▶ 🎓 ¿Cardinal de un conjunto? 💎

Cardinal de un conjunto

El concepto de cardinal de un conjunto es abstracto y depende tan sólo de la naturaleza que poseen los elementos que forman parte del conjunto en estudio.

Si estamos estudiando conjuntos finitos, se puede hablar indistintamente de cardinal y ordinal.

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Por ejemplo, el conjunto de todas las vocales: $V=\{a,e,i,o,u\}$ posee cardinal 5 y también ordinal 5. Además, lo podemos considerar un conjunto ordenado según establece el alfabeto. Decimos entonces que tiene tantos elementos como números anteriores a 5. De esta manera los números anteriores a 5 y las vocales poseen «la misma ordenación».

Ten en cuenta que el cardinal no nos permite distinguir el conjunto en sí. Por ejemplo, los días de la semana: $D=\{l,m,x,j,v,s,d\}$, los números naturales anteriores a siete $A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$, los colores del arcoiris $C=\{rojo,\, anaranjado,\,amarillo,\,verde,\,azul,\,añil,\,violeta\}$ y el conjunto $B=\{coche,\, lapiz,\, cuaderno, \,mesa,\, verde,\, m,\, 0\}$ poseen todos el mismo cardinal y ordinal (7); pero tan sólo por ello, no podemos distinguir qué conjunto es cada cual. Aunque sí nos permite clasificarlos como: «los conjuntos de siete elementos»

Por otro lado, tenemos el hecho de que dos conjuntos infinitos pueden tener el mismo cardinal pero ordenaciones distintas. Esto es lo que ocurre con los conjuntos $\mathbb{N}, \ \mathbb{Z}, \ \mathbb{Q}$ ambos conjuntos poseen el mismo cardinal (ahora lo vemos, que es de esto de lo que trata esta entrada), pero desde luego no poseen la misma ordenación.

Por seguir con este ejemplo de conjuntos bien conocidos, Cantor llamó $\aleph_0$ (alef sub cero) al cardinal de $\mathbb{N}$ de forma que $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Q}|=\aleph_0$ donde $\displaystyle |A|$ significa cardinal de $A$.

Pero Cantor además demostró que $\aleph_0$ es el mínimo cardinal que puede tener un conjunto infinito.

Distintos tipos de cardinales

Como ya hemos visto, en los casos más sencillos, el cardinal de un conjunto coincide con el número de elementos que posee. Sin embargo, en casos más generales y cuando los conjuntos ($X, Y$) no son finitos (son infinitos por tanto), se dice que dos conjuntos poseen el mismo cardinal si existe una biyección entre ambos y se representa $X\sim Y$

Cuando esa biyección existe, decimos que los conjuntos poseen la misma cadinalidad, el mismo cardinal o la misma potencia.

Veamos estas propiedades con los conjuntos de siete elementos anteriores. Es verdad que no son conjuntos infinitos, pero vamos a hallar varias biyecciónes de uno en otro, de manera que sea evidente de forma visual que poseen la misma cardinalidad y las propiedades que aparecen en el recuadro anterior.

• La reflexividad no te lo he mostrado pero no es más que la aplicación que transforma cada elemento de un conjunto en sí mismo.
• La propiedad simétrica es evidente si analizamos cada una de las flechas. Por ejemplo $Lunes\rightarrow Rojo$ pero $Rojo\rightarrow Lunes$ y así podríamos seguir con cada una de las biyecciones y cada uno de los elementos.
• La transitividad es fácil de ver también. Tomemos el primer renglón: $Lunes \leftrightarrow Rojo$ pero $Rojo \leftrightarrow 0$ y también $0\leftrightarrow Coche$. Lo que te dice la transitividad en estas biyecciones es que puedes pasar desde $Lunes$ hasta $Coche$ por un único camino de ida y vuelta y sin posibilidad de llegar a otro sitio.

El cardinal de los naturales es infinito

Los axiomas de Peano establecen una aplicación $s: \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}$ tal que a cada número natural $n$ la aplicación $s(n)$ le hace corresponder su siguiente: $s(n)=n+1$

Esta aplicación $s$ es una aplicación inyectiva claramente (hay un elemento, $0$ o $1$ dependiendo de cual consideres el primer elemento, que no es imagen de ninguno otro, por lo que no puede ser suprayectiva), además es una aplicación de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{N}-\{1\}$. Por lo que $\mathbb{N}$ no puede ser finito.

Pero atención, tomemos los números naturales pares, que vamos a representar como $\mathbb{N}_2$, podemos establecer la siguiente biyección $\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}_2$ mediante $b(n)=2n$ Así tenemos que:

Por tanto tenemos dos cuestiones a tener en cuenta:

• $\mathbb{N}_2\subset \mathbb{N}$
• $|\mathbb{N}_2|=|\mathbb{N}|$ debido a la biyección que acabamos de establecer.

E igual que hemos hecho para números pares, podríamos hacer para los impares, múltiplos de tres, múltiplos de cuatro, números primos… Podemos establecer una biyección entre cada uno de estos conjuntos y el conjunto de los números naturales, y resulta, pues, que tienen la misma potencia

Esta cuestión (un conjunto es coordinable con un subconjunto de sí mismo) es algo inherente a la infinitud.

Conjunto numerable

Decimos que un conjunto es numerable si posee el mismo cardinal que los números naturales. Esto que a priori puede parecer trivial, es algo muy importante, como vamos a ver a continuación.

De momento ya hemos detectado varios (infinitos, de hecho) conjuntos numerables:

• El conjunto de todos los números pares: la biyección es $b(n)=2n$
• El conjunto de todos los números impares: la biyección es $b(n)=2n+1$
• El conjunto de todos los múltiplos de tres: la biyección es $b(n)=3n$
• El conjunto de todos los números que dejan resto tres al dividirlos por cinco: la biyección es $b(n)=5n+3$
• El conjunto de todos los números primos: la biyección es $b(n)=p_n$ siendo $p_n$ el primo que ocupa el lugar $n$
• …

A pesar de todo, hay dos conjuntos muy importatnes que son numerables y cuya demostración de numerabilidad es muy ingeniosa y sencilla:

Los números enteros son numerables

Cuando yo oí esto por primera vez me dejó boquiabierto. Y más si piensas que la numerabilidad de un conjunto significa de alguna manera que posee los mismos elementos que $\mathbb{N}$. Es verdad que tiene infinitos elementos, pero si un conjunto como $\mathbb{N}$ es un subconjunto de $\mathbb{Z}$ y además $\mathbb{N}$ tiene menos elementos que $\mathbb{Z}$ ¿cómo es posible que tengan el mismo cardinal?

Dejando de lado lo que a mí me asombró en su día, voy a mostrarte cuál es la biyección que muestra que $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|$. Lo que debes hacer es lo siguiente:

• Los números enteros positivos $\mathbb{Z}^+$ los vas a poner en relación con los números pares naturales. En $\mathbb{Z}^+$ incluiremos el 0.
• Los números enteros negativos $\mathbb{Z}^-$ los vas a poner en relación con los números impares naturales.

Así, la biyección que tienes es la siguiente:

Pues si esto te ha parecido interesante, lo siguiente te va a parecer de lo más ingenioso.

Los números racionales son numerables

Si a ti te dicen que los racionales son numerables tienes dos opciones: la primera es creértelo y seguir con tu vida; y la segunda es decir ¿comorrr? no me lo creo, muéstramelo.

En este caso, la biyección es un poco más complicada de montar.

• Vamos a crear una tabla en la que la fila superior sean todos los numeradores de los números racionales; del 1 en adelante.
• La columna de la izquierda de esa tabla, van a ser los denominadores de los número racionales; del 1 en adelante.
• El número racional de la casilla de la fila $i$ y la columna $j$ será $\displaystyle \frac{j}{i}$
• El 0 no va a estar representado en esta tabla.

Veamos unas cuantas casillas de esa tabla:

Ahora puedes ver algunas cosas en esta tabla:

• Están representados todos los números racionales porque aparecen todas las posibles combinaciones de numeradores y denominadores.
• Algunos números aparecen varias veces como $\displaystyle 1=\frac{1}{1}= \frac{2}{2}=\frac{3}{3}=\frac{4}{4}=\ldots$ Así que todos estos números repetidos hay que borrarlos y quedarnos solamente con el representante canónico. Aunque si no lo haces tampoco afectaría demasiado a la demostración de numerabilidad, pero tendrías infinitos números repetidos infinitas veces. Te he coloreado aquellos números racionales que cumplen esto, pero sólo los que aparecen por debajo de la diagonal de la tabla anterior.
• No aparecen los números negativos. Esto lo solventamos de la misma manera que hicimos con los enteros.

Lo que debes hacer es trazar diagonales como te muestro en esta figura:

De esta manera, y teniendo en cuenta de que debes eliminar aquellas fracciones que no sean representantes, te aparece la siguiente sucesión (lo vamos a llamar retahíla):

$$\displaystyle 1; \, \frac{2}{1}; \, \frac{1}{2}; \, \frac{3}{1}; \, \frac{1}{3}; \, \frac{4}{1}; \, \frac{3}{2}; \, \frac{2}{3}; \, \frac{1}{4}; \, \frac{5}{1}; \, \frac{1}{5}; \, \frac{6}{1}; \, \frac{5}{2}; \, \frac{4}{3}; \, \frac{3}{4}; \, \frac{2}{5}; \, \frac{1}{6}\ldots$$

¿Cómo podemos estar seguros de que aparecen todos los números racionales?. Sencillo. Elige una diagonal, por ejemplo $\displaystyle \frac{6}{1}; \, \frac{5}{2}; \, \frac{4}{3}; \, \frac{3}{4}; \, \frac{2}{5}; \, \frac{1}{6}$ En esta diagonal están expresadas todas las formas posibles de sumar 7 con el numerador y denominador: $6+1=5+2=4+3=3+4=2+5=1+6$ es decir que en estos pares de números están representadas todas las fracciones posibles $\displaystyle \frac{m}{n}$ tal que la suma de numerador y denominador sean exactamente $m+n$.

Ya hemos dicho que de estas posibles fracciones, algunas habrán aparecido con anterioridad. En ese caso las obviamos y no las tenemos en cuenta.

Ahora relacionamos cada una de las fracciones que aparecen en la retahíla anterior con los números naturales pares.

¿Qué pasa con los números impares?, muy sencillo, construímos otra tabla igual que esta pero en las que las fracciones sean negativas y los relacionamos con los números impares.

¿Y qué pasa con el 0? Sencillo también. El 0 no va a aparecer en ninguna tabla, así que relacionamos el 0 número natural con el 0 número racional.

De esta manera hemos establecido una biyección entre todos y cada uno de los números racionales y todos y cada uno de los números naturales. Con lo que concluímos que $|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|$

Entonces… ¿los números reales también son numerables?

Pues lamento decirte que no. Los números irracionales son un infinito mayor que $\aleph_0$. Estoy editando un vídeo para demostrártelo de viva voz por lo que en breve te lo haré llegar. De momento, si quieres entrar en mi canal de YouTube, es este.

En fin, nada mas por hoy

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Bibliografía

• Delgado Pineda, M., Muñoz Bouzo, M. J.; 2010; Lenguaje matemático, conjuntos y números; Ed. Sanz y Torres; Madrid; ISBN: 978-84-92948-30-7.
• Ivorra Castillo, C.; 2020; Lógica y teoría de conjuntos; Url: https://www.uv.es/ivorra/Libros/Libros.htm; Consultado: 20-09-2020.
• Lentin A., Rivaud, J.; 1971; Álgebra moderna; Ed. Aguilar; Madrid.
• Linés, E.; 2009; Principios de análisis matemático; Ed. Reverté; Barcelona; ISBN: 978-84-291-5072-8.