En esta entrada te voy a explicar algunas cuestiones sobre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números. Los resumiremos como mcd y mcm.

Si has echado un vistazo a mi entrada sobre números primos y compuestos o bien sobre los múltiplos y divisores de los números habrás visto que hay algunos divisores que tienen muchos divisores y otros solamente dos (los primos). Pues bien, ahora de lo que se trata es de buscar para dos números dados divisores y múltiplos comunes que cumplan algunas determinadas características:

• Nos interesa de todos los divisores comunes de dos números, el mayor de ellos. Lo llamaremos máximo común divisor, mcd.
• Nos interesa de todos los múltiplos comunes de dos números, el menor de ellos. Lo llamaremos mínimo común múltiplo, mcm.

Cálculo del mcd y mcm de dos números

A continuación te voy a ir mostrando las diferentes formas que tenemos de calcular el mcd y mcm de dos números cualesquiera

Cálculo del mcd de dos números

[latexpage] Tomemos dos números cualesquiera, por ejemplo $180$ y $450$ .Una forma muy sencilla de hallar el mcd de dos números es hallar todos los divisores de cada número y luego encontrar, entre los divisores comunes, aquel que sea el mayor de todos. .

Cálculo del mcd hallando todos los divisores de cada número

Cálculo del mcd mediante la descomposición factorial

Créeme si te digo que el método anterior no es ni mucho menos el mejor método de hallar el $mcd$ de dos números.¿Te atreves con $16\ 200$ y $8820$. El primero tiene $60$ divisores, y el segundo $54$. Ya te puedes imaginar que así te puedes tirar un buen rato para encontrar que $mcd(16200, 8820)=180$.

Así que vamos a buscar otra manera de hacer esto más fácil y rápido. Vamos a seguir con $450$ y $180$

Lo primero que tienes que hacer es factorizar los números a los que quieres hallar el $mcd$. Para ello vas a necesitar echar mano de los criterios de divisibilidad y de los distintos criterios para saber si un número es o no primo. Así llegas a descomponer en factores primos cada uno de los números de la siguiente manera:

$$\phantom{\Huge 2_2^2 }450=2\cdot 3^2\cdot 5^2$$
$$\phantom{\Huge 2_2^2}180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$$

Ahora tienes que recordar que:

Para calcular el mcd de dos números, se factorizan y se multiplican los factores primos COMUNES elevados al MENOR exponente

¿Y esto cómo nos afecta con el $\phantom{\Huge }450$ y el $\phantom{\Huge }180$? Pues muy fácil: los factores primos comunes son $\phantom{\Huge }2,3,5$ y ahora me pregunto:

• ¿Cuál es la menor potencia de $\phantom{\Huge }2$?: la menor potencia es $ 2 $
• ¿Cuál es la menor potencia de $\phantom{\Huge }3$?: la menor potencia es $3^2$
• ¿Cuál es la menor potencia de $\phantom{\Huge }5$?: la menor potencia es $5$

Así que ya podemos calcular el $mcd(180, 450)=2\cdot 3^2\cdot 5=90$

Este método es mucho más rápido que el anterior, si bien la parte difícil está en la factorización de los números como verás en el siguiente ejemplo.

Vamos a calcular $mcd(16200, 8820)$:

Lo primero es factorizar ambos números:

• $\phantom{\Huge }16200=2^3\cdot 3^4\cdot 5^2$
• $\phantom{\Huge }8820=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7^2$

Una vez hecho esto, debemos ver cuáles son los factores primos comunes, que son $2, 3, 5$ y ahora ver cuál es la menor potencia de cada uno de ellos:

• ¿Cuál es la menor potencia de $\phantom{\Huge }2$?: la menor potencia es $ 2^2 $
• ¿Cuál es la menor potencia de $\phantom{\Huge }3$?: la menor potencia es $3^2$
• ¿Cuál es la menor potencia de $\phantom{\Huge }5$?: la menor potencia es $5$

Así ya hemos calculado el resultado: $mcd(16200,8820)=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180$

Cálculo del mcd mediante el algoritmo de Euclides

Este algoritmo no se suele enseñar, porque es un poco más complejo (tampoco mucho) y parece que no gusta hacer pensar a los alumnos de la ESO, no sea que aprendan y se vuelvan críticos en vez de criticones. Quizá para los alumnos de 1º ESO sea complicado, pero considero que aquellos que se encuentran cursando 2º ESO deberían, al menos, tener la oportunidad de razonar este método.

El algoritmo se basa en dividir los números (¿qué prefieres: hacer una división o factorizar números?) y luego el menor entre el resto, y lo que salga entre el resto… así hasta que obtengas de resto $0$. Parece más complicado de lo que es; vamos a verlo con nuestros números anteriores, pero debes estar atento en ver cómo se mueven el cociente y el resto de una división.

Ejemplo. Cálculo de $mcd(180,450)$

• $450=180\cdot 2+90$ Observa cómo voy a mover el $180$ y el $90$, que son el divisor y el resto.
• $180=90\cdot 2+0$ Y ya he conseguido el resto $0$. Ya tengo que el $mcd(180,450)=90$

Ejemplo. Cálculo de $mcd(350,370)$

Voy a hacer otro ejemplo: $mcd(350, 370)$ Voy a empezar a dividir:

• $370=350\cdot 1 +20$. Observa cómo voy a mover el $350$ y el $20$, que son el divisor y el resto.
• $350=20\cdot 17+10$. Ahora toca mover el $20$ y el $10$, que son el divisor y el resto.
• $20=10\cdot 2+0$. Ya he conseguido el resto cero. El $mcd(350,370)=10$

Ejemplo. Cálculo de $mcd(827,205)$

Otro ejemplo puede ser el siguiente: vamos a hallar $mcd(827,205)$. Así que empiezo a dividir:

• $827=205\cdot 4+7$. Observa cómo muevo el $205$ y el $7$.
• $205=7\cdot 29 +2$. Ahora observa cómo muevo el $7$ y el $2$.
• $7=2\cdot 3+1$. Vamos a hacer la última división. Voy a mover el $2$ y el $1$.
• $2=1\cdot 2+0$. Y puesto que tengo resto $0$, ya sé que $mcd(827, 205)=1$

Hay una forma de colocar los números en una tabla que permite ir más rápido con los cálculos. Es la siguiente:

[table id=7 /]

En esta tabla lo que hacemos es ir encadenando las divisiones. Además hay números que debemos ir moviendo a lo largo del algoritmo. Están señalados con círculos de colores.

1. La primera división es $827:205$. El cociente que es $4$ lo colocamos encima de $205$ y el resto, que es $7$ lo colocamos debajo de $827$.
2. El siguiente paso es colocar el resto ($7$) al lado de $205$ y dividirlos.
3. La segunda división es $205:7$. El cociente, que es $29$ lo colocamos encima de $7$ y el resto, que es $2$ lo colocamos debajo de $205$.
4. El siguiente paso es colocar el $2$ al lado de $7$ y dividirlos.
5. La tercera división es $7:2$. El cociente, que es $3$, lo colocamos encima de $2$ y el resto que es $1$ lo colocamos debajo del $7$.
6. El siguiente paso es colocar el $1$ al lado de $2$ y dividirlos.
7. La cuarta división es $2:1$. El cociente que es $2$ lo colocamos encima de $1$ y el resto que es $0$ lo colocamos debajo de $2$.
8. Cómo ahora ya tenemos el resto $0$. Nos fijamos en el último número de la fila central. El $1$ que es el resultado.

Así volvemos a tener que $mcd(827, 205)=1$

Ejemplo. Cálculo de $mcd(7479,1869)$

Voy a poner otro ejemplo. Ahora vamos a calcular el $mcd(7479,1869)$. Aquí te dejo la tabla con el algoritmo:

[table id=8 /]

• Lo primero es dividir $7479: 1869$. El cociente que es $4$ lo coloco encima de $1869$, mientras que el resto, que es $3$ lo escribo debajo de $7479$.
• El segundo paso es colocar el $3$ al lado de $1869$ para poder dividirlos.
• El tercer paso es dividir $1869: 3$. El cociente es $623$ y lo coloco encima del $3$; y el resto, $0$, lo coloco debajo de $1869$.
• Como ya he conseguido el resto $0$, lo que hago es fijarme en el último número que he escrito en la fila central y ese es el $mcd(1869,7479)=3$.

Debes convencerte que este método es más fácil que el que se basa en la descomposición factorial de los números. Es mucho más fácil dividir dos números que descomponer un número en factores primos. Aquí tienes la descomposición factorial de todos los números que hemos usado en el Algoritmo de Euclides:

• $450 =2\cdot 3^2\cdot 5^2$
• $180 =2^2\cdot 3^2\cdot 5$
• $350 =2\cdot 5^2\cdot 7$
• $370 =2\cdot 5\cdot 37$
• $827 = 827$ No es fácil ver que este número es primo.
• $205 =5\cdot 41$
• $7479 =3^3\cdot 277$ ¿Es fácil ver que $277$ es primo?
• $1869 =3\cdot 7\cdot 89$ ¿Sabías que $89$ es primo?

Y si aún no te has quedado convencido de la sencillez de este método te reto a que compruebes que $mcd(502907,177731)=797$ y nos dejes en comentarios qué te ha parecido descomponer estos dos números en factores primos Lo que quiero que comprendas, al final, es que es mucho más fácil dividir números que descomponerlos.

Cálculo del mcm de dos números

En la ESO el estudio del $mcd$ y del $mcm$ van unidas. Se explican seguido, se hacen ejercicios comunes… y usamos el método de descomposición factorial de los números.

Para calcular el mcm de dos números, se factorizan y se multiplican los factores primos COMUNES y NO COMUNES elevados al MAYOR exponente

Atención: Mi experiencia me dice que hay muchos, muchísimos alumnos que hallan el $mcm$ lo hacen hallando todos los múltiplos de cada número y luego deciden cuál es el común y menor. Teniendo en cuenta que los múltiplos de un número son infinitos, pueden llegar a dedicar mucho tiempo (algunos incluso me dicen que no hay, lo cual es falso: SIEMPRE HAY UN NÚMERO QUE ES EL MENOR MÚLTIPLO DE OTROS DOS DADOS). Si tienes paciencia, itenta hallar, por ejemplo, el $mcm(53,54)$ mediante este método; y si aún no te has convencido de lo rudimentario de este método, y fácil de equivocarse, intenta calcular el $mcm(97,101)$. Prepárate para escribir en el primer caso 107 números y en el segundo 198 números (y cruza los dedos para no equivocarte, claro).

Espero que te haya quedado claro que para hallar el $mcm$ de dos números debes recurrir a la descomposición factorial. Vamos a ir calculando el $mcm$ de los números con los que hemos estado trabajando.

Ejemplo. Cálculo de $mcm(450,180)$

• $450 =2\cdot 3^2\cdot 5^2$
• $180 =2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Por tanto:

$$mcm(180,450)=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2=900$$

Ejemplo. Cálculo de $mcm(350,370)$

• $350 =2\cdot 5^2\cdot 7$
• $370 =2\cdot 5\cdot 37$

Por tanto:

$$mcm(350,370)=2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 37=12950$$

Ejemplo. Cálculo de $mcm(827,205)$

• $827 = 827$ ¡Resulta que $827$ es primo!
• $205 =5\cdot 41$ ¿Sabías que $41$ es primo?

Por tanto:

$$mcm(205,827)=5\cdot 41\cdot 827=169535$$

Ejemplo. Cálculo de $mcm(7479,1869)$

• $7479 =3^3\cdot 277$ ¿Es fácil ver que $277$ es primo?
• $1869 =3\cdot 7\cdot 89$ ¿Sabías que $89$ es primo?

Por tanto:

$$mcm=3^3\cdot 7\cdot 89\cdot 277=4\ 659\ 417$$

El truco del almendruco

Si tenemos dos números $a$ y $b$, y sabemos que $mcd(a,b)=d$ y que $mcm(a,b)=m$ entonces:

$$a\cdot b=d\cdot m$$

Y esto está genial, porque conociendo esta formulilla puedo calcular muy rápido el $mcd$ y el $mcm$ de dos números sin más que haciendo una multiplicación y una división. Vamos a comprobarlo con nuestros números:

Para 450 y 180

Ya hemos calculado que $mcd(180,450)=90$ y que $mcm(180,450)=900$. Fíjate que:

$180\cdot 450=81\ 000$

$90\cdot 900=81\ 000$

Para 350 y 370

Ya hemos calculado que $mcd(350,370)=10$ y que $mcm(350,370)=112\ 950$. Fíjate que:

$350\cdot 370=129\ 500$

$10\cdot 12\ 950=129\ 500$

Para 7479 y 1869

Ya hemos calculado que $mcd(1869,7479)=3$ y que $mcm(1869,7479)=4\ 659\ 417$. Fíjate que:

$1869\cdot 7479=13\ 978\ 251$

$3\cdot 4\ 659\ 417=13\ 978\ 251$

Ya pero esto ¿cómo lo podemos usar?

Esta pregunta está muy bien. Pero piensa un poco De lo que se trata es de evitar factorizar un número, porque es un proceso muy muy complicado, difícil y que requiere mucho tiempo .

— ¿Hay algún proceso en el que no hemos usado la factorización de los números?
— Sí. El algoritmo de Euclides para hallar el $mcd$ de dos números.

Pues entonces si conocemos el $mcd$ de dos números y además conocemos los números, podemos hallar requetefácil el $mcm$ de ellos sin despeinarnos.

Aquí te dejo dos problemillas para que practiques:

Queremos calcular el $mcm$ de dos números de los cuales sabemos que su producto es $6909713$ y su $mcd$ sabemos que es $43$ ¿qué número es el $mcm$?

En un mensaje se ha recibido lo siguiente $mcd(???,45)= 15$ y $mcm(???, 45)=3465$ ¿Qué número falta?

Espero que con esta entrada no vuelvas a tener problemas al calcular el $mcd$ y $mcm$ de dos números. Además te he dado dos herramientas que pocos alumnos de 1º y 2º ESO conocen. Mucha suerte.

¿Conocías el algoritmo de Euclides? ¿y que el producto de dos números es igual al producto de su $mcd$ y su $mcm$? Puedes dejarme la respuesta a estas preguntas y cualquier comentario que quieras más abajo

 Gracias por leerme 

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