▶🎁 Jerarquía de operaciones y operaciones combinadas. 🥇

Por jerarquía de operaciones y operaciones combinadas 🧮 nos referimos al orden en que las operaciones se deben realizar cuando hay varias consecutivas. Normalmente los alumnos ya lo han estudiado en Educación Primaria, pero mi experiencia me dice que no todos lo tienen claro.

Por esta razón voy a redactar esta entrada, que verás que es bastante rápida de leer. Te recomiendo tener preparado papel 📔 y boli ✏ para ir haciendo los ejemplos que te voy a ir proponiendo.

📢 Para aprender la jerarquía de operaciones hay que hacer muchas operaciones combinadas. 💥‼

En primer lugar tienes que tener muy claro cómo debes operar cuando te encuentras con operaciones combinads a base de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, todo mezclado; y además con algún que otro paréntesis (➕ ➖ ✖ ➗). Aquí puedes aplicar todas las propiedades que tienen los distintos conjuntos numéricos:

  1. Para seguir la jerarquía de operaciones correctamente en operaciones combinadas, lo primero que debes localizar son los paréntesis. A veces encontrarás paréntesis dentro de corchetes o llaves…. como en este esquema📜

        \[\{\ldots[\ldots(\ldots)\ldots]\ldots\}\]



    Siempre debes empezar «desde dentro» e ir «hacia fuera». En este caso debes empezar por lo que haya dentro de los paréntesis, luego «juntarlo» con lo que haya dentro de los corchetes, y por último «juntarlo» con el resto que haya dentro de las llaves.
  2. Cuando tienes una retahíla de operaciones ➕, ➖, ✖ o ➗ el orden es el siguiente:
    1. Primero debes hacer todo lo que sea multiplicar o dividir ✖, ➗
    2. Por último debes operar las sumas y restas ➕, ➖

Si te das cuenta 🤔, las operaciones combinadas se hacen en orden inverso a como se aprenden: 💡primero aprendiste a sumar y restar y luego a multiplicar y dividir; y ahora lo primero que debes hacer es multiplicar y dividir y luego sumar y restar.

Como las cosas se ven mejor con ejemplos, vamos con alguno de ellos:

Ejemplo 1

Lo primero que tienes que saber es cómo se suman, restan, multiplican y dividen números racionales. Me imagino que ya lo tienes claro así que toma tu papel y bolígrafo y vamos a operar lo siguiente:

    \[\frac{3}{2} +\frac{4}{5}\cdot \left(2-\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{5} \right):\frac{2}{3} +1-\frac{5}{2}\]

Siempre te tienes que hacer esta pregunta:
Cuando tengo operaciones combinadas, ¿qué me dice la jerarquía de operaciones que haga primero? 🤔

En primer lugar nos fijamos en qué podemos hacer:

  • El primer \displaystyle \frac{3}{2} se suma a \displaystyle\frac{4}{5}, pero éste está multiplicando al paréntesis, así que esta suma NO la podemos hacer.
  • Dentro del paréntesis vemos una resta \displaystyle2-\frac{1}{3} y un producto \displaystyle\frac{1}{3}\cdot \frac{12}{5}. ¿Adivinas qué tenemos que hacer primero? Exacto, lo primero es el producto de fracciones.
  • Después del paréntesis tenemos una división y una suma \displaystyle\left. \frac{12}{5}\right):\frac{2}{3}+1 así que tendremos que hacer, lo primero de todo, la división.
  • Por último tenemos una resta \displaystyle+1-\frac{5}{2} y ¿sabes qué? ¡¡Podemos restarlos sin problemas!!

Así que después del primer paso obtenemos esto:

    \[\frac{3}{2} +\frac{4}{5} \cdot \left(2-\frac{12}{3\cdot 5}\right)\cdot \frac{3}{2} +\frac{2-5}{2}\]

Observa cómo hemos operado el producto de dentro del paréntesis y la última resta de la línea. Además, como dividir por una fracción es multiplicar por el inverso, la división \displaystyle :\frac{2}{3} se ha convertido en el producto \displaystyle \cdot \frac{3}{2}

En el siguiente paso, vamos a simplificar la fracción que hay dentro del paréntesis y a realizar la resta del numerador de la última fracción:

    \[\frac{3}{2} +\frac{4}{5} \cdot \left(2-\frac{4}{  5}\right)\cdot \frac{3}{2} -\frac{3}{2}\]

Observa cómo «he sacado» el signo - del numerador de la última fracción y lo he puesto delante.

Ahora debemos realizar la resta que hay dentro del paréntesis \displaystyle 2-\frac{4}{5}. Además si eres un poco observador verás que el primer \displaystyle \frac{3}{2}, que suma, se va a cancelar con el último \displaystyle \frac{3}{2} que está restando. Pero esto te lo indico, aunque los voy a seguir manteniendo hasta el final.

    \[\frac{3}{2} +\frac{4}{5} \cdot \frac{10-4}{5}\cdot \frac{3}{2} -\frac{3}{2}\]

    \[\frac{3}{2} +\frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{3}{2} -\frac{3}{2}\]

El siguiente paso es multiplicar las tres fracciones centrales que tenemos, y acuérdate de expresarlo como una fracción irreducible.

    \[\frac{3}{2} + \frac{36}{25} -\frac{3}{2}\]

Por último sólo tenemos una suma y una resta. Pero obsérvalo 👁 ¿Te das cuenta como primero sumamos \displaystyle \frac{3}{2} y luego los restamos? Entonces el resultado es:

    \[\frac{36}{25}\]

Y este es el resultado.

Ejemplo 2

Ahora vamos a operar lo siguiente:

    \[2+3:\frac{1}{3}-\left[\frac{4}{5}-\frac{2}{3}\left(2+\frac{3}{2}\right)-5\right]\]

Al igual que en el anterior ejemplo debes preguntar ¿Qué tengo que operar primero según la jerarquía de operaciones cuando tengo operaciones combinadas?

¿Qué ves cuando observas 🔍 las operaciones a realizar? (porque aquí se trata de ver qué vas a hacer, antes de hacer nada). Efectivamente, la única operación que se puede hacer es la suma que está dentro del paréntesis, dentro del corchete. Así que por ahí debemos empezar. Además vamos a «dividir» por el \displaystyle \frac{1}{3}. Como sabes, dividir es multiplicar por el inverso. Y ya que lo tenemos todo planteado. Vamos a operar.

    \[2+3\cdot 3-\left[\frac{4}{5}-\frac{2}{3}\left(\frac{4+3}{2}\right)-5\right]\]

En el siguiente paso ya podemos multiplicar lo que nos salga de esa suma por el \displaystyle \frac{2}{3} que hay delante de ello. Así tenemos (ya lo simplifico y todo).

    \[2+9-\left[\frac{4}{5}-\frac{2}{3}\cdot\frac{7}{2}-5\right]\]

    \[2+9-\left[\frac{4}{5}-\frac{7}{3}-5\right]\]

Ahora debemos hacer las operaciones dentro del corchete, y tenemos:

    \[2+9-\left[-\frac{98}{15}\right]\]

Y ahora simplemente «quitamos» el corchete operándolo con ese signo «-» que tiene delante y teminamos:

    \[2+9+\frac{98}{15}\]

    \[\frac{263}{15}\]

Y ahora tendríamos que ver si esta fracción es irreducible o no. ¿Cómo lo podemos averiguar rápidamente?

🤔

Fácil. Si la fracción se puede reducir, entonces 263 tendrá que ser divisible por alguno de los factores primos de 15. y ¿cuáles son los factores primos de 15? Pues 3 y 5, porque 15=3\cdot 5.

Por lo que la pregunta que debemos hacernos es: ¿es divisible 263 por 3 o por 5? y echando mano de los criterios de divisibilidad deducimos que 263 no es divisible por ninguno de ellos, por lo que la fracción es irreducible. De hecho te puedo decir que 263 es un número primo.

Así el resultado final es:

    \[\frac{263}{15}\]

Ejemplo 3

En este tercer y último ejemplo vamos a operar lo siguiente:

    \[\frac{4}{3}-\frac{2}{5}+\frac{1}{2}: \left(-\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{5}+3\right)+1\]

¿Adivinas qué te tienes que preguntar? 🤔

⏳⏳

⌛⌛

⏰⏰

Efectivamente: ¿Qué te dice la jerarquía de operaciones cuando hay operaciones combinadas?

Lo primero que hay que hacer es observar qué operaciones podemos hacer y cuáles no. Si lo haces, puedes ver que la primera resta \displaystyle \frac{4}{3}-\frac{2}{5} sí podemos operarla. Por su parte, dentro del paréntesis, lo primero que tenemos que hacer es la multiplicación \displaystyle -\frac{3}{2}\cdot {2}{5}. Si operas y simplificas las fracciones que te van saliendo vas a obtener lo siguiente:

    \[\frac{14}{15}+\frac{1}{2}:\left(\frac{-3}{5}+3\right)+1\]

En el siguiente paso vamos a terminar de calcular el paréntesis:

    \[\frac{14}{15}+\frac{1}{2}:\left(\frac{12}{5}\right)+1\]

Ahora es el momento en que podemos dividir por el resultado del paréntesis. Ya sabes aquello de «dividir es multiplicar por el inverso».

    \[\frac{14}{15}+\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{12} +1\]

    \[\frac{14}{15}+\frac{5}{24} +1\]

Y ahora simplemente es sumar estos números. El denominador va a ser 120 ya que mcm(15,24)=120

    \[\frac{112+25+120}{120}\]

    \[\frac{257}{120}\]

Y la última pregunta es si la fracción es irreducibe o no ❓ Al igual que anteriormente, debes factorizar uno de los dos números (numerador o denominador) y ver si el otro es divisible por alguno de sus factores (también puedes ver que 257 es un número primo, pero eso no es trivial). Yo voy a factorizar 120 porque es fácil:

    \[120=2^3\cdot 3\cdot 5\]

Como resulta que ni el 2, ni el 3, ni el 5 dividen a 257 (acuérdate de los criterios de divisibilidad), la fracción es irreducible

Espero que te haya quedado todo claro. Si hay algo que no has entendido déjamelo en los comentarios aquí abajo 👇

▶ Gracias por leerme âœ…

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Vida de la entrada:

– 2020-08-10: Publicación.
– 2020-09-02: Corrección erratas. Añadido botón Paypal.

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