▶ 🚩 Productos notables 🥇 🔄 - Mi profe me tiene manía

En la entrada de hoy te voy a hacer hincapié sobre los productos notables. Le voy a dedicar una entrada porque es algo a lo que yo, personalmente, le doy bastante importancia; ya que si no los dominas correctamente puedes cometer graves errores en la resolución de problemas.

La primera vez que oíste hablar sobre productos notables fue en 2 ESO y posteriormente te los han recordado en 3 ESO. No puedes fallar en ellos; de hecho en cursos superiores a 3ESO si alguien se confunde con ellos en la realización de un examen, se lleva una penalización bastante grande.

Cuáles tengo que saber:

Los productos notables que debes saber son el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y la suma por diferencia. Mi consejo es que te los aprendas como te los pongo en el siguiente recuadro:

Productos notables que te debes saber sí o sí:

Cuadrado de una suma: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Cuadrado de una resta: $(a-b)^2= a^2-2ab+b^2$
Suma por diferencia: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

No son muy difíciles de memorizar, sobre todo si los observas y ves cómo van colocados los signos. Hazme caso, no deberías tardar más de 15 minutos en aprendértelos. Un poco más complicado es aprender a utilizarlos.

¿De donde vienen las fórmulas de los productos notables?

La forma más sencilla de deducir estas fórmulas es mediante el producto de binomios. (Si necesitas repasar cómo se hace, puedes verlo aquí y aquí) Así que vamos a allá:

Cuadrado de una suma y de una resta:

Para calcular el cuadrado de una suma, realizamos el siguiente producto:

$\begin{tabular}{cc cc c} &&a&+&b\\ &&a&+&b\\\hline \color{blue} &&ab&+&b^2\\ a^2&+&ab\color{black} \\\hline a^2&+&2ab&+&b^2\end{tabular}$

En el caso correspondiente al cuadrado de una resta, actuamos igual:

$\begin{tabular}{cc cc c} &&a&-&b\\ &&a&-&b\\\hline \color{blue} &-&ab&-&b^2\\ a^2&-&ab\color{black} \\\hline a^2&-&2ab&+&b^2\end{tabular}$

Suma por diferencia:

Averiguas cómo se deduce la fórmula de suma por diferencia… Exacto, haciendo el siguiente producto:

$\begin{tabular}{cc cc c} &&a&-&b\\ &&a&+&b\\\hline \color{blue} &&ab&-&b^2\\ a^2&-&ab\color{black} \\\hline a^2&&&-&b^2\end{tabular}$

Ejercicios típicos de examen con los productos notables

A continuación te pongo varios ejercicios / ejemplos de diferentes productos notables que he ido poniendo en algún que otro examen. Ten en cuenta que las fórmulas se pueden leer de izquierda a derecha, pero también de derecha a izquierda. Como verás hay operaciones de productos notables que son muy sencillas y otras requieren que pienses un poquitín más.

Lo importante es que aprendas a identificarlos y que siempre los tengas en cuenta porque tarde o temprano te los vas a encontrar, y créeme si te digo que la mayoría de las veces (¿todas?) simplifican mucho, mucho, mucho los cálculos.

Ejercicios con el cuadrado de una suma

$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$
$(x+1)^2=x^2+2x+1$
$x^2+12x+36=(x+6)^2$
$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$
$\left(\sqrt{3}x+\sqrt{2}\right)^2=3x^2+2\sqrt{6} +2$
$\displaystyle \left(x+\frac{2}{3}\right)^2=x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}$

Ejercicios con el cuadrado de una resta

En el fondo el cuadrado de una suma y el cuadrado de una resta vienen a ser lo mismo. Lo único que cambia es el signo del doble producto:

$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$
$(x-1)=x^2-2x+1$
$x^2-12x+36=(x-6)^2$
$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$
$\left(\sqrt{3}x-\sqrt{2}\right)^2=3x^2-2\sqrt{6} x +2$
$\displaystyle \left(x-\frac{2}{3}\right)^2=x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}$

Ejercicios con el suma por diferencia

En este caso te tienes que grabar a fuego la cantinela de

SUMA POR DIFERENCIA, DIFERENCIA DE CUADRADOS

$4-x^2 =(2-x)\cdot (2+x)$
$x^2-4 =(x+2)\cdot (x-2)$ Observa que éste no es exactamente igual que el anterior.
$(x+1)(x-1)=x^2-1$
$(\sqrt{3}-x)(x+\sqrt{3}) = 3-x^2$ ¿Quién es el que resta en este caso?
$x-2=(\sqrt{x}+\sqrt{2})(\sqrt{x}-\sqrt{2})$ Este puede parecer diabólico pero es la diferencia entre el 9 y el 10 en un examen.
$3x^2-1=(x\sqrt{3}-1)(x\sqrt{3}+1)$

¿Se pueden generalizar los productos notables?

Sí. Sin duda. Por ejemplo a través del binomio de Newton. Pero también puedes intentar elevar al cuadrado o al cubo… trinomios o polinomios.

Lo que ocurre es que estas cuestiones salen por completo de las intenciones de esta entrada, así que no te las contaré

Lo que sí te puedo contar es una versión esquemática del binomio de Newton llamado triángulo de Pascal que además nos sirve para elevar $(a+b)^n$ siendo $n$ cualquier número entero. Las primeras cinco líneas del triángulo de Pascal son las siguientes:

$\begin{tabular}{rccccccccc}$n=0$:& & & & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}$n=1$:& & & & 1 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}$n=2$:& & & 1 & & 2 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}$n=3$:& & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}$n=4$:& 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}\end{tabular}$

Te voy a contar cómo generarlas:

La primera fila es un 1.
La segunda fila son dos 1 al lado de este primero.
En la tercera fila empezamos por un 1, luego sumamos los dos números que están encima (1+1=2) y acabamos por otro 1.
La cuarta fila empezamos por 1, luego sumamos los dos números que están encima (1+2=3), luego otra vez los números que están encima (2+1=3) y acabamos por un 1.
La última fila que ves tiene la misma estructura: empezamos por un 1, luego sumamos los dos números (1+3=4), luego sumamos los dos números (3+3=6), volvemos a sumar (3+1=4) y acabamos en un 1.

¿Te atreves a decir cómo quedarían las siguientes filas? Déjamelo en comentarios

Triángulo de Pascal y potencia de un binomio

Y ¿todo esto para qué?

Pues muy sencillo. Los números que nos han salido son los coeficientes de la potencia de un binomio. Así, si tenemos $(a+b)^n$ y $n$ vale….

$\color{red}n=0$ : $(a+b)^0=1$ Ya sabes aquello de que cualquier número elevado a 0 es uno (realmente habría que estudiar el caso de que $a$ o $b$ fuesen iguales a cero. Pero no vamos a entrar en esta guerra ahora.
$\color{red}n=1$ : $(a+b)^1=a+b$ Lógico, cualquier cosa elevado a uno es ello mismo.
$\color{red}n=2$ : $(a+b)^2= 1a^2+2ab+1b^2$ ¿Ves cómo aparecen los coeficientes que nos marca el triángulo de Pascal?
$\color{red}n=3$ : $(a+b)^3=1a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$\color{red}n=4$ : $(a+b)^4=1a^4+4a^3b+6a^2b^2+3ab^3+1b^4$
$\color{red}n=5$ : $(a+b)^5= 1a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+1b^5$
$\color{red}n=6$ …..

Me faltan algunas cosas por contarte sobre esto:

¿Observas como en el desarrollo de la potencia el grado de cada monomio es igual al exponente al que lo elevamos? Es decir, si lo elevamos al cuadrado tenemos que $gr(a^2)=gr(2ab)=gr(b^2)=2$ ; o si lo elevamos a la quinta potencia
$gr(1a^5)=gr(5a^4b)=gr(10a^3b^2)=gr(10a^2b^3)=gr(5ab^4)=gr(1b^5 )=5$

Pues esto es importante.
Además puedes observar como la $a$ va bajando de grado mientras que la $b$ va subiendo de grado.
¿Qué ocurre si es una resta? Pues que ahora te toca jugar con los signos de la siguiente manera: empiezas siempre por el y luego lo vas alternando con el hasta que llegues al final ….. :
1. $\color{red}n=2$ : $(a-b)^2= 1a^2-2ab+1b^2$
2. $\color{red}n=3$ : $(a-b)^3=1a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
3. $\color{red}n=4$ : $(a-b)^4=1a^4-4a^3b+6a^2b^2-3ab^3+1b^4$
4. $\color{red}n=5$ : $(a-b)^5= 1a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-1b^5$