✔ ▶ Examen de 3 ESO (Global 1º Ev 20/21) 📑 🚩

A continuación te resuelvo el examen global de la primera evaluación de 3ESO del curso 2020-2021

Ejercicio 1

Vas a comprar aceite de oliva y te encuentras una oferta de \texttt{2×1: lleva dos unidades y paga sólo la primera}. En el mismo estante te encuentras otra oferta que dice \texttt{Lleva tres y te hacemos un 70\% en la tercera unidad}. ¿cuál de las ofertas es con la que más ahorras?

En este ejercicio te plantean un problema que te puede ocurrir en el día a día: comparar dos ofertas a ver cuál te interesa más. Si quieres leer la entrada sobre los porcentajes, puedes hacerlo aquí.

Vamos con el ejercicio:

Hay varias formas de acercarse a este ejercicio. Te lo haré de dos maneras diferentes:

Primera forma.

Supongamos que lo que la botella de aceite de oliva cuesta 1€ (cuesta más, pero lo importante es tener una cantidad con la que trabajar).

  • 1º Oferta: 2×1. Te llevas dos botellas y pagas 1€. Cada botella «cuesta» 0.5€.
  • 2º Oferta: Lleva 2 y en la tercera tienes un 70%. Te llevas 3 botellas y pagas 1+1+0.3=2.3€. Cada botella «cuesta» 0.77€

Por tanto la oferta con la que más ahorras es la primera. Ahorras un 50%.

Segunda forma

Básicamente es lo mismo que acabamos de hacer, pero con un lenguaje más técnico.

Supongamos ahora que el precio de la botella es P.

  • 1º Oferta: compras dos botellas y pagas P, es decir que cada botella «cuesta» \displaystyle \frac{P}{2}
  • 2º Oferta: compras tres botellas y pagas P+P+0.3P=2.3P. Así cada botella «cuesta» \displaystyle \frac{2.3\cdot P}{3}

¿Qué oferta es mejor? Vamos a dividir ambos precios y ver si nos da un resultado mayor o menor que uno.

    \[\frac{Oferta\ 1}{Oferta \ 2}=\frac{\frac{P}{2}}{\frac{2.3\cdot P}{3}}=\frac{15}{23}<1\]

Como el resultado que obtenemos es menor que uno, esto significa que el numerador es menor que el denominador. O lo que es lo mismo, con la oferta 1 pagas menos.

Como ves llegamos al mismo resultado.

Ejercicio 2

Una planta perenne genera 5 semillas y al año siguiente cada una de las plantas hijas, genera otras cinco semillas y así sucesivamente. ¿Cuántas plantas hay al cabo de 10 años? (NOTA: no calcules las potencias. Déjalo indicado. Si quieres calcularlo necesitas saber que 5^9=1953125)

Se trata de calcular el término número 10 de una progresión geométrica.

Simplemente hay que aplicar la fórmula y ya está. Además no te pido que lo calcules, sólo déjalo indicado (no obstante ya sé que alguien va a querer calcularlo, y como no dejo calculadora en los exámenes, por eso te digo cuánto es 5^9. Por cierto es una pistaza 🕵)

    \[g_n=g_1\cdot r^{n-1}\]

Como nos piden el año 10, tenemos que n=10. Además, como cada planta genera 5 semillas, tenemos que r=5. Por otro lado, como empezamos con una planta: g_1=1

    \[g_{10}=1\cdot 5^{10-1}=5^9=<strong>1953125</strong>\]

Ejercicio 3

Simplifica:
\frac{1}{3}-\frac{\displaystyle3-\frac{1}{3} }{\displaystyle3-\frac{1}{\displaystyle 2-\frac{1}{2}}}=
\sqrt[3]{16\cdot 12\cdot 36\cdot 343}=

Se trata de un ejercicio de aritmética sencillo para 3ESO.

Apartado A: \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{\displaystyle3-\frac{1}{3} }{\displaystyle3-\frac{1}{\displaystyle 2-\frac{1}{2} } }=

    \[\displaystyle\frac{1}{3}-	\frac{	    \displaystyle 3-\frac{1}{3}      	}{		\displaystyle 3-			\frac{				1     			}{				\displaystyle 2-\frac{1}{2}     			}         	} = \frac{1}{3}- \frac{		\displaystyle \frac{9-1}{3} 	}{	 	3-\displaystyle \frac{	 		1	 	}{	 		\displaystyle \frac{4-1}{2} 	 	}	 }	 =\frac{1}{3}-\frac{		\displaystyle \frac{8}{3}	}{		\displaystyle 3-\frac{2}{3}	}=\]

Seguimos operando:

    \[\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{\displaystyle\frac{8}{3}}{3-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}-\frac{\displaystyle\frac{8}{3}}{\displaystyle\frac{9-2}{3}}=\frac{1}{3}-\frac{8}{7}=\]

Y de aquí obtenemos que:

    \[\frac{7-24}{21}=-\frac{17}{21}\]

Apartado B: \sqrt[3]{16\cdot 12\cdot 36\cdot 343}=

La única dificultad aquí estriba en factorizar 343=7^3 porque la factorización de los demás números debe ser trivial en 3ESO.

    \[\sqrt[3]{16\cdot 12\cdot 36\cdot 343}=\sqrt[3]{2^4\cdot 2^2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 3^2\cdot 7^3}=\sqrt[3]{2^8\cdot 3^3\cdot 7^3}=2^2\cdot 3\cdto 7\sqrt[3]{2^2}\]

Este ejercicio, puesto que se trata de saber si sabes operar, para mi ya está completamente hecho. Sin embargo, debido a que los números son muy manejables, no estaría de más que escribieses que tu solución es:

    \[84\sqrt[3]{4}\]

Ejercicio 4

Alicia estaba conversando con el Gato de Cheshire, cuando vio pasar a su lado la Liebre de Marzo a una velocidad de 10\ km/h. Como tenía que contarle una historia, apenas 10\ s después Alicia salió corriendo detrás de la liebre a 15\ km/h. La madriguera de la liebre está situada a 100\ m de donde está Alicia, ¿podrá alcanzar a la liebre antes de que entre en la madriguera?

Este ejercicio lo puedes ver resuelto aquí. Así que no te lo voy a volver a resolver 🤷

Ejercicio 5

20 obreros trabajando 7 horas al día tardan 8 días en construir una caseta. Si sólo disponemos de 14 obreros y 10 días, cuántas horas necesitarían trabajar al día para realizar la misma obra?

Se trata de un problema de proporcionalidad compuesta, así que lo primero que debes hacer es elaborar tu tabla:

SituaciónObrerosDíasHoras
Enunciado2087
Problema1410x
Tabla resumen del problema.

Lo siguiente que debes ver es cómo se relacionan las variables de las que tienes información, con la variable hora:

  • Obreros-Horas: INVERSA. Porque cuantos más obreros haya, menos horas se va a tardar.
  • Dias-Horas: INVERSA. Porque cuantos más días tengas, menos horas debes trabajar para acabar a tiempo.

Así que ahora planteamos nuestro problema:

    \[\frac{20}{14}\cdot\frac{8}{10}=\frac{x}{7}\]

Sólo hay que operar y tenemos:

    \[x=\displaystyle \frac{20}{14}\cdot\frac{8}{10}}\cdot 7=8\]

Así pues, habría que trabajar 8 horas al día.

Y con esto se acabó la entrada de hoy, pero antes de despedirme, déjame que me eche unas flores 💐 y te diga que el examen está puesto para que apruebe hasta el que no quiere…

Y ahora sí, hasta aquí la entrada de hoy, si quieres estar al loro 🦜 de lo que ocurre en el blog, suscríbete al boletín 👇

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