🎖 🚩 Progresión geométrica, amapolas y dinero 💐 💶

Si yo le cuento un rumor a dos personas y cada una de ellas se lo cuenta a otras dos en media hora y después esas personas se lo vuelven a contar a otras dos y… así sucesivamente. ¿Cuánto tarda en saberlo toda la ciudad? y ¿si en vez de un rumor es un virus que se propaga? ¿Una plaga?… Bienvenido a la entrada sobre la progresión geométrica‼

Ya te he contado en una entrada lo que es el crecimiento exponencial, así que no me meteré en ello. Lo que te quiero contar aquí es cómo podemos formular una progresión geométrica de tal manera que podamos manejarla. En otra entrada veremos la suma de los elementos de una progresión geométrica.

¿Podemos deducir la fórmula de una progresión geométrica? 🤔

Voy a recordarte dos historietas con las que siempre empiezo a explicar este tema en clase. Probablemente ya las hayas oído, así que puedes saltártelas si lo deseas.

Talentos de plata ⚪

Caius Pupus fue elegido por Julio César para supervisar las 12 pruebas que tenían que realizar Astérix y Obélix. Después de todo ese tiempo, Caius fue a ver al Emperador y este le dijo.

-Salve Caius, quiero recompensarte por tu dedicación y trabajo al Senado Romano y por ello he dispuesto que tu recompensa será la siguiente:

  1. El primer día irás al Tesoro Romano y recogerás un Talento de plata.
  2. El segundo día recogerás dos Talentos.
  3. El tercer día recogerás cuatro Talentos.
  4. Y así continuarás, recogiendo siempre el doble de Talentos que el día anterior.

-Así lo haré, oh Julio César. Pero ¿hasta cuándo?

-Lo harás así hasta que ya no puedas llevar más peso con tu propio esfuerzo.

La pregunta es, ¿cuánto dinero recibió Caius Pupus?.

La descendencia de la amapola ➰

Una amapola produce tres semillas y esas tres semillas producen otras tres cada una. Si hay una generación por año, ¿Cuántas amapolas hay al cabo de 15 años? ¿Cuántas amapolas ha habido en total?

En este esquema puedes ver cómo va creciendo la descendencia de la amapola. Se trata de una progresión geométrica típica.

Como ves en sólo tres generaciones las amapolas ya son nueve, y como podrás imaginar, el crecimiento es muy rápido.

Fórmulas que debes saber de una progresión geométrica

En los ejemplos anteriores, para hallar la cantidad de dinero o de amapolas en un momento determinado tan sólo basta con multiplicar el anterior número por un número constante. Esa constante se llaman razón y podemos esquematizar lo que ocurre en los ejemplos anteriores mediante la siguiente tabla:

Ejemplo1º2º3º4º5ºn
Talentos1248162^{n-1}
Amapolas13927813^{n-1}
Con esta tabla podemos ver cuál es la evolución de los talentos y la amapola de los ejemplos anteriores.

En la tabla anterior puedes ver una forma de expresar una progresión geométrica que consiste en ir enumerando cada uno de los resultados:

    \[1,2,4,8,16,\ldots\]

    \[1,3,9,27,81,\ldots\]

Esta forma de exponer una progresión geométrica se denomina por extensión.

Otra forma que puedes utilizar para establecer una progresión geométrica es de forma recurrente. Esta manera consiste en emplear frases como y doblando su cantidad en cada paso, o bien y cada vez se multiplica por tres, o cualquier otra forma equivalente que se te ocurra.

Si lo quieres poner como una fórmula algebraica debes escribir:

    \[g_n=g_{n-1}\cdot r\]

Donde:

  • g_n es el término de la progresión geométrica que está en el lugar n: ¿Cuántas amapolas hay el quinto año (n=5)?…
  • g_{n-1} es el término de la progresión geométrica que está en el lugar n-1: Cuántos talentos se lleva el séptimo día (n=7)
  • r es la razón. En el caso de la amapola r=3 y en el caso de Caius Pupus r=2.

La ventaja de esta fórmula es que es muy fácil calcular el término siguiente a uno dado. Pero la desventaja de este método (y es una gran desventaja) es que para calcular g_9 necesitas saber g_8 y para ello necesitas g_7 y necesitas saber g_6… y así sucesivamente. Por lo que si quiere saber cuánto es g_{100} necesitas saber todos los términos anteriores.

Así que la forma recurrente, al final, no es la mejor manera de expresar una progresión geométrica.

Fórmula general de una progresión geométrica 👀

La fórmula general de una progresión geométrica es

    \[g_n=g_1\cdot r^{n-1}\]

Es decir, tan sólo necesitas saber el primer elemento y la razón. De hecho, ahora veremos que con sólo dos elementos cualquiera, podemos caracterizar la progresión geométrica completamente.

¿De donde sale ésa fórmula?

Esta fórmula es muy fácil de deducir a partir de la fórmula recursiva de una progresión geométrica. Observa:

    \[\begin{aligned}              g_n=&g_{n-1}\cdot r\\              g_{n-1}=&g_{n-2}\cdot r\\              g_{n-2}=&g_{n-3}\cdot r\\                   \vdots$   \vdots\\              g_{3}=&g_{2}\cdot r\\              g_{2}=&g_{1}\cdot r\\\end{aligned}\]

Y ahora sólo tenemos que ir anidando las fórumlas ateriores:

    \[g_n=g_{n-1}\cdot r=g_{n-2}\cdot r\cdot r=g_{n-3}\cdot r\cdot r\cdot r=\cdots=g_1\cdot r\cdots r=g_1\cdot r^{n-1}\]

Que es precisamente la fórmula general de una progresión geométrica.

¿Qué pasa con nuestros ejemplos?

Ya sabemos cómo podemos calcular la cantidad de amapolas (a_n) que habrá en 15 años:

    \[a_{15}=1\cdot 3^{14}=4\ 782\ 969\]

No está nada mal para ser simplemente los descendientes de una simple amapola. Ahora bien, date cuenta que una amapola no tiene sólo 3 semillas hijas si no bastantes mas (como curiosidad: si juegas a la quiniela de fútbol debes saber que el número total de quinielas distintas es precisamente 3^{14}, pero eso lo puedes aprender aquí).

Vamos a ver ahora qué ocurre con Caius Pupus. La fórmula general que describe cuánto irán pesando los talentos dados a Caius Pupus es:

    \[g_n=15\cdot 2^{n-1}\]

Resulta que una persona no puede arrastrar cualquier peso. Así que vamos a imaginar que el mayor peso que puede llevar es el del campeona española de halterofilia Lidia Valentín: 268\ kg. Supongamos que un talento romano pesaba 15\ g

Por lo que la pregunta que te debes hacer es la siguiente ¿Cuándo estos 15\ g se han convertido en 268\ kg=268\ 000\ g?

Es decir, tienes que preguntarte:

    \[T_n=15\cdot 2^{n-1}=268000\qquad \Rightarrow \qquad n=15,12\]

Es decir que al cabo de 16 días Caius Pupus habrá llegado al máximo de dinero que puede tener como recompensa. Te dejo esta entrada para que calcules cuánto dinero se llevó.

Antes de seguir vamos ha hacer una gráfica donde representemos qué ocurre en cada uno de los ejemplos anteriores. Como de costumbre aquí tienes el código de R para que puedas elaborar el gráfico.

geometrico<-function(x, a1=1, r=2){a1*r^(x-1)}
curve(geometrico(x, a1=1, r=2), xlim=c(0,12), ylim=c(0,1000), col=2, lwd=3, main="Crecimiento exponencial", ylab="", xlab="Periodo")
curve(geometrico(x, a1=1, r=3),col=4, lwd=3, add=T)
legend(0,1000, legend=c("Amapola", " Talentos"), fill=c(4,2))

Si ejecutas este código, podrás obtener el siguiente gráfico:

Gráfico que muestra el crecimiento exponencial de la amapola y los talentos de Caius Pupus. Fíjate en la escala de los ejes. ¿Has visto como un crecimiento exponencial se sale del gráfico rápidamente?

Ya te he dicho que aquí no quiero hablarte de crecimiento exponencial, por lo que lo dejaremos en este gráfico. Lo que sí quiero es enseñarte lo siguiente:

¿Cómo puedo caracterizar una progresión geométrica? 🤔

En general, para conocer una progresión geométrica necesitas conocer dos de sus elementos, siendo éstos g_1, g_n y r.

Piensa que cuando hemos hablado de la fórmula general de una progresión geométrica necesitábamos, precisamente g_1 y r, con lo que ya teníamos sus dos elementos necesarios para caracterizarla.

Conociendo g_k y r

Supón que tenemos que caracterizar una progresión geométrica de la que sabemos que g_{10}=8 y r=\sqrt[3]{2}. Cuando leas este tipo de enunciados, lo que te están pidiendo es que, al final, escribas la fórmula general de una progresión geométrica.

Te están pidiendo que halles g_1 y r y como r te lo están dando, al final lo que te piden es que halles g_1.

Para ello vamos a partir de la fórmula general de la progresión geométrica, pero la vamos a adaptar a nuestros datos. ¿Qué dato tengo? pues g_{10} y r. Así pues

    \[g_{10}=g_1\cdot r^9=g_1\cdot \left(\sqrt[3]{2}\right)^9=8\]

Y ahora sólo debemos despejar nuestra incógnita; que es g_1:

    \[g_1=1\]

Por lo que ya tenemos el ejercicio resuelto:

    \[g_n=1\cdot \left(\sqrt[3]{2}\right)^{n-1}\]

Conociendo g_k y g_j

Imagínate que tenemos dos términos de una progresión geométrica que son: g_5=4 y g_{15}=128 ¿Cómo averiguamos de qué progresión geométrica se trata?

Mi consejo es que uses la fórmula general pero para cada término que te han dado.

    \[\begin{aligned}g_5=&g_1\cdot r^4=4\\g_15=&g_1\cdot r^{14}=128\end{aligned}\]

Una vez que has llegado hasta aquí, lo más fácil es dividir ambos términos de la siguiente manera:

    \[\frac{g_5}{g_{15}}=\frac{g_1\cdot r^4}{g_1\cdot r^{14}}=\frac{4}{128}\]

Y operando de esta manera, mágicamente ocurre que los términos g_1 se simplifican y que sólo debemos usar las propiedades de las potencias para seguir realizando el ejercicio:

    \[\frac{4}{128}=\frac{1}{32}=\frac{r^4}{r^{14}}=\frac{1}{r^{10}}\]

Y esta ecuación que te va quedando es muy sencilla de resolver:

    \[32=r^{10}\quad \Longrightarrow \quad r=\sqrt[10]{32}=\sqrt{2}\]

Así que ya sabemos el valor de la razón , r. Falta por calcular el primer término, y para ello recurrimos a uno de los datos que nos dan en el ejercicio. Por ejemplo, trabajando con g_5 obtenemos:

    \[g_5=g_1\cdot r^4=4\quad \overset{r=\sqrt{2}}{\Longrightarrow}\quad g_1=1\]

En resumen

Espero que te haya quedado claro que una progresión geométrica no es tan fiera como parece al principio. Ha quedado una entrada cortita, pero creo que no es necesario nada más. Si necesitas alguna cuestión en particular, déjamelo en comentarios y vemos 👁 qué podemos hacer:

Esta entrada, junto con la del crecimiento exponencial y junto a la de la suma de una progresión geométrica es todo lo que tengo que contarte sobre estas cuestiones tan curiosas. ¿Son infrecuentes en la vida diaria? No mucho, y si no intenta calcular una anualidad de un préstamo o un interés compuesto. Ahí están.

Espero que todas estas entradas te sirvan para que no te engañen cuando estés intentando contratar alguno de estos servicios… 🙃

En fin, nada mas por hoy

Progresión geométrica en comentarios

Voy a proponerte una serie de ejercicios para que los intentes resolver en comentarios. También puedes dejarme otros ejemplos que hayas visto en otro lugar… o que se te hayan ocurrido por el camino.

Primer ejercicio

Halla el término general de una progresión geométrica de la que conocemos que g_{11}=512 y la razón es r=2

Segundo ejercicio

Halla el término general de una progresión geométrica de la que conocemos que g_6=4096 y la razón es r=4

Tercer ejercicio

Halla el término general de una progresión geométrica de la que conocemos que g_6=1 y la razón es g_{16}=10^{-10}

Cuarto ejercicio

Halla el término general de una progresión geométrica de la que conocemos que g_{16}=113.6868 y la razón es g_{18}=177.6357

Quinto ejercicio

Halla el término general de una progresión geométrica de la que conocemos que g_{13}=156250 y la razón es g_{7}=1250

Sexto ejercicio

Halla el término general de una progresión geométrica de la que conocemos que g_{5}=2 y la razón es g_{9}=\displaystyle \frac{2}{9}

Y ahora ya sí. Hemos terminado esta entrada‼🎉

Si quieres contactar conmigo puedes hacerlo aquí 📧

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▶ Gracias por leerme âœ…

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