🆗 ▶ Números primos y compuestos 👍

Cuando en 1º ESO y 2º ESO se habla de números primos y compuestos, se hace desde una perspectiva muy pragmática, es decir, solo nos vale para resolver determinados problemas, que son los que se arrastran durante toda la ESO y Bachillerato. En este caso, este tipo de números solo interesan si:

Nos sirven para factorizar otros números, que llamamos compuestos.
Nos sirven para hallar el mcd y el mcm de otros números.
En 3º ESO nos sirven para factorizar el término independiente de un polinomio y aplicar la regla de Ruffini.

Como ves nos quedamos muy en la superficie de lo que realmente son los números primos y compuestos. En esta entrada, voy a explicarte algo más sobre este tipo de número, primo, que es peculiar porque solo es divisible por él mismo y por el uno. Espero que cualquier chaval de 1º ESO a 4º ESO no encuentre dificultad en entender lo que aquí voy a decir. Como de costumbre, si algo no te ha quedado claro y necesitas más explicaciones, por favor escríbelo en los comentarios al final. No es la intención de esta entrada en costituir una diatriba técnica sobre teoría de números; solo pretendo dar una visión diferente de lo que se analiza en las clases de enseñanza secundaria sobre números primos.

Empezamos.

¿Qué son los números primos y compuestos?

Las definiciones de estos tipos de números son excluyentes . Quiere esto decir, que o bien un número es primo o bien es compuesto (al igual que o bien es par o bien es impar). Por lo tanto si definimos los números primos, tenemos definidos los números compuestos y viceversa . Todo se basa en el número de divisores enteros positivos (es decir, naturales) que posee :

Un número es primo si solo lo dividen el uno y él mismo
Un número es compuesto si no es primo

Esta definición establece que el $5$ es un número primo , mientras que el $6$ es un número compuesto ; ya que el $5$ solo es divisible por sí mismo y el uno, mientras que el $6$ es divisible por sí mismo y por el uno, pero también por el $2$ y por el $3$ .

Las preguntas que podemos hacernos son : ¿cuántos números primos hay? ¿se acaban alguna vez? ¿son fáciles de encontrar? y sobre todo ¿qué pasa con el $0$ y con el $1$ ?, ¿son primos o compuestos?

Voy a empezar por responderte a las últimas preguntas:

el $0$ es compuesto.
el $1$ no es ni primo ni compuesto.

El 0 es un número compuesto

Cuando decimos que un número es divisor de otro, lo que queremos decir es que cuando los dividimos el resto de esa división es $0$ . Pero ¿qué ocurre si divides al número $0$ por cualquier otro (excepto por $0$ , ya que esa operación no está definida)? Pues que al dividir al $0$ por cualquier número, el resto siempre va a ser $0$ , es decir:

El 0 es múltiplo de todos los números, y por tanto es un número compuesto

El 1 no es ni compuesto ni primo

Si ahora aplicamos el mismo razonamiento que antes al número $1$ , tenemos que ningún número divide a $1$ , pero todos los números sí se pueden dividir por él. De esta manera podríamos decir que el $1$ es un número primo.

Pero ¡¡espera!! [simple_icon name=»adblock»] para que un número sea primo ¿cuántos divisores necesita? Necesita dos divisores: él mismo y el uno; pero ¿qué ocurre ahora? que el $1$ solo tiene un divisor, por lo que tampoco es primo. Es un caso especial y

El 1 no es ni número primo ni número compuesto

Y ¿todo esto es importante en una clase de la ESO? , pues sinceramente, en el día a día de la enseñanza secundaria en España no tiene ninguna importancia si el $1$ es primo o compuesto . Yo se lo cuento a mis alumnos (y no siempre) como mera curiosidad: algunos se quedan con ello y otros se olvidan a los dos minutos. Es mucho más importante centrarse en otras cuestiones en cuanto a manejo de números y operaciones (aritmética), y aquellos que vayan a estudiar una carrera de ciencias puras ya se buscarán las vueltas con esta cuestión.

En lo que sí que insisto, porque es fácil caer en error, es en dejar claro que el $0$ es múltiplo de cualquier número. Esta afirmación descoloca al principio, pero piénsalo, si puedes dividir el $0$ por un número sin que te deje resto, es porque es múltiplo de ese número. Y puesto que $0$ lo puedo dividir por cualquier número sin que deje resto, el $0$ es múltiplo de todos los números.

¿Cuántos números primos y compuestos hay?

La pregunta de ¿cuántos números compuestos hay? casi nunca se pregunta, ni se responde en clase porque de forma tácita todo el mundo está de acuerdo en que hay infinitos números compuestos. Pero creo que es hora, al menos, de justificar esta afirmación.

Sabemos que hay infinitos números naturales. Además sabemos que un número compuesto se «consigue» multiplicando dos números naturales, que no sean ni $0$ ni $1$ . Pues con esto es suficiente: siempre es posible elegir dos números naturales (primos o no) distintos de $0$ y de $1$ , multiplicarlos y conseguir así un número compuesto. Como hay infinitos números naturales, hay infinitas formas de elegir dos números naturales diferentes, y cada elección nos da por resultado un número compuesto diferente, por lo tanto hay infinitos números compuestos.

Te lo repito.

Hay infinitos números compuestos

Algo un poco más complicado es deducir que hay infinitos números primos. La demostración que te voy a explicar aquí es la que propuso Euclides, que vivió en los S. IV – III a. C. (hace unos 2200 años aproximadamente).

En mi opinión personal, me parece que es una demostración muy elegante. Creo que tiene varias características importantes:

Hay otras demostraciones que utilizan herramientas potentes de matemáticas, pero esta demostración la puede seguir cualquier persona sin más que saber multiplicar y dividir.
Es una demostración por reducción al absurdo. Vamos a suponer que hay un número finito de números primos y vamos a concluir que no puede ser verdad.
No te dice cómo calcular el «siguiente» número primo. Y esto es un problemón, porque nadie sabe cómo se distribuyen los números primos. Aunque dentro de un rato te diré un poquito sobre la distribución de números primos.
No te dice cómo factorizar el nuevo número que consigues. Esto es lógico, si te dijera qué número primo estás utilizando, simplemente deberías dividir y ya está.

Vamos a empezar . Para que todo el mundo me pueda seguir, voy a ir haciendo lo mismo de dos formas diferentes: en negro sobre fondo crema la demostración matemática correctamente escrita; sobre fondo verde, y en itálica, lo mismo pero de forma numérica, para que si tienes problemas en la abstracción de la demostración puedas seguirla sin ningún problema.

Supongamos que hay un número finito de números primos:

$\mathbb{P}=\{p_1, p_2, \ldots ,p_n\}$

Si multiplicamos todos los números primos conocidos, obtenemos un número que es compuesto en el que hemos «usado» todos los primos existentes:

$N=p_1\cdot p_2\cdots p_n$

Si al número obtenido, le sumamos una unidad, obtenemos $N+1$ que no es múltiplo de ningún primo de $\mathbb{P}$ pues siempre deja de resto $1$ cuando se le divide por algún $p_i$ .

Por lo tanto hay dos opciones:

O bien $N+1$ es un número primo que no habíamos considerado antes.
O bien existe un nuevo número primo, llámese $\rho$ , que divide a $N+1$ pero que no pertenecía a $\mathbb{P}$

En cualquier caso hemos añadido un nuevo número primo. Y como este algoritmo se puede repetir, en cada paso vamos añadiendo, al menos, un nuevo número primo.

Por tanto el número de números primos es infinito.

Supongamos que conocemos todos los números primos conocidos y que son (suponemos que no hay más):

$\mathbb{P}=\{2,3,5,7,11\}$

Vamos a multiplicar todos los números primos que existen y así conseguimos un número compuesto:

$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310$

Ahora vamos a sumar $1$ al número anterior, obtenemos así $2311$
Observa que este nuevo número no es divisible por ningúno de los números primos de los que teníamos al principio (siempre sobra $1$ ).

Por lo que caben dos opciones:

O bien $2311$ es un número primo.
O bien existe un nuevo número primo que no conocíamos que divide a $2311$ .

Así que espero que te haya quedado claro que:

Hay infinitos números primos

¿Cómo se distribuyen los números primos?

Esta es la pregunta del millón. Del millón de dólares para el que consiga revolverlo . Como puedes comprender yo no te lo voy a resolver aquí, ¡qué más quisiera!. De lo que sí te voy a hablar es de algunas curiosidades.

Hay intervalos de números tan grandes como se quiera donde no hay números primos.

Primero voy a darte unos ejemplos numéricos, porque esto no es tan «evidente» como la demostración de la infinitud de primos. Lo que dice el título es que puedes encontrar cadenas de $10$ o $15$ o $1000$ o $1\, 000\, 000$ de números naturales consecutivos donde no hay ningún primo, ni uno solo; son desiertos de primos . Por ejemplo:

$8,\ 9,\ 10$ son los tres primeros números consecutivos que no son primos. Pero también tienes el $44,\ 45,\ 46$ .
$24,\ 25,\ 26,\ 27,\ 28$ es la primera cadena de cinco números consecutivos que no son primos. Pero también tienes al $32,\ 33,\ 34,\ 35,\ 36$ .
La primera cadena de diez números consecutivos que no son primos es: $114,\ 115,\ 116,\ 117,\ 118 ,\ 119, \, 120, \,121, \,122, \,123, \,124, \,125, \,126$ . De hecho es una cadena de trece números. Buscar la siguiente te la dejo a tí; te doy una pista : son todos números menores de $250$ .

Creo que ya puedes ver por dónde vamos. Evidentemente es más fácil encontrar tres números consecutivos que no son primos que encontrar cien números consecutivos que no son primos. Pero hay una pregunta más interesante que hacerse: ¿existen esas cadenas de números? es decir, ¿existen cadenas, arbitrariamente largas de números consecutivos que no son primos?

Si quieres la respuesta rápida, te lo digo ya mismo: SI

Pero si lo que quieres es una demostración aquí te va. Al igual que antes, voy a ir haciéndolo en dos columnas para que puedas seguir la demostración con un ejemplo al lado. Antes de nada, por que lo vas a necesitar, te voy a decir qué es el factorial del un número.

Se llama factorial de un número a $n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$ .
Es decir el factorial de un número se obtiene multiplicando todos los números menores que él.

Así

$3!=3\cdot 2\cdot 1=6$
$6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720$

Bueno, pues con esta herramienta comenzamos:

Sea $n-1$ el número de números compuestos consecutivos que queremos.

Es evidente que $n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$ es un número que es múltiplo de todos los números menores que $n$ (sean primos o no). Ahora podemos deducir lo siguiente:

$n!+1$ no es múltiplo de ningún número menor que $n$ . En particular, puede que este número sea primo.
$n!+2$ es múltiplo de $2$ porque es la suma de dos múltiplos de $2$ : $n!$ y $2$
$n!+3$ es múltiplo de $3$ porque es la suma de dos múltiplos de $3$ : $n!$ y $3$
$n!+4$ es múltiplo de $4$ porque es la suma de dos múltiplos de $4$ : $n!$ y $4$
……….y así continuamos hasta llegar a………
$n!+n$ que es múltiplo de $n$ pues es la suma de dos múltiplos de $n$ : $n!$ y el propio $n$ .

Así hemos conseguido $n-1$ números consecutivos, todos compuestos:

$n!+2, \ n!+3, \ n!+4, \ldots, \ n!+n$

Queremos conseguir 9 números compuestos consecutivos.

Es evidente que $10!=3\ 628\ 800$ es múltiplo de 10 y también de todos los números menores que $10$ . Recuerda que

$10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$

$10!+1=3\ 628\ 801$ no es múltiplo de $2,\ 3,\ldots, 10$ porque deja resto $1$ al dividirlo por cualquiera de ellos.
$10!+2=3\ 628\ 802$ es múltiplo de $2,\ 3,\ldots, 10$ porque es la suma de $10!$ que es múltiplo de $2$ y el propio $2$ .
$10!+3=3\ 628\ 803$ es múltiplo de $2,\ 3,\ldots, 10$ porque es la suma de $10!$ que es múltiplo de $3$ y el propio $3$ .
$10!+4=3\ 628\ 804$ es múltiplo de $2,\ 3,\ldots, 10$ porque es la suma de $10!$ que es múltiplo de $4$ y el propio $4$ .
Y así podemos seguir hasta llegar a…
$10!+10=3\ 628\ 810$ que es múltiplo de $2,\ 3,\ldots, 10$ porque es la suma de $10!$ que es múltiplo de $10$ y el propio $10$ .

Así hemos obtenido $10-1=9$ números consecutivos todos compuestos:

$3\ 628\ 802 ,\ldots,\,3\ 628\ 810$

Es decir, hemos encontrado un método para construir cadenas tan largas como deseemos de números compuestos consecutivos.

Existen cadenas de longitud arbitrariamente largas de números compuestos consecutivos

No obstante, debes tener en cuenta que lo que hemos conseguido es la forma de hallar alguna cadena de longitud arbitraria, pero no la forma de encontrar la primera cadena que cumple esto 1️⃣ . De hecho en el ejemplo te he mostrado cómo conseguimos la cadena de diez números compuestos a partir de $3\ 628\ 802$ y antes te di una de trece números que empezaban en $114$ .

Pero entonces ¿cómo se distribuyen los números primos?

Pues como te he dicho antes, esto es la pregunta del millón, pero ya te puedes hacer una idea por lo que te he mostrado, que los números primos son cada vez más escasos; ya que hay «espacios» en los números naturales donde hay $10$ , $100$ o $1\ 000\ 000$ , o más, de números consecutivos que no son primos.

En general, y para aquellos de vosotros que habéis estudiado los logaritmos (4º ESO), si llamamos $\pi(x)$ al número de números primos menores que $x$ entonces podemos decir que

$\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}$

Se llama teorema de los números primos y lo enunció Gauss (¡Cómo no iba a andar por aquí?) Explicar esta fórmula me llevaría muchas entradas, por eso os la voy a traducir de una manera libre para que podáis intuir qué es lo que quiere decir.

Puesto que no es la razón de esta entrada explicar lo que es una función asintótica y demás, podéis interpretar esta fórmula (con todas las precauciones necesarias) como que el número de primos es

$\pi(x)=\frac{x}{\log x}$

donde $\log$ es el logaritmo neperiano. Vamos a hacer una tabla.

[table id=1 /]

Como ves en esta tabla podemos ver que el número calculado con esa fórmula es menor que lo que ocurre realmente. Pero al ser una función asintótica, para números muy grandes, las columnas calculada y real se van haciendo progresivamente iguales. Te vuelvo a recordar que esto no es estrictamente correcto, pero para un nivel de hasta 4º ESO es más que suficiente.

Si ahora calculas los porcentajes de números primos que hay menores que uno dado obtienes (con los datos de la tabla anterior):

Primos menores que $10$ : $40\%$
Primos menores que $100$ : $25\%$
Primos menores que $1000$ : $16,8\%$
Primos menores que $10000$ : $12,29\%$
Primos menores que $50000$ : $10,27\%$

Como ves, los números primos van haciéndose cada vez más y más raros. A modo de curiosidad, te diré que el número de primos menores que $100\ 000\ 000\ 000$ (sí, mil millones) es de $50\ 847\ 534$ que son muchos, sí; pero representan tan solo el $5\%$ del total de números.

¿Y cómo puedo saber si un número es primo o no?

Esta pregunta lleva asociada otra: «y si un número es compuesto ¿cómo puedo factorizarlo?» La primera pregunta, saber si un número es o no es primo, es más o menos asumible. La segunda pregunta es algo muy complicado. Voy a ir explicándote todo esto en esta sección y para ello voy a utilizar los números

$61, \qquad 173,\qquad 527, \qquad 991, \qquad 2003,\qquad 6523,\qquad 9907$

De los números que te he dado, algunos son compuestos. ¿Te atreves?

¿Es primo?

A lo largo de la historia se han ido desarrollando diferentes formas de averiguar si un número es primo o no. Voy a enseñarte alguna sencilla.

Criba de Eratóstenes

Probablemente la primera y más sencilla forma de descubrir números primos es la que desarrolló Eratóstentes en el S III a. C.

Lo primero que debes hacer es crear una tabla con todos los números que quieres someter a la prueba. Imagina que queremos saber qué números, menores de 100, son primos; en ese caso creamos la siguiente tabla.

[table id=3 /]

Ahora vamos a empezar a tachar:

Empezamos por el $2$ que es el primer primo (¡Y además es par!). Lo que hacemos es ir contando de dos en dos y vamos tachando. Así eliminamos los números $2, \ 4,\ 6,\ 8,\ldots, 100$ Y hemos acabado con el $2$
Buscamos el menor número que no hemos tachado, el $3$ , y ahora empezamos a contar de tres en tres y vamos tachando. Así eliminamos los números $3, \ 6,\ 9,\ 12,\ldots, 99$ (si algún número ya estaba tachado, lo volvemos a tachar). Y hemos acabado con el $3$
Buscamos el siguiente número que no hemos tachado, el $5$ , y ahora empezamos a contar de cinco en cinco y vamos tachando. Así eliminamos los números $5, \ 10,\ 15,\ 20,\ldots, 100$ (si algún número ya estaba tachado, lo volvemos a tachar). Y hemos acabado con el $5$
¿Adivinas cuál es el siguiente número?, efectivamente, es el $7$ , y ¿cada cuánto tenemos que contar? efectivamente de siete en siete y vamos tachando los números $7, \ 14,\ 21,\ 28,\ldots$ ¿y si algún número ya está tachado?, pues lo volvemos a tachar. Y así acabamos con el $7$
¿Cuál es el siguiente número? Efectivamente el $11$
¿Y el siguiente? El $13$

Y así continuamos con todos hasta que no queda ninguno más. Al final la tabla te tiene que quedar de la siguiente manera:

[table id=4 /]

Por lo tanto, ya sabes que $61$ es un número primo.

Ventajas y desventajas de la criba de Eratóstenes:

Es un algoritmo muy sencillo y fácil de realizar.
Acabas hallando todos los primos.
Consume mucho tiempo.
No es fácil de implementar para números grandes: intenta hallar los primos menores que $1000$ o $10\, 000$

Criterio de la mitad

Si tenemos un número, el menor número primo por el que lo podemos dividir es $2$ . Luego si un número, $n$ , es compuesto será divisible por algún número que sea menor que $\displaystyle \frac{n}{2}$ .

Esto está muy bien. Si tomamos el $61$ podemos calcular su mitad que es $30,5$ y por tanto si ningún número menor o igual que $30$ lo divide, eso es que es primo.

Esto se puede mejorar un poco: imagínate un número divisible por $24$ , entonces lo es por $2$ y $3$ , que son los factores primos de $24$ . Si piensas un poco, todo esto significa que nos tenemos que fijar solamente en los números primos menores que la mitad del número estudiado

Por tanto, para el caso del $61$ tenemos que fijarnos en $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ . Y como ninguno de estos números divide a $61$ , eso significa que es un número primo.

Criterio de la raíz

Este criterio nos va a facilitar mucho las cosas. Es un paso más que podemos dar al criterio de la mitad. Al final vamos a tener que hacer divisiones, pero bastantes menos «cuentas» que si seguimos el método de la mitad y muchas menos que con la criba de Eratóstenes .

Si tenemos todos los números del $1$ al $n$ . ¿Cuál es el mayor número que podemos conseguir usando dos de ellos (se puede repetir)? Es el cuadrado del mayor de ellos. Imagínate que tenemos los números $\{1,\ldots,10\}$ el mayor número que puedes calcular es $10^2=100$

¿Y cómo puedo usar esto para encontrar primos? Sencillo, toma el $61$ , que ya sabemos que es primo, pero vamos a hacer como si no lo supiéramos. Si el $61$ no es divisible por ningún número menor que su raíz cuadrada $\sqrt{61} \approx 7,81<8$ entonces es que $61$ es primo.

Pero es que hay más . Al igual que antes, no necesitas operar con todos los números menores que $8$ si no solamente con los primos que son menores que $8$ . Es decir, con $2,3,5,7$ . Como ninguno de estos números divide a $61$ , entonces es primo.

Fíjate que hemos pasado de probar todos los números menores que $61$ en la criba de Eratóstenes, a probar $30$ números (realmente los 10 números primos menores de 30) con el criterio de la mitad; y ahora ¡tan solo hay que probar 4! Esto está muy bien.

Vamos a hacer otro ejemplo: ¿es primo el $2003$ ? Lo primero que hacemos es calcular su raíz cuadrada: $\sqrt{2003}\approx 44,75< 45$ . Ahora buscamos los números primos menores de $45$ :

$3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43$

Si divides $2003$ por cada uno de los números anteriores, verás que no es múltiplo de ninguno. Por lo tanto $2003$ es un número primo (piensa que solo has tenido que hacer 13 operaciones, lo cual facilita mucho la cuestión).

Ahora date cuenta de una cosa: con la criba de Eratóstenes anterior, ya conoces los $25$ números primos que son menores que $100$ . Y puesto que $100\cdot 100=10\, 000$ ahora ya puedes calcular qué números menores de $10\, 000$ son primos. ¡¡Y como mucho necesitarás 25 operaciones!!.

Por ejemplo:

Para calcular si $61$ es primo, necesitas como mucho 4 operaciones.
Para calcular si $173$ es primo, necesitas como mucho 4 operaciones.
Para calcular si $527$ es primo, necesitas como mucho 8 operaciones.
Para calcular si $991$ es primo, necesitas como mucho 10 operaciones.
Para calcular si $2003$ es primo, necesitas como mucho 12 operaciones.
Para calcular si $6523$ es primo, necesitas como mucho 20 operaciones.
Para calcular si $9907$ es primo, necesitas como mucho 24 operaciones.

Como ves esta forma de calcular números primos es bastante rápida, si bien necesitas siempre conocer algún número primo para empezar. Es decir, si no conoces si $83$ es un número primo o no, ¿Cómo vas a saber si tienes que dividir $9907$ por $83$ o no? Primero tienes que saber si 83 es primo…

Las ventajas y desventajas del método de la mitad y de la raíz son:

«Elimina» muchos números a probar, así que facilita los cálculos.
Se puede hacer en un número finito de pasos.
A pesar de todo puede llegar a consumir mucho tiempo. ¿Crees que es primo el número $523\, 417$ ? Su raíz cuadrada es $\sqrt{523\, 417}\approx 723,48<724$ y ahora tienes que ir probando los primos menores que $724$ (¿cuáles son esos números primos? ) por lo que tampoco es que nos haya solucionado mucho ¿verdad?
Vamos a estimar cuántas operaciones deberías hacer. Si supones que cada 100 naturales hay 25 primos (cada vez se van haciendo más raros, pero vamos a estimar por lo alto) entonces puedes intuir que habrá unos 175 primos hasta 724. Desde luego son bastantes menos que 724, y muchos menos que la mitad de $523\, 417$ . Pero a pesar de todo primero tienes que calcular los primos menores de 724, y eso te va a llevar un buen rato.

Espero que te haya quedado claro que saber si un número es primo o no puede ser bastante complicado . Hay otros métodos, y se van complicando más y más; y hacen uso de herramientas matemáticas que no están al alcance de un estudiante de secundaria Y a todo esto, te dije que esta era la pregunta fácil. La pregunta realmente difícil es la de «¿qué dos números debo multiplicar para hallar uno dado?» Si eliges dos números primos suficientemente grandes como $1493$ y $1499$ y los multiplicas obtienes el número $2\, 238\, 007$ ; así que imagínate el problema al revés: ¿es primo $2\, 238\, 007$ ? y si no lo es ¿cuáles son sus factores primos? Ahora imagínate este problema con un número de digamos… cuarenta dígitos o cuatrocientos.

Espero que te haya quedado claro que esto de los números primos es un tema muy amplio. Además, me prometí a mí mismo que no te iba a decir nada sobre seguridad de internet y números primos y lo he conseguido .

A continuación te muestro la bibliografía que he seguido para realizar esta entrada, pero si tienes alguna idea, sugerencia o bien hay algo que no te ha quedado claro, por favor ponlo en los comentarios abajo.

Si te ha gustado lo que has leído y quieres invitarme a un café ☕, te doy las gracias por adelantado.

Gracias por leerme

Bibliografía

Bujalance, E., Bujalance, J. A., Costa, A. F., Martínez, E.; 2005; Elementos de matemática discreta; 3ª edición; Ed. Sanz y Torres; Madrid.
Cilleruelo, J.; Apuntes de teoría de números; Universidad autónoma de Madrid; http://matematicas.uam.es/~franciscojavier.cilleruelo/Curso/capitulo%208.pdf [Consultado 10-agosto-2020]
Colerus, E.; 1972; Breve historia de las matemáticas; 1ª edición; Doncel: libro joven de bolsillo; Madrid.
Los 7 grandes problemas matemáticos cuya resolución se premia con US$1 millón https://www.bbc.com/mundo/noticias-45706619 [Consultado 10-agosto-2020]
Imagen realizada por turkkub [https://www.flaticon.es/autores/turkkub 12-agosto-2020]