Examen 3ESO (1Ex 2Ev) - Mi profe me tiene manía

En la entrada de hoy te voy a solucionar el examen que hicimos el pasado día 11-02-21 en 3 ESO. El tema sobre el que trataba el examen eran los polinomios y las fracciones algebráicas. Verás que es un examen muy sencillo.

Ejercicio 1

Resuelve los siguientes productos notables:

En rojo te pongo los enunciados y en azul las soluciones.

$\displaystyle\color{red} (x-2)^2= \color{blue} x^2-4x+4$
$\displaystyle\color{red} 5-x^2=\color{blue} \left(\sqrt{5}-x\right)\cdot \left(\sqrt{5}+x\right)$
$\displaystyle\color{red} x^2-3x+9/4=\color{blue}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2$
$\displaystyle\color{red} (2+x)\cdot (2-x)=\color{blue} 4-x^2$
$\displaystyle\color{red} x^2+2x+1=\color{blue} \left(x+1\right)^2$
$\displaystyle \color{red} (3x+2)^2=\color{blue} 9x^2+12x+4$

Ejercicio 2

Sean los siguientes polinomios $A(x), \ B(x), \ C(x)$ . Calcula

$-2xA(x)+B(x)C(x)$

$A(x)=-x^5+x^4-2x^3+3x^2-5x+1$

$B(x)=-x^4+2x-3$

$C(x)= -x^2-2$

Resolver este ejercicio es muy sencillo. Se trata de aritmética básica de polinomios, así que lo primero es calcular cuanto es $B(x)C(x)$ :

$B(x)\cdot C(x)=(-x^4+2x-3)\cdot (-x^2-2)=x^6-2x^3+3x^2+2x^4-4x+6$

Es decir:

$B(x)\cdot C(x)= x^6+2x^4-2x^3+3x^2-4x+6$

Por otro lado tenemos que calcular $-2xA(x)$ que es:

$-2xA(x)=-2x(-x^5+x^4-2x^3+3x^2-5x+1)=2x^6-2x^5+4x^4-6x^3+10x^2-2x$

Por lo que el último paso es sumar ambas operaciones parciales:

$-2xA(x)+B(x)C(x)=(2x^6-2x^5+4x^4-6x^3+10x^2-2x)+(x^6+2x^4-2x^3+3x^2-4x+6)$

Que sumado es:

$-2xA(x)+B(x)C(x)=3x^6-2x^5+6x^4-8x^3+13x^2-6x+6$

Ejercicio 3

Dado el polinomio $P(x)=9x^4-9x^3-ax^2+2x+12$ calcula el valor de $a$ para que $x=3$ sea una raíz de dicho polinomio.

En este ejercicio te plantean un problema típico donde tienes que demostrar que sabes diferenciar raíz de un polinomio, factor de un polinomio y cómo se relaciona ello con el valor númerico del mismo.

Hay dos formas de enfrentarse a este problema:

Primera forma: Mediante el teorema del resto:

En este caso, sólo debemos hallar el valor numérico de $P(x=3)$ que se representa de forma correcta como $P(3)$ e igualarlo a cero, es decir $P(3)=0$

$P(3)=9\cdot 3^4-9\cdot 3^3-a\cdot 3^2+2\cdot 3+12=504-9a===0$

y de aquí deduces que

$\fbox{$a=56$}$

Segunda forma: Mediante el algoritmo de Ruffini

En este caso se trata de utilizar inteligentemente la regla de Ruffini a nuestro favor. Para ello realizamos lo siguiente:

$\text{\begin{tabular}{c|ccccc}\color{red}$ $&\color{red}$9 $&\color{red}$ -9$&\color{red}$-a $&\color{red}$2 $&\color{red}$12 $\\\\\color{blue}$3 $&$ $&$27 $&$54 $&$162-3a $&$492-9a $\\\hline \\$ $& \color{orange}$9 $&\color{orange}$18 $&\color{orange}$54-a$&$\color{orange}164-3a$ &${\hspace*{-11pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black} 504-9a$\\\cline{6-6}\end{tabular}}$

Y ahora todo lo que tenemos que hacer es igualar el resto de esta división a 0 (que es lo mismo, y con los mismos número que nos ha salido antes)

$504-9a=0\quad \Longrightarrow \fbox{$a=56$}$

Por lo tanto nuestro polinomio es:

$P(x)=9x^4-9x^3-56x^2+2x+12$

Ejercicio 4

Supón que en el ejercicio anterior has obtenido $P(x)=9x^4-9x^3-56x^2+2x+12$ . Factorízalo hallando todas sus raíces y factores. Expresa el polinomio correctamente factorizado.

Aquí tienes una pista muy, pero que muy buena para resolver el ejercicio anterior. Y además, implícitamente ya tienes una raíz: $x=3$ Por lo tanto, vamos a aplicar la regla de Ruffini, pero vamos a empezar por $x=3$ porque sabemos que tiene que ser raíz.

Divisores del término independiente: $D(12)=\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\}$

$\text{\begin{tabular}{c|ccccc}\color{red}$ $&\color{red}$9 $&\color{red}$ -9$&\color{red}$-56 $&\color{red}$2 $&\color{red}$12 $\\\\\color{blue}$3 $&$ $&$27 $&$54 $&$-6 $&$-12 $\\\hline \\$ $& \color{orange}$9 $&\color{orange}$18 $&\color{orange}$-2$&$\color{orange}-4$ &${\hspace*{-11pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black} 0$\\\cline{6-6}\\\color{blue}$-2 $&$ $&$-18 $&$0 $&$4 $&$ $\\\hline \\$ $& \color{orange}$9 $&\color{orange}$0 $&\color{orange}$-2$& ${\hspace*{-11pt}}\vline \hspace*{7pt}\color{green!60!black} 0$\\\cline{5-5}\end{tabular}}$

Y una vez llegados aquí, debemos resolver esta ecuación de segundo grado:

$9x^2-2=0\Longrightarrow\left\{\begin{aligned}x_ 1&=\frac{\sqrt{2}}{3}\\ x_ 2&=-\frac{\sqrt{2}}{3}\end{aligned}$

Por lo tanto tenemos que:

Raíces del polinomio: $\displaystyle x_1=-2,\,x_2=3,\, x_3=\frac{\sqrt{2}}{3},\, x_4=-\frac{\sqrt{2}}{3}$
Factores del polinomio: $\displaystyle (x+2),\, (x-3),\, \left(x-\frac{\sqrt{2}}{3}\right),\, \left(x+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$
Polinomio factorizado: $\displaystyle P(x)={\color{red}9}\cdot (x+2)\cdot (x-3)\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \left(x+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$

Ejercicio 5

Opera la siguiente fracción algebraica, dejando el resultado tan simplificado como sea posible:

$\frac{x^2-2}{x^3-3x^2+3x-1}\cdot \frac{x^2-2x+1}{x^2-2\sqrt{2}x+2}+\frac{x^2-2x+3}{x^2-x-2}$

En mi opinión este es el ejercicio más difícil de todo el examen. El resto son ejercicios triviales que miden si has estudiado y conoces los rudimentos de las operaciones. Pero para resolver este necesitas algún conocimiento más asentado (vamos, que de alguna manera hay que diferenciar el 8 del 10). Sólo se podía hacer un paso, y sólo esperaba que se hiciese un paso.

Si factorizamos todo lo que aparece tenemos:

$\frac{(x-\sqrt{2})\cdot (x+\sqrt{2}) }{(x-1)^3}\cdot \frac{(x-1)^2}{(x-\sqrt{2})^2}+\frac{x^2-2x+3}{(x-2)(x+1)}$

Ahora simplificamos todo lo que podamos y tenemos:

$\frac{x+\sqrt{2}}{x-1}\cdot \frac{1}{x-\sqrt{2}}+\frac{x^2-2x+3}{(x-2)(x+1)}$

Con llegar aquí es suficiente, y lo cuento como correcto. A partir de aquí las operaciones se vuelven un poco diabólicas y no pretendía que nadie siguiera operando.

Y hasta aquí la entrada de hoy. Como ves, ha salido cortita y espero que te sirva

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