▶ 🎁 Criterios de divisibilidad 🥇

Todos los 📆 años recuerdo en clase los criterios de divisibilidad, que es lo que voy a tratar de contarte aquí. Si lo que necesitas, o quieres, es ver una demostración de por qué cada número tiene su criterio de divisibilidad, deberías echar un vistazo a esa entrada 👁.

🔊 Por supuesto, en esta entrada voy a tratar sólo con números enteros y de éstos, simplemente mencionaré a los positivos (es decir a los naturales). Al fin y al cabo, el incluir a los números negativos (\mathbb{Z}^-) no es más que añadir un factor de -1 que multiplica al número en cuestión 🤔

La entrada es más bien un compendio de recetas 🧾 que funcionan. Siempre que llego a esta parte del curso, digo a mis alumnos que ⏰ las matemáticas no son recetas que se aplican porque funcionan, sino que se llega a esas recetas porque se han hecho matemáticas y ha habido quien le ha estado dando al coco 🤔 hasta que ha descubierto el porqué 💡. Sin embargo, explicar ¿por qué son así los criterios de divisibilidad?, sería tremendamente complicado a unos alumnos cuyos objetivos son aprender a dominar la aritmética. Así que si te interesa lo que hay entre bambalinas, échale un ojo 👁 a mi entrada sobre ello.

Criterios de divisibilidad

Los criterios los puedes simplificar en la siguiente tabla:

NúmeroCriterio
2El número es par.
3La suma de los dígitos es múltiplo de 3.
4Los dos últimos dígitos son múltiplos de 4.
5Acaba en 0 o en 5.
6Es divisible por 2 y por 3.
7El último dígito multiplicado por 5 y sumado a los restantes es múltiplo de 7.
8Los tres últimos dígitos son múltiplos de 8.
9La suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
10Acaba en 0.
11La suma de los dígitos que ocupan lugar par menos los que ocupan lugar impar es múltiplo de 11.

Explicación individualizada de cada criterio

Criterio del 2

✅ Este criterio es el más fácil de todos. Si el número acaba en 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 0 es divisible por 2, y si no es así, no será divisible por 2.

De esta manera 1578 es múltiplo (y por tanto divisible) por 2, pero 1587 no es divisible por 2.

Criterio del 3

✅ Si queremos saber si 4356 es múltiplo de 3, lo que hay que hacer es sumar los dígitos

    \[4+3+5+6=18\]

Y puesto que 18 es múltiplo de 3 se concluye que el número 4356 ES múltiplo de 3 (se representa así: 18=\dot{3}, con un puntito encima del 3; o bien 18|3). De hecho:

    \[4356=1452\cdot 3\]

Si ahora queremos saber si 11224 es múltiplo de 3, hacemos lo mismo

    \[1+1+2+2+4=10\]

Y puesto que 10 no es múltiplo de 3 deducimos que el número 11224 NO es múltiplo de 3 (se representa así 10\neq \dot{3}; o bien 10\nmind 3). De hecho:

    \[11224=3741\cdot 3+1\]

Y aquí te lanzo una pregunta: ¿Qué resto te dan al dividir por 3 tanto 11224 como 10?

Criterio del 4

▶ Este es otro criterio fácil de entender. ¿Es 12416 múltiplo de 4? Sólo te tienes que fijar en los últimos dos dígitos 16, y puesto que 16 SÍ es múltiplo de 4, entonces podemos decir que 12416=\dot{4}.

Por otro lado, ¿es 12461 múltiplo de 4? Puesto que 61 no es múltiplo de 4, puedes concluir que 12461\neq \dot{4}

Criterio del 5

✅ Este es otro de los criterios fáciles. Hay que mirar el último dígito y ver si es 0 o 5. Así 1245 es múltiplo de 5, pero 9684 no lo es.

Criterio del 6

▶ Ahora se exige que el número sea múltiplo de 2 y de 3. Para que sea múltiplo de 2 tiene que ser un número par; pero para que sea múltiplo de 3 la suma de sus dígitos debe ser múltiplo de 3 también. Luego:

  • 2547 no va a ser múltiplo de 6 porque no es par, a pesar de que sus dígitos suman 2+5+4+7=18=\dot{3}. Esto significa que 2547 es múltiplo de 3 pero no de 2.
  • 7978 tampoco es múltiplo de 6 ya que, a pesar de ser un número par, sus dígitos suman 7+9+7+8=31\neq \dot{3}. Esto significa que el 7978 es múltiplo de 2 pero no lo es de 3.
  • 467892 SÍ es múltiplo de 6 porque es un número par y sus dígitos suman 4+6+7+8+9+2=36=\dot{3}

Criterio del 7

❌ El criterio del 7 yo nunca lo enseñaba porque es muy complicado; es tan complicado que es más útil hacer la división por 7 y ver qué resto obtienes que aplicar el criterio de divisibilidad.

Pero resulta que este verano se ha publicado una noticia, donde un chico de 12 años ha demostrado un nuevo criterio de divisibilidad por 7 que es el que paso a explicarte🎉. Hay que separar la última cifra, multiplicarla por 5 y sumársela a lo que te quedaba del número. Veámoslo con unos ejemplos:

¿Es 217 múltiplo de 7?. Hago la siguiente cuenta 7\cdot 5+21=56= \dot 7 Por lo que sí es múltiplo de 7. De hecho: 217=31\cdot 7. Observa que he tomado el último número 7, lo he multiplicado por 5 y se lo he sumado a lo que quedaba del número original.

¿Es 324 múltiplo de 7? Hago la siguiente cuenta 4\cdot 5+32=52\neq \dot{7}. Por lo que el número 324 NO es múltiplo de 7. De hecho: 324=46\cdot 7 +2

Creo que ya estás pillando lo que hay que hacer. Vamos con un último ejemplo, un poco más complicadete: ¿es 45786 múltiplo de 7. Hago la siguiente cuenta: 6\cdot 5+4578=4608. ¿Y es 4608 múltiplo de 7? vamos a verlo… 8\cdot 5+460=500 y la pregunta es la misma ¿es 500 múltiplo de 7? Claramente no, por lo que 45786\neq \dot{7}. Concretamente 45786=6540\cdot 7+6.

Criterio del 8

▶ Después de la locura del criterio del 7🤯 éste criterio es más fácil. Te debes fijar en las tres últimas cifras: si son múltiplos de 8 entonces el número lo es, y si no… pues no.

¿Es 1024 múltiplo de 8?. Como 024=\dot{8} eso significa que 1024 es múltiplo de 8.

¿ES 9442 múltiplo de 8? Si te fijas en las últimas tres cifras, tienes que 442\neq\dot{8}, por lo que 9442 NO es múltiplo de 8.

Criterio del 9

▶ Este es otro de los criterios sencillos. Basta con sumar los dígitos:

¿Es 5481 múltiplo de 9? Si sumas los dígitos obtienes 5+4+8+1=18=\dot{9} Luego SI es múltiplo de 9 el número 5481. Si calculas, obtienes 5481=609\cdot 9.

¿Es 5743 múltiplo de 9? Si sumas los dígitos obtienes 5+7+4+3=19. Como 19 no es múltiplo de 9, entonces 5743 tampoco lo es. Si calculas: 5743=638\cdot 9+1

Criterio del 10

✅ En mi opinión, éste criterio, junto con el del 2 son los más fáciles. Un número es múltiplo de 10 cuando acaba en 0.

12410 es múltiplo de 10 porque acaba en 0.

10241 no es múltiplo de 10 porque no acaba en 0.

Criterio del 11

✅ En este criterio hay que ir selecionando los dígitos que están en lugar par y los que están en lugar impar. 👁 OJO 👁 No hay que seleccionar los pares y los impares. No. Los que ESTÁN en lugar par y los que ESTÁN en lugar impar.

Mejor con un ejemplo: ¿Es 37624590 múltiplo de 11? Es un número que tiene 8 dígitos, así que lo que hacemos es lo siguiente:

  • empezamos a numerar los dígitos por orden. Así:
    • Lugar 1: es el número 0
    • Lugar 2: es el número 9
    • Lugar 3: es el número 5
    • Lugar 4: es el número 4
    • Lugar 5: es el número 2
    • Lugar 6: es el número 6
    • Lugar 7: es el número 7
    • Lugar 8: es el número 3
  • Ahora hay que sumar los que están en lugar par por un lado (9,\ 4,\ 6,\ 3); y los que están en lugar impar por otro (0,\ 5,\ 2,\ 7). Date cuenta que me fijo en el lugar par o impar, no en si el dígito en cuestión es par o impar.
    • SUMA DE LOS DE LUGAR PAR: 9+4+6+3=22
    • SUMA DE LOS DE LUGAR IMPAR: 0+5+2+7=14
  • El siguiente paso es fácil. Hay que restar al número mayor, el número menor:

        \[22-14=8\]

  • Como resulta que 8\neq \dot{11}, esto implica que el número de partida, 37624590, no es múltiplo de 11

Una pregunta típica que yo suelo hacer en los exámenes es la siguiente Completa con el dígito que falta (marcado con «?») para que el siguiente número sea múltiplo de 11: 456?12 Y espero que ahora no tengas problemas para saber que la respuesta es 4

¿Pero si ya tengo calculadora? 🧮

Esta pregunta me la hacen mucho mis alumnos. ¿Para qué voy a necesitar saber los criterios de divisibilidad? si tengo calculadora 🖥 y tardo muy poco en comprobar si un número divide a otro o no ⁉ Pues es verdad, pero ¿para qué vas a cenar si te vas a levantar en ayunas? o ¿para qué bebes agua si vas a volver a tener sed?

La función principal por la que debes conocer los criterios de divisibilidad no es porque tu profe te tenga manía 🤫, ni tampoco es dividir números como un loco 🤫, ni pasar una tarde averiguando si un número es divisible por otro o no 🤫. Para eso efectivamente están las calculadoras. Su utilidad es mucho más sutil:

  1. ☝1️⃣ Por ejemplo, si necesitas simplificar una fracción, puedes usar los criterios de divisibilidad para saber si es o no es irreducible. En esta entrada puedes ver un par ejemplos sobre ello. Pero si no quieres ver la entrada, aquí tienes un ejemplo muy sencillo ¿es irreducible la fracción \displaystyle \frac{462}{99}? ¿y \displaystyle \frac{252}{165}?. Te diré que la primera fracción NO es irreducible, y la segunda fracción SI es irreducible. ¿Cómo lo sé? Muy fácil:

    • \displaystyle \frac{462}{99} ¿Cuál es más fácil de factorizar, numerador o denominador? 🤔 El número más fácil de factorizar es el 99=3^2\cdot 11. Si el numerador no es múltiplo ni de 3 ni de 11, la fracción es irreducible. Y lo mejor de todo es que no tengo que dividir (convéncete de que dividir es un proceso largo, laborioso, difícil y en el que es muy sencillo equivocarse):
      1. Como 4+6+2=12 voy a poder dividir la fracción por 3.
      2. Como 6-(4+2)=0 y 0 es múltiplo de 11, puedo dividir la fracción por 11.
      3. Resulta que 3 y 11 son primos entre sí, y eso significa que puedo dividir el numerador por 33 y así obtengo la fracción irreducible (y cuando lo divida, sé que el resto me debe salir 0):

            \[\displaystyle \frac{462}{99}=\frac{14}{3}\]


    • \displaystyle \frac{252}{165} ¿Cuál es más fácil de factorizar, numerador o denominador? 🤔 En este caso, se ve (con un poco de práctica, eso sí) que

          \[165=11\cdot 15=11\cdot 5\cdot 3\]


      Pero resulta que el numerador no es divisible ni por 3 ni por 5 ni por 11, y esto lo sé de un solo vistazo, sin necesidad de dividir tres veces. Eso significa que la fracción es irreducible.
  2. ☝2️⃣ ¿Dependes tanto de la tecnología que no eres capaz de vivir sin ella? quiero decir que tu agilidad mental no te la va dar una calculadora (que también hay su versión para móvil). Existen problemas que al resolverlos puedes haber cometido un error y si sabes que el resultado debe ser, por ejemplo, múltiplo de 8, te puede dar una pista para saber si lo han hecho bien o mal y, en su caso, buscar el error. A mí, personalmente, no me gusta poner los mismos ejercicios que en el libro pero con los números cambiados; me interesan muy mucho aquellos ejercicios donde los resultados se deban interpretar. Llegar a la conclusión de que la solución es 3,57 es muy sencillo, lo importante es saber qué significa: ¿son minutos? ¿millones de euros? ¿personas en una habitación? ‼3,57 personas‼
  3. ☝3️⃣ Las divisiones de números enteros, y en especial, los restos de esas divisiones los estamos usando todos los días, aunque no nos demos cuenta:
    • Por ejemplo yo estoy escribiendo ahora esta entrada y algo le tiene que decir a mi ordenador (realmente la dirección IP, DNS, hosting, dominio…) que tiene que aparecer escrito en miprofementienemania.com y no en otra página web. La codificicación de la información depende de muchas cosas, pero entre otras, de operaciones aritméticas muy básicas.
    • Certificados digitales, claves de cuentas bancarias, posibilidad de teletrabajar o bien, por ejemplo, de que haya equipos en Madrid, Valladolid, Ankara, Singapur y San Diego que conecten a la vez en un mismo proyecto. Todo este tráfico de información, depende al final de aritmética básica, de la divisibilidad y de números primos.
    • Secreto de tres, secreto no es🤷 cuida bien de tus contraseñas en Internet. Detrás de esa seguridad, al final, está el hecho de que un número se pueda dividir por otro o no.
  4. ☝4️⃣ Desde un punto de vista histórico, las cuestiones de Teoría de Números y Aritmética han estado siempre en el centro de la enseñanza e investigación en matemáticas. Grandes matemáticos como Euclides, Pitágoras, Gauss, Euler… han trabajado sobre estos temas.
  5. ☝5️⃣ Y porque es fascinante. Los criterios de divisibilidad te permiten saber de un vistazo si un número es divisible por otro o no. Por ejemplo: Un abuelo tiene 9 nietos y desea repartir 9354\  € entre ellos ¿Podrá repartirlos sin que sobre dinero? Aquí no te piden que digas cuánto le toca a cada nieto, si no que digas si podrá repartirlos enteramente.

Como ves los criterios de divisibilidad no son ni muy difíciles de memorizar, ni son una cuestión teórica sin repercusión práctica.
Y tú ¿a tí también te enseñaron los criterios de divisibilidad como aparecen aquí? ¿conoces algún otro criterio de divisibilidad que te gustaría contarnos? Cualquier duda, comentario, aclaración… por favor déjalo en comentarios 👇

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▶ Gracias por leerme âœ…

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