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Introducción a los repartos proporcionales

Dos alumnos hacen un examen al alimón, así que el profesor decide repartirles la nota. ¿Cómo lo hará?

Bienvenido a la entrada sobre repartos proporcionales. En este ejemplo te he propuesto una anécdota más o menos común en las aulas, pero imagínate que eres un vendedor y el jefe te quiere dar una prima en función de tu número de ventas. ¿Cómo debería hacerlo para ser justos?

Ya sabes que los problemas de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa se empiezan a estudiar en 1ESO. Junto a ellos se estudian los repartos proporcionales y la proporcionalidad compuesta aunque esta última se estudia con mayor profundidad en 2ESO. Hoy nos vamos a dedicar a ver qué son y cómo se calculan los repartos proporcionales, tanto directos como inversos.

Mi experiencia me dice que los alumnos ya saben realizar repartos proporcionales directos mediante el algoritmo de la regla de tres, la cual espero que destierres a partir de ahora, por ser un método poco elegante y bastante dado a errores. Como casi todos los problemas aritméticos se pueden resolver con una tabla y hallando los valores faltantes. El método es general y la única diferencia entre los repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales se basa en que éstos últimos necesitan un pequeño ajuste antes de empezar a hacer cuentas.

Problemas que vamos a resolver

En esta entrada no te voy a habar de teoría sobre los repartos proporcionales. Considero que lo mejor es enseñarte cómo se resuelven mediante una serie de ejemplos. Así que allá vamos.

Enunciados

P1.- (Howarts) Cuando Albus Dumbledore muere deja especificado que su fortuna de 154800 galeones sea repartida entre Harry Potter 🥍, Ron Weasley 👕y Hermione Granger 🎓, según el número de hermanos que sean en la familia. Así quien más hermanos tenga, deberá recibir más dinero. ¿Cuánto recibe cada uno?
P2.- (Frutería) Andrés, Beatriz y Carlos montan una frutería, FrutaFresca S. L.🍏, Cada uno aporta 2500, 3500 y 4000 € respectivamente. Después del primer año de venta, deben repartir un total de 25000 € de beneficio. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
P3.- (Papel) Vicente, Sonia y Lucía suman 5€, 3€ y 2€. Juntan su dinero y compran 1000 folios en total 📚 ¿Cuántos les corresponden a cada uno?
P4.- (Finca) Juan alquila una finca de $210000\ m^2$ a tres labradores : Fernando, Jacinto y Honorato. Juan desea repartir la superficie de la finca de acuerdo al número de personas que componen cada una de las familias que son 4 personas 👪, 5 personas 👨‍👩‍👧‍👦 y 6 personas 👨‍👩‍👧‍👦👪. ¿Cuánta superficie gestiona cada uno?
P5.- (Carrera) Boris, Donald y Vladimir disputan una carrera en donde el premio es 1100000 €. Cada uno ha recorrido, respectivamente, 10 hkm, 15 km y 30 km. A mitad de carrera, el juez Xi la suspende y deben repartirse el premio según la distancia que llevan recorrida. ¿Cómo deben repartírselo?
P6.- (Vendedores) Pedro Picapiedra y Pablo Mármol son unos vendedores pésimos y sólo reciben devoluciones por las ventas que hacen 😡 De hecho a Pedro Picapiedra le han devuelvo 20 productos y a Pablo Mármol 18 ventas. Su jefe no puede despedirlos, porque en la ciudad donde trabajan, asombrosamente, los valoran cada vez mejor Y además debe repartir con ellos 395200 € de prima este año . ¿Cuánto se llevará cada uno?
P7.-(Ciclistas) En el Tour del Vecindario se reparte un premio de 16650 € entre los tres primeros corredores que realizan la primera contrarreloj. Desean repartirlo de forma inversa al tiempo que hace cada uno. si los tiempo realizados son: Daniel, 36 minutos ; Eduardo, 45 minutos ; Roberto, 54minutos ¿Cuanto recibe cada corredor?
P8.-(Dinero) Lucas desea repartir 42560 € entre sus cuatro hijos de forma inversamente proporcional a su edad. Antonio, que tiene 18 años renunció a ello y lo repartió entre sus otros hermanos, de manera inversamente proporcional a sus edades. Así a Benito le tocó S/5760 € adicionales y a XXXXXXXXXX
P9.-(Pizza) Tres amigos se reparten una pizza de manera inversamente proporcional a sus pesos que son: 49.6, 57.6 y 72 kg. ¿Cuánto se come cada uno?

Repartos directamente proporcionales

Problema 1: Howarts

(Howarts) Cuando Albus Dumbledore muere deja especificado que su fortuna de 154800 galeones sea repartida entre Harry Potter 🥍, Ron Weasley 👕y Hermione Granger 🎓, según el número de hermanos que tengan. Así quien más hermanos tenga, deberá recibir más dinero. ¿Cuánto recibe cada uno?

Para resolver el problema debemos saber cuántos hermanos tiene cada uno: así, harry potter no tiene hermanos, luego cuenta como 1; Ron Weasley es el sexto de 7 hermanos, luego cuenta como 7 y Hermione Granger, tampoco tiene hermanos, luego vuelve a contar como 1.

Con esto elaboramos la siguiente tabla y ¡¡Resolvemos!!

Personaje	Cuenta	Recibe
Harry Potter	1	17200
Ron Weasley	7	120400
Herminone Granger	1	17200
Total	9	154800

Tabla resumen del reparto proporcional. En rojo, los datos que debes calcular.

Te digo como lo he calculado todo:

¿Cuánta gente entra en el reparto? Quiero decir que si se reparte entre el número de hermanos, tendrás que saber cuántos son en total esos hermanos; y en este caso son $1+7+1=9$ Luego lo repartimos entre 9 personas.
¿Cúánto vale cada persona? Es decir, si en total, las 9 personas se van a repartir 154800 galeones; eso significa que cada persona recibe $\displaystyle \frac{154800}{9}=17200$ galeones. Lo único que Ron Weasley recibe todo lo correspondiente a sus hermanos.
Ahora queda calcular cuánto recibe cada uno. Está claro que Harry Potter y Hermione Granger reciben sólo lo equivalente a 1 persona, mientras que Ron Weasley (como ya te he dicho) recibe lo de 7 personas. Así es como he elaborado la última columna.

Problema 2: Frutería

(Frutería) Andrés, Beatriz y Carlos montan una frutería FrutaFresca S. L.🍏 Cada uno aporta 2500, 3500 y 4000 € respectivamente. Después del primer año de venta, deben repartir un total de 25000 € de beneficio. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

El problema es exactamente igual que el anterior. Pero ahora debemos repartir según el dinero que pusieron para montar la frutería. Vamos con la tabla.

Persona	Aportan (€)	Reciben (€)
Andrés	2500	6250
Beatriz	3500	8750
Carlos	4000	10000
Total	10000	25000

Tabla resumen del reparto de beneficios de la frutería.

En este caso debemos pensar ¿en cuánto dinero se convierte lo que han invertido? Pues resulta que invierten 10000€ y tienen que repartir 25000€, lo que significa que por cada euro invertido reciben:

$\frac{25000}{10000}=2.5$

Así pues, cada uno debe recibir lo siguiente:

Andres: invierte 2500€ luego recibe $2500\cdot 2.5=6250$
Beatriz: como invierte 3500€ debe recibir $3500\cdot 2.5= 8750$
Carlos: es el que más invirtió (4000€), luego debe recibir $4000\cdot 2.5=10000$

Finalmente, una de las formas de comprobar que no te has equivocado es sumar las cantidades que se lleva cada uno. ¿cuánto deben sumar? Efectivamente, deben sumar 25000€

Problema 3: Papel

(Papel) Vicente, Sonia y Lucía suman 5€, 3€ y 2€. Juntan su dinero y compran 1000 folios en total 📚 ¿Cuántos les corresponden a cada uno?

En este caso, debemos repartir los folios según el dinero que han puesto cada uno. Vamos con la tabla.

Persona	Aportan (€)	Reciben (€)
Vicente	5	500
Sonia	3	300
Lucía	2	200
Total	10	1000

Tabla resumen del reparto de papel.

Como han puesto 10 €, eso significa que por cada 1 € les corresponde $\displaystyle \frac{1000}{10}=100 \ folios/E$

Y ya lo tenemos resuleto sin más que multiplicar por 100 la cantidad que cada uno ha puesto.

Problema 4: Finca

(Finca) Juan alquila una finca de $210000\ m^2$ a tres labradores : Fernando, Jacinto y Honorato. Juan desea repartir la superficie de la finca de acuerdo al número de personas que componen cada una de las familias que son 4 personas 👪, 5 personas 👨‍👩‍👧‍👦 y 6 personas 👨‍👩‍👧‍👦👪. ¿Cuánta superficie gestiona cada uno?

Como de costumbre empezamos poniendo la tabla donde en rojo aparecen los números que hay que calcular.

Persona	Personas	Reciben ( $m^2$ )
Fernando	4	56000
Jacinto	5	70000
Honorato	6	84000
Total	15	210 000

Tabla resumen del reparto de la superficie de la finca.

Puesto que son $4+5+6=15$ personas a repartir debemos averiguar cuánto le corresponde a cada una de ellas. Por eso calculamos $\displaystyle \frac{210000}{15}=14000$ Es decir, que por cada persona se debe recibir $14\ 000\ m^2$

Y ya está sólo hay que calcular cuánto recibe cada uno:

Fernando: $14000\cdot 4=56000\ m^2$
Jacinto: $14000\cdot 5=70000\ m^2$
Honorato: $14000\cdot 6= 84000\ m^2$

Problema 5: Carrera

(Carrera) Boris, Donald y Vladimir disputan una carrera en donde el premio es 1100000 €. A mitad de carrera, el juez Xi la suspende y deben repartirse el premio según la distancia qeu llevan recorrida. Cada uno ha recorrido (o eso dicen), respectivamente, 10 km, 15 km y 30 km. ¿Cómo deben repartírselo?

¿Adivinas cómo se hace este problema? Exacto, igual, igual que los anteriores. Vamos con la tabla.

Persona	Recorrido ( $km^2$ )	Reciben (€)
Boris	10	200 000
Donald	15	300 000
Vladimir	30	600 000
Total	55	1 100 000

Tabla resumen del reparto de la superficie de la finca.

Igual que antes, vemos cuánto ha recorrido cada uno y en conjunto ( $10+15+30=55$ ) por lo tanto debemos calcular cuánto vale cada kilómetro recorrido: $\displaystyle \frac{1100000}{55}=20000$ Por lo que ahora sólo tenemos que hacer tres multiplicaciones sencillas:

Boris recibe $10\cdot 20000= 200000$
Donald recibe $15\cdot 20000=300000$
Vladimir recibe $30\cdot 20000=600000$

Y como de costumbre, comprueba que lo que reciben los tres es lo mismo que el premio que había que repartir.

Repartos inversamente proporcionales

Problema 6: Vendedores

(Vendedores) Pedro Picapiedra y Pablo Mármol son unos vendedores pésimos y sólo reciben devoluciones por las ventas que hacen 😡 De hecho a Pedro Picapiedra le han devuelvo 20 productos y a Pablo Mármol otras 18 ventas. Su jefe no puede despedirlos, porque en la ciudad donde trabajan, asombrosamente, los valoran cada vez mejor Y además debe repartir con ellos 395200 € de prima este año ¿Cuánto se llevará cada uno?

Lógicamenete, el jefe va a repartir más dinero a Pablo porque le han devuelto menos ventas. Así que se trata de un reparto inversamente proporcional.

Para proceder a hacer este reparto, necesitamos redactar la siguiente tabla:

Individo	Devoluciones	Inverso	Dinero
Pablo Mármol	18	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{18}$	208000
Pedro Picapiedra	20	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{20}$	187200
	Totales	$\color{red}\displaystyle \frac{19}{180}$	395200

Tabla que resume el problema de reparto proporcional.

El problema que se nos plantea en estas situaciones es que el el que más posee, debe recibir menos. Si te fijas cuantas menos devoluciones hayan tenido, más dinero van a recibir. Por ello lo que hacemos es un reparto proporcional a los inversos de las devoluciones. Así, Pedro Picapiedra, al que le han devuelto 20 cosas, le adjudicamos el número $\displaystyle \frac{1}{20}$ que es menor que $\displaystyle\frac{1}{18}$

$18<20\ \Longrightarrow \ \frac{1}{20}<\frac{1}{18}$

Y sobre esta idea se basa todo. Simplemente, ahora, tienes que obviar la segunda columna y hacer un reparto directamente proporcional a la columna que yo he llamado inversa.

1.- Sumamos la columna $\displaystyle \frac{1}{18}+\frac{1}{20}=\frac{19}{180}$

2.- Dividimos la cantidad a repartir entre el número que nos acaba de salir: $\displaystyle \frac{395200}{\displaystyle \frac{19}{180}}=3744000$

3.- Multiplicamos esa cantidad por el número adjudicado a cada vendedor (el inverso).

Pedro Picapiedra: $\displaystyle 3744000\cdot \frac{1}{20}=187200$
Pablo Mármol: $\displaystyle 3744000\cdot \frac{1}{180}=208000$

Y con esto ya hemos terminado el problema. Ya sabemos cuánto va a recibir cada uno, aunque visto lo intrépidos vendedores que son, es posible que merecieran recibir un finiquito en vez de una prima…

Problema 7: Ciclistas

(Ciclistas) En el Tour de la comunidad de vecinos se reparte un premio de 16650 € entre los tres primeros corredores que realizan la primera contrarreloj. Desean repartirlo de forma inversa al tiempo que hace cada uno. si los tiempo realizados son: Daniel, 36 minutos ; Eduardo, 45 minutos ; Roberto, 54minutos ¿Cuánto recibe cada corredor?

En este problema nos ocurre que el más rápido es quien debe llevarse mayor premio, por lo que se trata de un reparto inversamente proporcional.

Empezamos, como de costumbre, por elaborar nuestra tabla:

Individuo	Tiempo	Inverso	Dinero
Daniel	36	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{36}$	6750
Eduardo	45	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{45}$	5400
Roberto	54	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{54}$	4500
	Totales	$\color{red}\displaystyle \frac{37}{540}$	16650

Tabla que resume el problema de reparto proporcional.

Te cuento como he hallado todo lo que aparece coloreado en rojo:

1.- Lo primero que hago es calcular los inversos de los números para poder hacer un reparto proporcional según ellos.

2.- La suma de los inversos nos da como resultdo: $\displaystyle \frac{1}{36}+\frac{1}{45}+\frac{1}{54}=\frac{37}{540}$

3.- Divido el premio entre el número anterior y obtengo: $\displaystyle \frac{16650}{\displaystyle \frac{37}{540}}=243000$

4.- Adjudico a cada persona lo que le corresponde:

Daniel: $243000\cdot \frac{1}{36}=6750$
Eduardo: $243000\cdot \frac{1}{45}=5400$
Roberto: $243000\cdot \frac{1}{54}=4500$

Problema 8: Dinero

(Dinero) Lucas desea repartir 42560 € entre sus cuatro hijos de forma inversamente proporcional a su edad. Antonio, que tiene 18 años renunció a ello y lo repartió entre sus otros hermanos, de manera inversamente proporcional a sus edades. María tiene 15 años, Juan tiene 20 años y Laura tiene 10 años. ¿Cuanto dinero recibió cada uno?

En este problema, lo que nos piden es hacer dos repartos inversamente proporcionales encadenados.

Vamos con el primero. En este suponemos que Antonio no rechaza el dinero.

Como ya eres todo un experto en estas lides, te pongo directamente la tabla resuelta:

Persona	Edad	Inverso	Dinero
Antonio	18	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{18}$	8685.71
María	15	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{15}$	10422.86
Juan	20	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{20}$	7817.14
Laura	10	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{10}$	15634.29
	Totales	$\color{red}\displaystyle \frac{49}{180}$	42560

Tabla resumen del primer reparto proporcional.

En un segundo paso, lo que hace Antonio es repartir el dinero entre sus hermanos de manera inversamente proporcional, así que volvemos a hacer otra tabla

Persona	Edad	Inverso	Dinero
María	15	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{15}$	2672.53
Juan	20	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{20}$	2004.39
Laura	10	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{10}$	4008.79
	Totales	$\color{red}\displaystyle \frac{13}{60}$	8685.71

Tabla resumen del segundo reparto proporcional.

Por último queda por sumar las cantidades que se llevan María, Juan y Laura:

María: $10422.86+2672.53=13095.39$
Juan: $7817.14+2004.39=9821.53$
Laura: $15634.29+4008.79=19643.08$

Y esa es la solución

Problema 9: Pizza

(Pizza) Tres amigos se reparten una pizza de manera inversamente proporcional a sus pesos que son: 49.6, 57.6 y 72 kg. ¿Cuánto se come cada uno?

Vamos con el último problema que te quiero contar en la entrada de hoy. Lo primero es montar nuestra tabla. Además, vamos a darle nombre a las personas:

Persona	Peso	Inverso	Pizza
Almudena	49.6	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{49.6}$	$0.39\rightarrow 39\%$
Kiko	57.6	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{57.6}$	$0.34\rightarrow 34\%$
Pepe	72	$\color{red}\displaystyle \frac{1}{72}$	$0.27\rightarrow 27\%$
	Totales	$\color{red}\displaystyle \frac{51}{992}$	1

Tabla resumen del segundo reparto proporcional.

Fíjate que lo que se reparten es una única pizza, por lo que en total tienen «1» en la pizza. Para calcular cuánto come cada uno operamos de la siguiente manera:

Almudena: $\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{51}{992}}\cdot \frac{1}{49.6}=0.39$
Kiko: $\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{51}{992}}\cdot \frac{1}{57.6}=0.34$
Pepe: $\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{51}{992}}\cdot \frac{1}{72}=0.27$

Los resultados de cada uno de los amigos, en la tabla, te los he puesto en tantos por ciento, porque creo que se comprenden mejor.

Y como ves, ya está todo terminado. Ya tenemos la solución.

Y por hoy nada, más.

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Gracias por leerme

Vida de la entrada:

– 2020-12-17: Publicación.
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