.10
Relación entre magnitudes directamente proporcionales y dos magnitudes no directamente proporcionales.

Como puedes ver en la tabla anterior, cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, al dividirlas siempre tenemos el mismo resultado. Con los datos anteriores, siempre obtenemos 10 o 0.1 dependiendo de que dividamos \displaystyle \frac{x}{lineal} o bien \displaystyle \frac{lineal}{x}.

Por contra, ¿qué ocurre con los logaritmos?, pues que NUNCA dan los mismos resultados (a veces obtenemos el mismo número, pero es debido al redondeo).

Bueno, espero que hasta aquí te haya quedado claro cómo saber si dos magnitudes son directamente proporcionales. Ahora vamos a hacer unos ejemplos.

Problemas típicos de proporcionalidad directa

A continuación te voy a poner varios ejercicios-ejemplos de proporcionalidad directa. Es proporcionalidad simple, con lo que sólo van a intervenir dos magnitudes. Pero primero unos consejos de cómo enfrentarte a estos ejercicios:

Consejos para hacer los ejercicios

Mi consejo (luego tú puedes hacer lo que quieras), cuando debas enfrentarte a este tipo de problemas es que procedas de la siguiente manera:

  1. Haz una tabla donde las columnas sean las magnitudes que intervienen y las filas sean las situaciones que te propone:
    Normalmente tendrás tres filas: la primera con el nombre de las magnitudes, la segunda con los datos del enunciado y la tercera con lo que debes calcular; a veces tendrás una cuarta o quinta si lo que te piden es calcular más situaciones.
  2. Identifica si tus magnitudes son directa o inversamente proporcionales. En esta entrada todos los problemas son directamente proporcionales, pero en un examen es una pregunta que te vas a tener que hacer.
  3. Como, en esta entrada, serán magnitudes directamente proporcionales, ya sabes que su cociente será constante.
  4. Si has llegado al paso anterior, ya tienes planteada una ecuación en la que tienes dos fracciones igualadas.
  5. Resuelve la ecuación anterior.

Ejercicios típicos de proporcionalidad directa

Algunos de los problemas de proporcionalidad directa que vas a ver a continuación los he llegado a poner en exámenes, con lo cual puedes interpretar que son típicos. ¡¡Comenzamos!!

Ejercicio tipo 1

Para hacer determinado tipo de sustrato de jardinería se usa perlita. Por cada 4.5\ kg de sustrato se deben añadir otros 0.5\ kg de perlita y así obtenemos sustrato cultivable. Si se necesitan 2000\ kg de sustrato cultivable, ¿cuánta perlita hemos utilizado?

ES muy fácil ver que se trata de un ejercicio de proporcionalidad directa, ya que cuanto más sustrato cultivable necesitemos, más cantidad de perlita deberemos añadir. Por lo tanto, lo primero es realizar la siguiente tabla:

SituaciónSustrato comercialPerlitaConstante (m)
Enunciado5\ kg0.5\ kg\displaystyle \frac{5}{0.5}
Problema2000\ kgx\displaystyle \frac{2000}{x}
Tabla resumen del problema.

Fíjate en la tabla. Se trata de un problema de proporcionalidad directa donde intervienen dos magnitudes distintas: «Sustrato comercial» y «Perlita» Como resulta que es directa, tenemos que el cociente entre ambas magnitudes es siempre constante (que es la columna de la derecha). La clave está en escribir la columna de la derecha. Si lo haces tienes la constante de proporcionalidad, que debe ser igual para ambas situaciones, por lo que ya tienes planteada la ecuación a resolver:

    \[\frac{5}{0.5}=\frac{2000}{x}\]

Lo cual es una ecuación muy muy sencilla de primer grado cuya solución es x=200

¿Y esta es la solución? Pues no. Un número suelto en un papel no es la solución. Ahora tienes que volver al enunciado y a tu tabla y decir cuál es la solución. Algo así como lo siguiente:

Para conseguir 2000\ kg de sustrato comercial, se necesitan 200\ kg de perlita.

Y ahora sí, esa es la solución.

Ejercicio tipo 2

Dos albañiles tardan en construir tres paredes 10 días. ¿Cuánto tiempo tardarán en construir 12 paredes?

En este caso puede parecerte que hay tres magnitudes y que se trata de proporcionalidad compuesta:

  • Número de albañiles.
  • Días que tardan.
  • Paredes que construyen.

Pero lee un poco más el enunciado. ¿Acaso importa el número de albañiles? ¿no son la misma pareja la que interviene en ambas situaciones (enunciado y problema)? Pues entonces esa magnitud está ahí para despistarte; y tu profe no lo ha hecho porque te tenga manía, si no porque necesita saber que entiendes completamente el problema y eliminas lo superfluo de lo esencial.

Vamos a elaborar la tabla:

Situación AlbañilesDiasParedes
Enunciado2103
Problema2x12
Tabla resumen del problema

Sigamos: ya hemos dicho que el número de albañiles no varía, así que esa magnitud no la vamos a tener en cuenta. Lo que sí sabemos es que cuantos más días pasen, más paredes podrán construir; o dicho de otra manera: las magnitudes «días» y «paredes» son directamente proporcionales.

Y sí, ya sé qué te estás preguntando: si son dos magnitudes directamente proporcionales ¿las divido o las multiplico? Evidentemente el cociente es constante, así que hay que dividir, y obtienes:

    \[\frac{10}{x}=\frac{3}{12}\]

Y como resulta que si dos fracciones son iguales se verifica que producto de medios es igual a producto de extremos tenemos que:

    \[10\cdot 12=3x\quad \Longrightarrow \quad x=40\]

Así pues ¿Cuánto tardarán? 40 días.

Y ya está. Fin del problema.

Ejercicio tipo 3

En cierta ciudad ha empezado a llover y está llegando el agua al tanque de tormentas de la estación depuradora de aguas. Hace dos horas, dicho tanque estaba al 20% y ahora está al 75%. ¿Cuánto tardará en llenarse si sigue a este ritmo?

En este problema, antes de empezar a pensar en proporcionalidad directa o no, lo primero es arreglar las magnitudes. Esto es ¿qué datos te están dando? Te dan por un lado un tiempo (2 horas) y por otro lado la cantidad del tanque de tormentas que se ha llenado (55%) y es con esto con lo que vamos a trabajar.

Por otro lado, la pregunta es ¿cuánto tardará en llenarse?, es decir, cuanto tiempo tardará en estar al 100%, o lo que es lo mismo, cuánto tardará en llenarse otro 25% que es lo que aún está vacío.

Pues ya está, vamos a construir nuestra tabla:

Situación\Delta V (%)Tiempo (h)
Enunciado552
Problema25x
Tabla resumen del problema

Como ves, en esta tabla he escrito una magnitud (\Delta V) que será la variación del volumen del tanque y otra magnitud que será el tiempo. Lógicamente a igualdad de lluvia cuanto más porcentaje tenga que llenarse, más tiempo tardará (no nos dice nada el problema de que el aguacero sea mayor o menor). Asi que se trata de dos magnitudes directamente proporcionales.

Y como son dos magnitudes que se relacionan mediante proporcionalidad directa, lo que toca es dividirlas:

    \[\frac{55}{25}=\frac{2}{x}\]

Y ahora despejamos (ya sabes aquello de producto de medios es igual a producto de extremos)

    \[55x=50\quad \Longrightarrow \quad x=\frac{50}{55}=0,90909\ldots\]

¿Y este resultado? Pues este resultado es un tiempo que estamos midiendo en horas, así que ahora se trata de transformarlo en horas minutos y segundos, porque ya sabes que el sistema sexagesimal no es igual que el decimal.

Así, el tiempo que tenemos hasta que el tanque rebose es de

    \[0.9090909\ldots \ h=0:54:32.73\]

O lo que es lo mismo, y lo que diría el ingeniero encargado: Tenemos menos de una hora antes de que el tanque rebose.

Ejercicio tipo 4

Vamos a ver ahora un problema un poquito más complejo. A continuación te pongo los ingredientes y las cantidades necesarias para hacer un delicioso roscón de reyes (es la receta que puedes encontrar en recetasderechupete.com y te puedo asegurar, por experiencia propia que está delicioso 😋)

Bien, resulta que tu primo Cristino te ha dado 500g de prefermento, pero tú no lo vas a utilizar todo, porque lo que necesitas es hacer un roscón para tu familia y en total sois 17 personas. No tenéis problemas con el resto de ingredientes, salvo que sólo tenéis 1kg de harina y 200 ml de leche. ¿Podrás hacer el roscón para toda tu familia? ¿Cuánta harina y leche necesitarás?

Ingredientes y cantidades necesarios para la receta del roscón de reyes. Fuente: recetasderechupete.com

Este problema que es mucho más práctico te lo resolveré dentro de unas semanas. De momento te lo dejo planteado para que lo pienses un poco y si puedes, lo elabores.

Mucha suerte y bon apetit‼

Resumen

Espero que con esta entrada te haya quedado claro cómo resolver problemas de proporcionalidad directa. Como ves, pueden enrevesártelo tanto como quieran, pero al final con la ayuda de la tabla es muy fácil de resolver.

Si quieres contactar conmigo puedes hacerlo aquí 📧

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▶ Gracias por leerme âœ…

Bibliografía

  • Colera Jiménez, J., Oliveira González, M.J., Gaztelu Albero, I., Colera Cañas, R.; 2015; Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas: 3 ESO; Ed Anaya; Madrid; ISBN: 978-84-678-5213-3
  • Quisiera agradecer a recetasderechupete.com el permitirme haber utilizado una de sus recetas en esta entrada. Anímate y visítalos, que su web es deliciosa.

Vida de la entrada:

– 2020-11-12: Publicación.

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