Cuando en 1Âș ESO y 2Âș ESO se habla de nĂșmeros primos y compuestos, se hace desde una perspectiva muy pragmĂĄtica, es decir, solo nos vale para resolver determinados problemas, que son los que se arrastran durante toda la ESO y Bachillerato. En este caso, este tipo de nĂșmeros solo interesan si:
Nos sirven para factorizar otros nĂșmeros, que llamamos compuestos.
Las definiciones de estos tipos de nĂșmeros son excluyentes. Quiere esto decir, que o bien un nĂșmero es primo o bien es compuesto (al igual que o bien es par o bien es impar). Por lo tanto si definimos los nĂșmeros primos, tenemos definidos los nĂșmeros compuestos y viceversa . Todo se basa en el nĂșmero de divisores enteros positivos (es decir, naturales) que posee :
La pregunta de ÂżcuĂĄntos nĂșmeros compuestos hay? casi nunca se pregunta, ni se responde en clase porque de forma tĂĄcita todo el mundo estĂĄ de acuerdo en que hay infinitos nĂșmeros compuestos. Pero creo que es hora, al menos, de justificar esta afirmaciĂłn.
Sabemos que hay infinitos nĂșmeros naturales. AdemĂĄs sabemos que un nĂșmero compuesto se «consigue» multiplicando dos nĂșmeros naturales, que no sean ni ni . Pues con esto es suficiente: siempre es posible elegir dos nĂșmeros naturales (primos o no) distintos de y de , multiplicarlos y conseguir asĂ un nĂșmero compuesto. Como hay infinitos nĂșmeros naturales, hay infinitas formas de elegir dos nĂșmeros naturales diferentes, y cada elecciĂłn nos da por resultado un nĂșmero compuesto diferente, por lo tanto hay infinitos nĂșmeros compuestos.
Te lo repito.
Hay infinitos nĂșmeros compuestos
Algo un poco mĂĄs complicado es deducir que hay infinitos nĂșmeros primos. La demostraciĂłn que te voy a explicar aquĂ es la que propuso Euclides, que viviĂł en los S. IV – III a. C. (hace unos 2200 años aproximadamente).
En mi opiniĂłn personal, me parece que es una demostraciĂłn muy elegante. Creo que tiene varias caracterĂsticas importantes:
Hay otras demostraciones que utilizan herramientas potentes de matemĂĄticas, pero esta demostraciĂłn la puede seguir cualquier persona sin mĂĄs que saber multiplicar y dividir.
Es una demostraciĂłn por reducciĂłn al absurdo. Vamos a suponer que hay un nĂșmero finito de nĂșmeros primos y vamos a concluir que no puede ser verdad.
Supongamos que hay un nĂșmero finito de nĂșmeros primos:
Si multiplicamos todos los nĂșmeros primos conocidos, obtenemos un nĂșmero que es compuesto en el que hemos «usado» todos los primos existentes:
Si al nĂșmero obtenido, le sumamos una unidad, obtenemos que no es mĂșltiplo de ningĂșn primo de pues siempre deja de resto cuando se le divide por algĂșn .
Por lo tanto hay dos opciones:
O bien es un nĂșmero primo que no habĂamos considerado antes.
O bien existe un nuevo nĂșmero primo, llĂĄmese , que divide a pero que no pertenecĂa a
En cualquier caso hemos añadido un nuevo nĂșmero primo. Y como este algoritmo se puede repetir, en cada paso vamos añadiendo, al menos, un nuevo nĂșmero primo.
Por tanto el nĂșmero de nĂșmeros primos es infinito.
Supongamos que conocemos todos los nĂșmeros primos conocidos y que son (suponemos que no hay mĂĄs):
Vamos a multiplicar todos los nĂșmeros primos que existen y asĂ conseguimos un nĂșmero compuesto:
Ahora vamos a sumar al nĂșmero anterior, obtenemos asĂ Observa que este nuevo nĂșmero no es divisible por ningĂșno de los nĂșmeros primos de los que tenĂamos al principio (siempre sobra ).
Por lo que caben dos opciones:
O bien es un nĂșmero primo.
O bien existe un nuevo nĂșmero primo que no conocĂamos que divide a .
La primera cadena de diez nĂșmeros consecutivos que no son primos es: . De hecho es una cadena de trece nĂșmeros. Buscar la siguiente te la dejo a tĂ; te doy una pista : son todos nĂșmeros menores de .
Creo que ya puedes ver por dĂłnde vamos. Evidentemente es mĂĄs fĂĄcil encontrar tres nĂșmeros consecutivos que no son primos que encontrar cien nĂșmeros consecutivos que no son primos. Pero hay una pregunta mĂĄs interesante que hacerse: Âżexisten esas cadenas de nĂșmeros? es decir, Âżexisten cadenas, arbitrariamente largas de nĂșmeros consecutivos que no son primos?
Si quieres la respuesta rĂĄpida, te lo digo ya mismo: SI
Existen cadenas de longitud arbitrariamente largas de nĂșmeros compuestos consecutivos
No obstante, debes tener en cuenta que lo que hemos conseguido es la forma de hallar alguna cadena de longitud arbitraria, pero no la forma de encontrar la primera cadena que cumple esto 1ïžâŁ . De hecho en el ejemplo te he mostrado cĂłmo conseguimos la cadena de diez nĂșmeros compuestos a partir de y antes te di una de trece nĂșmeros que empezaban en .
Pero entonces ÂżcĂłmo se distribuyen los nĂșmeros primos?
Pues como te he dicho antes, esto es la pregunta del millĂłn, pero ya te puedes hacer una idea por lo que te he mostrado, que los nĂșmeros primos son cada vez mĂĄs escasos; ya que hay «espacios» en los nĂșmeros naturales donde hay , o , o mĂĄs, de nĂșmeros consecutivos que no son primos.
donde es el logaritmo neperiano. Vamos a hacer una tabla.
NĂșmero menor de ....
NĂșmero calculado de primos
NĂșmero real de primos
NĂșmero menor de ....
NĂșmero de primos
NĂșmero real de primos
10
4,34
4
50
12,78
15
100
21,71
25
500
80,45
95
1000
144,76
168
5000
587,05
669
10000
1085,73
1229
50000
4621,17
5133
Como ves en esta tabla podemos ver que el nĂșmero calculado con esa fĂłrmula es menor que lo que ocurre realmente. Pero al ser una funciĂłn asintĂłtica, para nĂșmeros muy grandes, las columnas calculada y real se van haciendo progresivamente iguales. Te vuelvo a recordar que esto no es estrictamente correcto, pero para un nivel de hasta 4Âș ESO es mĂĄs que suficiente.
Si ahora calculas los porcentajes de nĂșmeros primos que hay menores que uno dado obtienes (con los datos de la tabla anterior):
ÂżY cĂłmo puedo saber si un nĂșmero es primo o no?
Esta pregunta lleva asociada otra: «y si un nĂșmero es compuesto ÂżcĂłmo puedo factorizarlo?» La primera pregunta, saber si un nĂșmero es o no es primo, es mĂĄs o menos asumible. La segunda pregunta es algo muy complicado. Voy a ir explicĂĄndote todo esto en esta secciĂłn y para ello voy a utilizar los nĂșmeros
De los nĂșmeros que te he dado, algunos son compuestos. ÂżTe atreves?
ÂżEs primo?
A lo largo de la historia se han ido desarrollando diferentes formas de averiguar si un nĂșmero es primo o no. Voy a enseñarte alguna sencilla.
Criba de EratĂłstenes
Probablemente la primera y mĂĄs sencilla forma de descubrir nĂșmeros primos es la que desarrollĂł EratĂłstentes en el S III a. C.
Empezamos por el que es el primer primo (ÂĄY ademĂĄs es par!). Lo que hacemos es ir contando de dos en dos y vamos tachando. AsĂ eliminamos los nĂșmeros Y hemos acabado con el
Buscamos el menor nĂșmero que no hemos tachado, el , y ahora empezamos a contar de tres en tres y vamos tachando. AsĂ eliminamos los nĂșmeros (si algĂșn nĂșmero ya estaba tachado, lo volvemos a tachar). Y hemos acabado con el
Buscamos el siguiente nĂșmero que no hemos tachado, el , y ahora empezamos a contar de cinco en cinco y vamos tachando. AsĂ eliminamos los nĂșmeros (si algĂșn nĂșmero ya estaba tachado, lo volvemos a tachar). Y hemos acabado con el
ÂżAdivinas cuĂĄl es el siguiente nĂșmero?, efectivamente, es el , y Âżcada cuĂĄnto tenemos que contar? efectivamente de siete en siete y vamos tachando los nĂșmeros Âży si algĂșn nĂșmero ya estĂĄ tachado?, pues lo volvemos a tachar. Y asĂ acabamos con el
ÂżCuĂĄl es el siguiente nĂșmero? Efectivamente el
ÂżY el siguiente? El
Y asĂ continuamos con todos hasta que no queda ninguno mĂĄs. Al final la tabla te tiene que quedar de la siguiente manera:
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
Por lo tanto, ya sabes que es un nĂșmero primo.
Ventajas y desventajas de la criba de EratĂłstenes:
Es un algoritmo muy sencillo y fĂĄcil de realizar.
Acabas hallando todos los primos.
Consume mucho tiempo.
No es fĂĄcil de implementar para nĂșmeros grandes: intenta hallar los primos menores que o
Criterio de la mitad
Si tenemos un nĂșmero, el menor nĂșmero primo por el que lo podemos dividir es . Luego si un nĂșmero, , es compuesto serĂĄ divisible por algĂșn nĂșmero que sea menor que .
Esto estĂĄ muy bien. Si tomamos el podemos calcular su mitad que es y por tanto si ningĂșn nĂșmero menor o igual que lo divide, eso es que es primo.
Esto se puede mejorar un poco: imagĂnate un nĂșmero divisible por , entonces lo es por y , que son los factores primos de . Si piensas un poco, todo esto significa que nos tenemos que fijar solamente en los nĂșmeros primos menores que la mitad del nĂșmero estudiado
Por tanto, para el caso del tenemos que fijarnos en , , , ,, , , , , . Y como ninguno de estos nĂșmeros divide a , eso significa que es un nĂșmero primo.
Si tenemos todos los nĂșmeros del al . ÂżCuĂĄl es el mayor nĂșmero que podemos conseguir usando dos de ellos (se puede repetir)? Es el cuadrado del mayor de ellos. ImagĂnate que tenemos los nĂșmeros el mayor nĂșmero que puedes calcular es
Pero es que hay mĂĄs . Al igual que antes, no necesitas operar con todos los nĂșmeros menores que si no solamente con los primos que son menores que . Es decir, con . Como ninguno de estos nĂșmeros divide a , entonces es primo.
FĂjate que hemos pasado de probar todos los nĂșmeros menores que en la criba de EratĂłstenes, a probar nĂșmeros (realmente los 10 nĂșmeros primos menores de 30) con el criterio de la mitad; y ahora ÂĄtan solo hay que probar 4! Esto estĂĄ muy bien.
Vamos a hacer otro ejemplo: Âżes primo el ? Lo primero que hacemos es calcular su raĂz cuadrada: . Ahora buscamos los nĂșmeros primos menores de :
Si divides por cada uno de los nĂșmeros anteriores, verĂĄs que no es mĂșltiplo de ninguno. Por lo tanto es un nĂșmero primo (piensa que solo has tenido que hacer 13 operaciones, lo cual facilita mucho la cuestiĂłn).
Para calcular si es primo, necesitas como mucho 4 operaciones.
Para calcular si es primo, necesitas como mucho 4 operaciones.
Para calcular si es primo, necesitas como mucho 8 operaciones.
Para calcular si es primo, necesitas como mucho 10 operaciones.
Para calcular si es primo, necesitas como mucho 12 operaciones.
Para calcular si es primo, necesitas como mucho 20 operaciones.
Para calcular si es primo, necesitas como mucho 24 operaciones.
Como ves esta forma de calcular nĂșmeros primos es bastante rĂĄpida, si bien necesitas siempre conocer algĂșn nĂșmero primo para empezar. Es decir, si no conoces si es un nĂșmero primo o no, ÂżCĂłmo vas a saber si tienes que dividir por o no? Primero tienes que saber si 83 es primo…
«Elimina» muchos nĂșmeros a probar, asĂ que facilita los cĂĄlculos.
Se puede hacer en un nĂșmero finito de pasos.
A pesar de todo puede llegar a consumir mucho tiempo. ÂżCrees que es primo el nĂșmero ? Su raĂz cuadrada es y ahora tienes que ir probando los primos menores que (ÂżcuĂĄles son esos nĂșmeros primos? ) por lo que tampoco es que nos haya solucionado mucho Âżverdad? Vamos a estimar cuĂĄntas operaciones deberĂas hacer. Si supones que cada 100 naturales hay 25 primos (cada vez se van haciendo mĂĄs raros, pero vamos a estimar por lo alto) entonces puedes intuir que habrĂĄ unos 175 primos hasta 724. Desde luego son bastantes menos que 724, y muchos menos que la mitad de . Pero a pesar de todo primero tienes que calcular los primos menores de 724, y eso te va a llevar un buen rato.
Espero que te haya quedado claro que esto de los nĂșmeros primos es un tema muy amplio. AdemĂĄs, me prometĂ a mĂ mismo que no te iba a decir nada sobre seguridad de internet y nĂșmeros primos y lo he conseguido .
A continuaciĂłn te muestro la bibliografĂa que he seguido para realizar esta entrada, pero si tienes alguna idea, sugerencia o bien hay algo que no te ha quedado claro, por favor ponlo en los comentarios abajo.
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