▶ 👍 Los números reales en bachillerato 📖

En esta entrada vamos a hablar de los números reales. Constituyen el conjunto numérico por excelencia, quiero decir que cualquier operación que se realiza durante toda la etapa de educación secundaria en España, se realiza en los reales. Su símbolo es $\mathbb{R}$ . A decir verdad, en la asignatura de Matemáticas I (1º de bachillerato de ciencias) se estudian los números complejos.

La comprensión, manejo e interpretación de este conjunto es fundamental para conseguir superar con éxito no sólo la asignatura de matemáticas si no también cualquiera de la rama de ciencias.

Como puedes averiguar por el título, esta entrada está dirigida a estudiantes de bachillerato pero espero que sea útil a cualquier persona interesada.

Los números reales

Si ya has leído las entradas sobre los números racionales e irracionales, supongo que no tendrás ninguna duda de qué son los números reales, al menos al nivel de lo que se exige en el bachillerato de España.

¿Por qué necesitamos los números reales?

Esta pregunta la podemos cambiar por ¿qué nos resuelven los números reales? y la solución es que la respuesta a esta pregunta se sale de los propósitos de esta entrada para un chico de bachillerato. Así que vamos a decir que los números reales son aquellos que nos permiten resolver casi todas (y ¡¡ojo!! pongo casi todas y no todas) las ecuaciones con las que vamos a trabajar en educación secundaria.

Sobre este párrafo me gustaría decirte que estoy elaborando una serie de entradas, que iré publicando poco a poco, sobre los distintos conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) donde entro a construir cada uno de ellos de forma matemáticamente correcta. Si quieres puedes echarles un vistazo, pero si partes de un nivel de 1º de bachillerato te van a resultar complejas.

Sigamos con los números reales, entonces, ¿los números reales resuelven cualquier tipo de ecuación? NO. Te voy a poner tres ejemplos de ecuaciones que no tienen solución si trabajamos con números reales:

$x^2+1=0$

$\sin z=2$

$z=\log(-2)$

Ninguna de estas ecuaciones tiene solución si trabajas en $\mathbb{R}$ , pero esto sí que es harina de otro costal.

De acuerdo, pero ¿cómo definimos los números reales?

Espero que ya te haya quedado claro que detrás de todo lo que te estoy explicando hay bastante más complejidad de lo que parece. En bachillerato, los números reales los definimos de forma axiomática. Es decir, suponemos que existe un conjunto numérico que cumple una serie de propiedades. Podemos resumir estas propiedades en el siguiente listado:

Los números reales son aquellos que se pueden expressar como decimales, aún cuando la parte decimal esté constituida íntegramente por $\phantom{\huge H}0$ . Por ejemplo: $\quad 3/5$ ; $\quad-2,00\ldots$ ; $\quad\sqrt{2}=1,4142\ldots$ ; $\quad1,3$ ; $\quad\pi$ ; $\quade$ … son todos números reales.
Los números reales se pueden representar geométricamente como puntos en una recta que se denomina recta real (te lo explico aquí y aquí).
Los números reales cumplen las siguientes propiedades algebraicas:

Para la suma

Propiedad asociativa
$a+(b+c)=(a+b)+c$
Elemento neutro
$a+0=0+a=a$
Elemento opuesto
$a+(-a)=(-a)+a=0$
Propiedad conmutativa
$a+b=b+a$

Para el producto

Propiedad asociativa
$a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Elemento neutro
$a\cdot 1=1\cdot a=a$
Elemento opuesto
$a\cdot (a')=(a')\cdot a=1$
Propiedad conmutativa
$a\cdot b=b\cdot a$

Para ambas: el producto es distributivo respecto de la suma

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Los número reales están ordenados. Es decir, dados dos números reales $a$ y $b$ , se cumple SIEMPRE que $a<b$ , $b<a$ o bien que $a=b$
Entre dos números reales cualesquiera, SIEMPRE hay otro número real

Propiedades y representación de los números reales

Si lo piensas un poco, este apartado ya está contestado en el anterior junto con las entradas de los números racionales e irracionales. No obstante, voy a ponerte varios ejemplos que te permitan interiorizarlo completamente.

Para la suma

Propiedad asociativa
$\displaystyle \sqrt{3}+\left(7+\frac{5}{2}\right)=\left(\sqrt{3}+7\right)+\frac{5}{2}$
Elemento neutro
$6+0=0+6=6$
Elemento opuesto
$3+(-3)=(-3)+3=0$
Propiedad conmutativa
$5+6=6+5$

Para el producto

Propiedad asociativa
$8\cdot(9\cdot 4)=(8\cdot 9)\cdot 4$
Elemento neutro
$12\cdot 1=1\cdot 12=12$
Elemento opuesto
$\displaystyle 3\cdot \left(\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)\cdot 3=1$
Propiedad conmutativa
$4\cdot 5=5\cdot4$

Para ambas: el producto es distributivo respecto de la suma

$3\cdot (12+5)=3\cdot 12+3\cdot 5$

En cuanto a la representación de los números reales, puesto que éstos son la unión de los números racionales e irracionales, puedes deducir muy fácilmente que se representan como en aquéllos conjuntos.

Como ves, la intención de esta entrada era dejar algunas cuestiones claras sobre los números reales. Si deseas saber cuestiones más técnicas sobre ellos, te recomiendo cualquiera de los libros de la bibliografía.

A continuación te indico las entradas sobre los diferentes tipos de números que puedes leer en este blog, y que espero que te sirvan de ayuda.

Bien, no te enrolles y dime los enlaces a las páginas

Vamos a allá

En esta entrada sobre conjuntos numéricos te explico cada uno de ellos a un nivel de la ESO. Es una entrada general y te recomiendo su lectura antes que la de cualquier otra.

Recorte del inicio de la entrada «Conjuntos numéricos»

En esta entrada podrás leer sobre cuestiones generales de los diferentes conjuntos numéricos (qué son, cómo se operan, qué propiedades tienen…) que manejarás en tu etapa de educación secundaria. No encontrarás, sin embargo, nada sobre los números complejos.

Otras entradas, algunas con vídeo, que te pueden ser útiles a un nivel de enseñanza secundaria, una vez leída la anterior, son las siguientes:

Jerarquía de operaciones y operaciones combinadas (publicada el 2020-08-10).
Regla de los signos (publicada el 2020-08-17).
Números primos y compuestos (publicada el 2020-09-07).
Logaritmos (publicada el 2020-10-05).
Números racionales (publicada el 2020-09-28).
Números irracionales (publicada el 2020-10-10).
Aproximación, estimación y redondeo (publicada el 2020-10-19).

Si quieres una visión un poco más técnica sobre cada uno de los distintos tipos de números puedes echar un vistazo a las siguientes entradas. Tal y como te he dicho antes, actualmente (2022-10-15) están en construcción pero poco a poco irán apareciendo publicadas.

Axiomas de Peano y números naturales (publicada el 2020-10-08)
Construcción algebraica de los números enteros (publicada próximamente)
Construcción de los números racionales (publicada próximamente)
Construcción y axiomas de los números reales (publicada próximamente)
Números complejos (publicada próximamente)

Como de costumbre si quieres comentar algo, necesitas una aclaración o quieres que trate un tema en concreto, no dudes en escribirlo en los comentarios

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Gracias por leerme

Bibliografía:

La bibliografía que te recomiendo a continuación, a excepción de los de 1º de bachillerato, consta de libros donde podrás aprender cuestiones sobre los diferentes números, a nivel de 1º de carrera. No son libros fáciles, pero sí son libros muy buenos.

Aparicio Peñas, A. M., Arribas Ruiz, F., González García, C., Llorente Medrano, J., Ruiz Jiménez, M.; 2015; Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales (I); Ed. Editex; Madrid; ISBN: 978-84-9078-504-1.
Argüeso, M., Borobia, N., Lázaro, O., Pajares, A., Tomeo, V.; 2015; Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales (I); Ed. Paraninfo; Madrid; ISBN: 978-84-283-3548-5.
Bujalance, E., Bujalance, J. A., Costa, A. F., Martínez, E.; 2005; Elementos de matemática discreta; 3ª edición; Ed. Sanz y Torres; Madrid.
Delgado Pineda, M.; Muñoz Bouzo, M. J.; 2010; Lenguaje matemático, conjuntos y números; Ed. Sanz y Torres; Madrid; ISBN: 978-84-82948-30-7.
Ortega Aramburu, J.M.; 1993; Introducción al análisis matemático; Ed. Labor – Universidad autónoma de Barcelona; Pamplona; ISBN: 84-335-3047-X.
Thomas, G. B., Weir, M. D., Hass, J., Heil, C.; 2015; Cálculo. Una variable; Ed. Pearson educación; México; ISBN: 978-607-32-3331-6.

Vida de la entrada:

– 2020-10-05: Publicación
– 2020-10-05: Corrección de categorías.
– 2020-10-19: Añadidas etiquetas.

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