▶ 👍 ¿Interv… qué?, Intervalo 🥇

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Los intervalos se empiezan a estudiar 📚 en 4ESO y también se tienen que tener presentes en todos los cursos de bachillerato. En esta entrada te explicaré qué debes saber sobre esta cuestión para que puedas realizar todos los ejercicios.

Todo lo que yo te voy a explicar aquí entra dentro de la rama de las matemáticas que se conoce como topología. No es mi intención hacer una entrada dedicada a la topología, para ello existen muy buenos libros; lo que sí pretendo es darte los trucos y herramientas necesarios para que puedas enfrentarte a cualquier problema que se te plantee en la ESO o bachillerato

¿Qué es un intervalo? 🤷‍♀️

Definir qué es un intervalo es muy sencillo.

Un intervalo de la recta real es todo conjunto de números que están comprendidos entre otros dos dados

Así dicho parece que no hemos avanzado mucho, pero la verdad es que sí. Ahora sabemos que cualquiera de las siguientes frases se representa como un intervalo:

• 1️⃣ Las personas que tienen más de 1 casa, pero menos de 5 casas.
• 2️⃣ Las personas que tienen una o más casas, pero menos que cinco casas.
• 3️⃣ Los cables de media tensión eléctrica poseen más de $10\ kV$ pero menos o igual a $40\ kV$.
• 4️⃣ Los árboles que miden más de $0,5\ m$, pero menos o igual a $15\ m$.
• 5️⃣ Los números que son mayores o iguales que 3, pero menores o iguales que 10.
• 6️⃣ La gente cuya estatura está comprendida entre 150 y 183cm ambos incluidos.

Como ves ninguna de estas cuestiones tiene una solución única. Y además depende de qué conjunto numérico estemos considerando, porque no es lo mismo una variable continua, que una variable discreta.

Por ejemplo: una persona puede tener ninguna, una, dos, tres.. casas; pero no puede tener 3,5 casas. Bien, ya sé que desde el punto de vista legal puede ocurrir que poseas una casa a medias con otra u otras personas, pero vamos a dejar esto de lado, porque lo que nos interesan son los intervalos.

Tipos de intervalos

Ahora ya sabes lo que es un intervalo, pero de lo que se trata es de aprender los distintos tipos que existen y que todos se llaman intervalos.

Hay dos conceptos fundamentales:

• 🟫 Extremo cerrado: decimos que un intervalo tiene un extremo cerrado, cuando ese punto (número) pertenece al mismo.
• 🟩 Extremo abierto: decimos que un intervalo tiene un extremo abierto, cuando ese punto no pertenece al mismo.

Junto con estas definiciones, debes saber que, a veces, los intervalos tienen por extremos el más infinito () o el menos infinito (). Cuando esto ocurra, ése extremo del intervalo será abierto.

Te lo vuelvo a repetir.

Si un intervalo tiene por extremo más o menos infinito, ese extremo ES abierto

A partir de la existencia de intervalos que son abiertos en un extremo se puede ver que los números racionales ($\mathbb{Q}$) no cumplen el axioma del supremo lo cual genera una serie de cuestiones muy técnicas, que no vienen al caso aquí, pero que son muy importantes.

Ahora vamos a ir combinando cada uno de los extremos anteriores y vamos a ir viendo qué tipos de intervalos podemos tener:

1️⃣ Intervalo cerrado-cerrado

Los intervalos cerrado-cerrado se representan así: $[a,b]$. También los puedes ver escritos de forma más amplia (por comprensión) de la siguiente manera: $$I=\{x\in \mathbb{R}\, /\, a\leq x\leq b\}$$ Y tranquilo, esta expresión se lee así:

El intervalo $I$ son todos los números reales ($x\in \mathbb{R}$) tales que ($/$) el número $x$, es mayor o igual que $a$ ($a\leq x$) y el número $x$ es menor o igual que $b$ ($x\leq b$).

En los ejemplos anteriores te decía:

«Los números que son mayores o iguales que tres, pero menores o iguales a diez»

Esta expresión se expresa como un intervalo de las siguientes maneras:

$$I=\{x\in \mathbb{R}\, /\, 3\leq x\leq 10\}\quad \longrightarrow\quad I=[3,10]$$

Cualquiera de las dos maneras es válida. Además, si quieres representarlo gráficamente puedes usar el siguiente dibujo

La manera en que debes hacer el dibujo es la siguiente:

1. Trazas una recta que represente a tu recta real (aquí puedes ver que va desde el 2 hasta el 12, pero dibuja la que mejor te venga a tí)
2. Sobre esa recta marcas los extremos del intervalo. En este caso 3 y 10.
3. Puesto que el intervalo es cerrado dibujas dos puntos (que estén rellenos, aquí en color rojo) para marcar que los extremos SI pertenecen al intervalo.

Interpretación geométrica

Si te fijas en el dibujo anterior, es muy fácil observar cómo el intervalo cerrado-cerrado es un segmeto de la recta real de extremos los extremos del intervalo. Y esto que te acabo de contar es la interpretación geométrica.

2️⃣ Intervalo abierto-abierto

En un intervalo abierto-abierto, la diferencia que existe con los anteriores es que los puntos de los extremos no pertenecen al mismo, así que cuando ves un intervalo de la siguiente manera $(a,b)$ indica que puedes trabajar con todos los puntos (números) que haya dentro del mismo, pero no podrás trabajar ni con el punto $a$, ni con el punto $b$.

Otra forma de representar este intevalo es la siguiente: $$J=\{x\in \mathbb{R}\, /\, a\ < x< b\}$$

Como ves hemos cambiado el símbolo menor o igual ($\leq$) por el símbolo menor ($<$) así que la anterior expresión se lee: El intervalo J son todos los números reales ($x\in \mathbb{R}$) tales que ($/$) el número $x$, es mayor que $a$ ($a< x$) y el número $x$ es menor que $b$ ($x< b$).

En los ejemplos anteriores te decía:

«Las personas que tienen más de una casa pero menos que cinco»

Si quieres traducir la expresión anterior al lenguaje de los intervalos debes poner:

$$J=(1,5)\quad \longrightarrow\quad J=\{x\in\mathbb{R}\, /\, 1<x<5\}$$

En la expresión anterior se ha colado un error. Si estamos hablando de casas, y ya hemos dicho que sólo se puede poseer un número entero (natural) de casas, claramente $x$ no es un número real si no que es un número natural, por lo que lo correcto habría sido escribir:

$$J=(1,5)_{\mathbb{N}} \quad \longrightarrow\quad J=\{x\in\mathbb{N}\, /\, 1<x<5\}$$

Y este intervalo, al poseer un número finito de puntos, lo podemos definir por extensión de la siguiente manera:

$$J=\{2, 3, 4\}$$

Como ves, hay que tener en cuenta no únicamente los extremos si no también en qué conjunto numérico estamos trabajando. En este caso, el intervalo $J=\{x\in\mathbb{R}\, /\, 1<x<5\}$ está perfectamente definido desde el punto de vista matemático, pero no es correcto en el contexto del problema. Quizá lo vieras más claro si el enunciado dijera las personas que tienen más de un hijo pero menos de cinco; sería absurdo considerar números reales y que una persona tuviese 3,28 hijos, ¿eso significa 3 hijos completos y además dos dedos de la mano derecha y la pierna izquierda de otro?

Y ya sé lo que estás pensando, si el extremo no pertenece al intervalo, ¿Por qué no ponemos el punto de al lado? Pues muy sencillo, porque en los números reales no hay «punto de al lado» No me voy a poner técnico pero siempre es posible encontrar un número real entre otros dos dados, así que…

Volviendo a nuestro ejemplo, queremos encontrar un punto que esté al lado de 1:

• En los números naturales y en los enteros, no hay ningún problema. El número que hay al lado del 1 es el 2. Ya está, no le des más vueltas.
• En los racionales, y por tanto en los reales, esto es un problemón. Tomemos dos números racionales cualquiera, por ejemplo el 1 y el 2:
  • Podemos encotrar uno entre medias de ellos que es el $\displaystyle \frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$
  • Ahora podemos buscar otro entre dos de ellos, por ejemplo: $\displaystyle \frac{1+\displaystyle \frac{3}{2}}{2}=\frac{5}{4}$
  • Si seguimos podemos encontrar otro más, como: $\displaystyle \frac{2+\displaystyle \frac{5}{4}}{2}=\frac{13}{8}$
  • Si queremos, aún es posible introducir otro nuevo….
  • ¿Y cuándo acabamos? Nunca, porque siempre es posible introducir un nuevo número racional entre medias.

Te dije que no me iba a poner técnico, y no lo haré, pero todo lo anterior se resume diciendo que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ y también qeu $\mathbb{Q}$ no cumple la propiedad del supremo.

Veamos ahora cómo puedes representar el anterior intervalo $(1,5)$ de forma gráfica.

Interpretación geométrica

La interpretación geométrica de estos intervalos es exactamente igual que la de los anteriores. Consiste en un segmento de extremos $a$ y $b$. Es verdad que los puntos de los extremos no entran a formar parte de ese segmento, pero no hay forma de quitar un único punto, pues como ya te he contado antes ¿Cuál quitamos? y sobre todo ¿Cuál hacemos que sea el nuevo extremo? Te acabo de demostrar que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ y por tanto no hay un número racional que esté inmediatamente al lado de otro racional.

3️⃣ Intervalo abierto-cerrado y cerrado abierto

Ya te puedes imaginar qué son, cómo se representan y cuál es la interpretación de estos intervalos. Estos tipos de intervalos son aquellos que tienen un extremo abierto y el otro cerrado. Puedes verlos escritos de cualquiera de las siguientes maneras:

$$I=(a,b]\quad \longrithgarrow \quad I=\{x\in\mathbb{N}\, /\, a<x\leq b\}$$

Este es un intervalo abierto-cerrado o también llamado semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha (piensa que estas dos formas no es más que leer el corchete y el paréntesis. Piénsalo ). En los ejemplos de inicio de la entrada teníamos:

«Los árboles que miden más de $0,5\ m$, pero menos o igual a $15\ m$»

Como ves este hecho (altura de los árboles, $A$) nos está implicando una definición de intervalo semiabierto por la izquierda. Lo podemos escribir así:

$$A=(0,5; 15]\quad \longrightarrow \quad A=\{x\in \mathbb{R}\ /\ 0,5<x\leq 15\}$$

Nota: como yo separo la parte decimal mediante una coma abajo, debo poder distinguir correctamente los extremos del intervalo, razón por la cual los separo con punto y coma (;).

Vamos a ver ahora qué ocurre con los intervalos semiabiertos por la derecha (o semicerrados por la izquierda). Los representamos de la siguiente manera:

$$I=[a,b)\quad \longrithgarrow \quad I=\{x\in\mathbb{N}\, /\, a\leq x< b\}$$

No creo que necesites que te vuelva a explicar cómo se leen ni cómo se interpreta, por lo que pasaré al ejemplo que te he puesto en la introducción:

«Los cables de media tensión eléctrica poseen igual o más de $10\ kV$ pero menos de $40\ kV$ »

$$M=[10,40)\quad \longrithgarrow \quad M=\{x\in\mathbb{N}\, /\, 10\leq x < 40\}$$

Como ves los intervalos son muy útiles para representar soluciones o conjuntos numéricos que cumplen una determinada propiedad, la cual deprenderá´ del problema que estés realizando.

Interpretación geométrica

¿Y la interpretación geométrica de estos intervalos? Pues exactamente la misma que la de los otros. Son segmentos de la recta real.

4️⃣ Intervalos con infinito

Ahora imagina que debes representar un intervalo donde aparezcan todos los números reales mayores que 10 (Intervalo $A$) y otro donde aparezcan los números reales menores o iguales que 3 (Intervalo $B$). En el dibujo de abajo puedes ver su representación

Su escritura es la siguiente: $A=(10, +\infty)$ o bien $A=\{x\in\mathbb{R}\ / \ 10<x\}$. Y para el caso del segundo intervalo tenemos: $B=(-\infty, 3]$ o bien $B=\{x\in\mathbb{R}\ / \ x\leq 3\}$.

Veamos qué ha pasado:

• En ambos casos uno de los extremos de los intervalos es el infinito: $-\infty$ o $+\infty$
• El extremo correspondiente al infinito SIEMPRE es abierto.
• El otro extremo será abierto o cerrado según indique la situación en la que trabajes.

Hay otra situación con la que te puedes encontrar y es la siguiente:

Calcula el dominio de la función $f(x)=2x-3$

Esta función tiene por dominio cualquier número real, es decir $Dom(f(x))=\mathbb{R}$, lo que si quieres expresarlo en forma de intervalo deberías escribir:

$$x\in (-\infty, +\infty)$$

Las normas que rigen son las mismas que en el caso anterior, y puesto que los dos extremos son infinito, ambos deben ser abiertos.

Interpretación geométrica

Cuando se trata de intervalos en los cuales uno, y sólo uno, de sus extremos es infinito estamos ante una semirrecta. Son los dos primeros ejemplos de esta sección.

Pero si estamos en el caso en que ambos extremos son infinitos, estamos ante la totalidad de la recta real.

Situaciones para trabajar con intervalos

Cuando te enfrentes a problemas con intervalos, raramente vas a encontrarte situaciones del tipo «los números mayores que… pero menores que…» Las situaciones en que vas a tener que estudiar los intervalos son algunas de las siguientes que te comento. Y tu profe, que no te tiene manía, te va ha hacer preguntas similares.

🟢 Preguntas directas

Ya te he dicho que pocas veces te van a preguntar algo del estilo a:

Representa mediante un intervalo los números reales mayores que 2 pero menores o iguales que 13.

Por otro lado esto es lo que hemos estado trabajando a lo largo de toda esta entrada, así pues, no voy a entrar, de nuevo, en ello.

🔵 Preguntas con potencias

Algunas veces tendrás que utilizar la notación de intervalos (y todo lo que ello implica) para resolver cuestiones como las siguientes:

¿Para qué números su cuadrado es mayor que uno?

De forma algebraica te están preguntando que resuelvas esta igualdad:

$$x^2>1$$

Es muy sencillo de responder. A ojo se puede hacer. Pero yo te lo voy a sistematizar de alguna manera:

• Transforma esa desigualdad en una igualdad: $x^2=1$
• Resuelve la ecuación: Las soluciones son $x_1=-1$ y también $x_2=1$
• Las soluciones anteriores te indican los posibles candidatos a ser los extremos de algún intervalo.
• Ahora debes ver qué ocurre con los números menores de -1, con aquellos situados entre -1 y 1 y con los números mayores de 1. ¡¡Atención a las tres columnas siguientes!!

Luego ya sabes qué intervalos son solución de tu problema.

• Son dos intervalos abiertos en un extremo y hasta infinito por el otro.
• De alguna manera hay que sumarlos

Cuando en matemáticas sumamos intervalos, realmente no decimos que los sumamos, si no que los UNIMOS y lo representamos como $\bigcup$.

Por lo que la solución buscada es:

$$(-\infty, -1)\bigcup (1,+\infty)$$

¿Qué números verifican que su cubo es menor o igual a ocho?

Igual que antes lo que hacemos es traducir lo anterior al álgebra:

$$x^3\leq 8$$

Y ahora operamos exactamente igual:

• Transforma esa desigualdad en una igualdad: $x^3=8$
• Resuelve la ecuación: La solución es $\displaystyle x=\sqrt[3]{8}=2$
• La solución anterior te indica el posible extremo de un intervalo
• Ahora debes ver qué ocurre con los números menores de 2, y con los números mayores de 2. Lo hacemos por columnas como antes:

Y ya tenemos la solución. En este caso se trata de un intervalo cerrado en un extremo (el derecho) y que llega hasta menos infinito.

$$(-\infty, 2]$$

¿Para qué números la siguiente expresión es negativa $x^3+2x^2-x-2$?

Cuando te enfrentes a este tipo de problemas, debido a que es un polinomio (ya aprenderás que un polinomio es una función continua), y además de tercer grado, al menos hay un intervalo en que para los valores que tome la $x$ será positiva y al menos otro intervalo donde el polinomio será positivo.

En el fondo lo que tienes que preguntarte es cuándo $x^3+2x^2-x-2<0$ Así que vamos a seguir el mismo procedimiento que antes:

• Transformamos la desigualdad en una igualdad $x^3+2x^2-x-2=0$
• Resolvemos esta ecuación. En este caso debes usar el algoritmo de Ruffini y hallarás que la factorización es $(x+2)(x-1)(x+1)=0$. Por lo que las soluciones son $x_1=-2$, $x_2=-1$, $x_3=1$
• Esos números son los extremos de los posibles intervalos.
• Ahora debemos ver qué ocurre con los números que se sitúan en cada intervalo. Y como antes te lo estructura en columnas.

🟡 Preguntas con raíces

Igual que antes, a veces tendrás que discutir qué ocurre en una raíz; normalmente deberás discutir el signo del radicando y como parte de un ejercicio de análisis matemático; es decir tendrás que calcular el dominio de una función y deberás saber para qué valores tiene sentido y para qué valores no tiene sentido considerarla.

¿Cuándo puedes calcular la siguiente raíz $\sqrt{x^2-3x+2}$?

Así que la pregunta a hacernos es: ¿Cuándo se puede calcular $\sqrt{x^2-3x+2}$? Esto sólo es verdad cuando el radicando es mayor o igual a cero; además, si el radicando es menor que cero, entonces no podremos calcular la raíz cuadrada y por tanto acabamos de reducir nuestro problema a discutir cuando ocurre que:
$$x^2-3x+2\geq 0$$

Si factorizamos esta ecuación tenemos que $(x-3)(x-1)=0$. Lo que significa que los números que tenemos que estudiar son $x=1$ y $x=3$

Ya tenemos casi terminado el problema. Nos queda saber qué pasa en $x=1$ y en $x=3$, pero en ambos casos, cuando los sustituímos, el valor resultante es 0. Por lo que estos números también nos sirven.

Tenemos así que la solución es la unión de dos conjuntos numéricos. En concreto: $$(-\infty, 1]\bigcup[3,+\infty)$$

¿Cuál es el dominio de la siguiente función $f(x)= \frac{\displaystyle \sqrt{8x^3-27}}{2}$?

Analicemos lo que ocurre. Es una raíz cuadrada; tiene índice par, así que necesitamos que el radicando $8x^3-27$ sea siempre mayor o igual a cero. Por lo que el problema queda reducido a discutir cuando $$8x^3-27\geq 0$$

Analicemos este caso: si igualamos a cero la anterior inecuación obtenemos que $8x^3-27= 0$ y la solución es $\displaystyle x=\frac{3}{2}$

Por tanto debemos analizar qué pasa a derecha y a izquierda de $\displaystyle x=\frac{3}{2}$

Nos queda un pequeño detalle. ¿Qué ocurre en $\displaystyle x=\frac{3}{2}$? En este punto el valor del radicando es exactamente cero, luego también nos sirve y es parte de la solución.

Y ya lo tenemos resuelto. La solución es el intervalo: $$\left[\frac{3}{2}, +\infty\right)$$

🟠 Preguntas con fracciones

¿Cuándo tiene sentido calcular la siguiente fracción: $\displaystyle \frac{3x^3}{2x^2-1}$?

Para resolverlo nos tenemos que preguntar lo siguiente:

• ¿Hay algún valor para el numerador que no sirva? No. Cualquier valor que tome el numerado es válido y nos sirve como solución.
• ¿Hay algún valor para el denominador que no sirva? Si. El denominador de una fracción debe ser distinto de cero, así que los valores de $x$ que anulen el denominador no entran dentro de nuestra solución.

Luego todo se reduce a resolver $2x^2-1=0$. Para revolverlo tendrás que echar mano de tus habilidades para racionalizar fracciones. La solución buscada a esta ecuación es:

\begin{equation*}
2x^2-1=0\Longrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
x_1&=+\frac{\sqrt{2}}{2}\\
x_2&=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}

¿y ahora qué? Pues ahora lo que debes hacer es ver que te sirve, para el denominador, cualquier número salvo los que lo anulan. Luego la solución es:

$$\left(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\bigcup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\bigcup \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\infty\right)$$

Hay una forma más directa de escribir que te valen todos los númeos reales salvo unos pocos y es restarlos de la siguiente manera:

$$\mathbb{R}-\left\{-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$$

¿Qué valores de x impiden calcular $\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$?

En este caso nos encontramos que, al igual que antes, los únicos problemas nos los va a causar el denominador. En concreto necesitamos dos cosas:

• Que el radicando de la raíz no sea negativo. En caso contrario no puedo calcular la raíz.
• Que el denominador no sea nulo.

Estas cuestiones las puedo resumir en que $x^2-1>0$. Así pues vamos a operar como ya sabemos:

• ¿Qué soluciones tiene la ecuación $x^2-1=0$? Las soluciones son $x_1=-1$ y $x_2=1$
• Vamos a ver qué ocurre en los tres intervalos en los que queda dividida la recta real por estos dos números:

Y ya tenemos la solución. Tan sólo hay un intervalo (el central del cuadro anterior) que no nos sirve. Además sabemos que en $x=\pm 1$ la raíz posee radicando nulo y por tanto tampoco entran dentro de la solución esos extremos.

La solución es:

$$\left(-\infty, -1\right)\bigcup \left(1,+\infty\right)$$

Espero que toda esta larga entrada sobre intervalos te haya servido de ayuda y que a partir de ahora no tengas ningún problema para enfrentarte a situaciones que tengan que ver con ellos. Como ves, todo se basa en plantear una ecuación, resolverla y ver qué ocurre en cada una de las zonas en que queda dividida la recta real por esas soluciones.

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