▶🎖 No mezcles… hasta que fui a clase de mates 📚

Eso nos lo han dicho a todos: «no mezcles que no está bien», y claro luego llegas a clase y dices «pues no quiero saber nada de problemas de mezclas, que no sientan bien»; pero por otro lado ahí tienes a tu profe de mates, que no te tiene manía diciéndote que cuánto café hay que mezclar, que cuánta agua hay que mezclar…

Y descubres que a ti tampoco se te dan bien los problemas de mezclas. Bueno, no te preocupes; a mucha gente al principio les parecen un mundo, pero ¿sabes qué? al final no es tan difícil y en esta entrada te voy a explicar todo lo que necesitas saber para enfrentarte a ellos con éxito. Así que ponte cómodo, prepara papel y lápiz y ¡¡allá vamos!!

Antes de empezar, te debo decir que los problemas de mezclas se empiezan a estudiar en 2ESO. En 3ESO se trabajan muy a fondo, y aún en 4ESO aparecen al principio del curso. No suelen presentar mucha dificultad para los alumnos, y les resulta más o menos fácil pillarles el truquillo. No obstante siempre hay algún tipo de problemas o de su enunciado que despista un poco.

Si quieres saber dónde se encuadran estos problemas sobre mezclas, te puedo decir que están dentro de lo que se llaman problemas aritméticos.

En estos problemas te vas a encontrar con que alguien quiere mezclar dos elementos de distinta procedencia (café, agua, aceite…) que tienen un precio distinto para conseguir un peso de una mezcla que tenga el precio que ellos desean.

Por precio no debes entender sólo dinero. Por ejemplo se puede intentar mezclar agua a distinta temperatura para conseguir una bañera a una temperatura concreta. Asimismo por peso tampoco debes entender lo que se comprende normalmente; a veces es peso pero otras veces será volumnen, quilates…

Muchas personas tienden a resolver estos problemas de mezclas mediante sistemas de ecuaciones, pero casi todos se pueden resolver con una ecuación de primer grado (podría decir todos, pero voy a ser prudente). Lo importante, como en cualquier problema, es el planteamiento.

Consejos generales para enfrentarse a un problema de mezclas

El primer consejo que doy a mis alumnos para que se enfrenten con éxito a este tipo de problemas es que lean bien el enunciado. Como para hacer cualquier tipo de ejercicio, lo primero es leer, leer y leer. Sólo así podrás saber de qué va el ejercicio y podrás quitar lo superfluo y quedarte con el núcleo.

El resto de trucos son los mismos que para otros problemas:

  • ¿Qué te parece hacer un dibujo donde quede todo correctamente presentado? Yo suelo ser muy pesado en clase con esto, pero los dibujos, tablas, esquemas… son fundamentales para saber qué estás haciendo, y sobre todo de dónde partes y a dónde quieres llegar.
  • Una vez que tienes claro lo que vas a hacer, ¿qué te parece apuntar los datos del problema?
  • ¿Vas a tener que cambiar unidades? No es raro que en un ejercicio te pidan kilómetros, pero los datos te los den en metros; o te pidan kilogramos de agua, pero te dan un volumen y la densidad; o… bueno seguro que tú ya has visto problemas y no sólo de mezclas donde esto pasa.
  • Ya lo tienes todo previsto. ¿Sabes lo que vas a hacer? No es necesario que hagas números todavía, pero podrías explicarle a alguien cómo te vas a enfrentar al problema. Algo así como: «lo primero que voy a hacer es… y una vez que lo tenga calculado voy a…; y como al final tengo que añadir… voy a hacer….»

Si sigues estos consejos es muy probable que no tengas dificultad en resolver un problema de mezclas. Ya que ahora tienes claro qué hacer y en qué momento. Con esto has conseguido diseccionar el problema y te has quedado con lo realmente importante.

Así que ahora vamos a ir viendo distintos tipos de problemas sobre mezclas para que puedas enfrentarte a ellos con éxito. Muchos de ellos son los que he ido poniendo en exámenes a lo largo de todos estos años. Lo importante es que te fijes en que el método de resolución siempre es el mismo.

Problemas de mezclas tipo

Como te acabo de decir, te he seleccionado unos cuantos ejercicios que te permitan aprender cómo se resuelven los problemas de mezclas.

Como norma general, todos los problemas de mezclas se resuelven realizando una tabla y localizando qué variable necesitamos calcular. Bien hecha, la tabla te va a dar todas las claves que necesitas para la resolución del problema.

Problemas donde intervienen el peso y el precio

Este es un problema que puse en un examen en febrero de 2019.

Manuel posee una antigua tienda de ultramarinos que ha convertido en un colmado actual y gourmet. En su tienda vende diversos cafés de importación. El café de Canarias, que es el único cafetal europeo, lo vende a 20\, E/kg, mientras que el que le trae su amigo Juan Valdéz directamente desde los cafetales colombianos lo está vendiendo 12\, E/kg.

Desea conseguir 100\, kg de un café mezcla que cueste a 15\, E/kg. ¿Cuánto debe mezclar de cada tipo de café?

Lo primero que tienes que hacer es no perderte en detalles: ¿es importante que Manuel tenga una tienda? ¿que sea gourmet? ¿de dónde viene el café? No. Todas estas cosas no son importantes. Lo que sí es importante es que tenemos café de dos sitios distintos que lo vendemos a distinto precio y queremos una mezcla.

Antes de empezar deberías tener en cuenta si el precio de la mezcla es coherente. Es decir, ¿se puede mezclar ambos cafés para conseguir ese precio? Evidentemente lo mínimo a lo que lo vas a cobrar es al precio del más barato (que son 12\ E/kg) y como mucho lo venderás al precio del más caro (que son 20\, E/kg) En estos dos casos sólo mezclas un tipo de café.

Nuestro problema está en conseguir una mezcla de precio intermedio. Antes de seguir hazte una pregunta: ¿el número 15 está más cerca de 12 o de 20? Está más cerca de 12, así que habrá en la mezcla más café barato que caro.

Ahora podemos empezar con el problema. Vamos a hacer la siguiente tabla:

ProcedenciaPrecio (E/kg)Cantidad (Kg)Inversión (E)
Colombia12x12x
Canarias20100-x20\cdot (100-x)
Mezcla1510015\cdot 100=1500
Tabla resumen de lo que te pide el problema

Esta tabla es el problema. Todo lo que necesitas saber está aquí. Y de esta tabla me gustaría hacerte ver dos cuestiones muy importantes:

  • Si la mezcla son 100\, kg, parte del café será de Colombia, x, y el resto será de Canarias, 100-x. Es aquí donde mucha gente introduce un sistema de ecuaciones:
    1. Llaman x al peso del café de Colombia.
    2. Llaman y al peso del café de Canarias.
    3. Ahora dice que x+y=100, con lo que deduce que el peso del café de Canarias es y=100-x. ¡¡Pero esto ya lo sabemos nosotros mirando la tabla anterior!!
  • La columna clave es la que yo he llamado inversión, que es el dinero que le va a costar cada tipo de café. Lo que ocurre es que todo lo que yo puedo ganar vendiendo el café mezclado, deberá ser igual a lo que ganaría si vendiera, de forma individual, las cantidades correspondientes de cada café. Es decir, que si yo vendo el café mezcla, ganaré 1500\ E; y tienen que ser los mismos E que yo ganara si vendiera cada café por separado.

Con lo anterior, el problema ya está planteado:

  1. ¿Cuánto me van a costar los cafés por separado? 12x el de Colombia y 20(100-x) el de Canarias.
  2. ¿Cuánto ganaré si vendo el café mezcla? 1500\ E.

Como ambas cantidades tienen que ser iguales, ya tengo planteada mi ecuación. Muy sencilla y de primer grado.

    \[12x+20(100-x)=1500\]

Y si lo resuelves tienes que:

    \[x=62,5\]

Y ¡¡ya está resuelto!!

No. ¿Dónde vas loco? un número suelto por la hoja de un examen no es el resultado. Ahora te toca responder a la pregunta que te han hecho. Y para ello vuelves a la tabla, la cual te va a chivar qué son los 62,5 que acabas de calcular. Y ahora sí. Respondes lo siguiente:

  • Café de Colombia: 62,5\,  kg
  • Café de Canarias: 37,5\, kg

Problemas donde intervienen el volumen y el precio

En una almazara poseen aceite de aceituna picual, que se vende a 3\, E/kg y de aceituna cornicabra, que se vende a 2,5\, E/kg. Desean sacar a la venta un aceite de calidad intermedia que puedan vender a 2,90\, E/kg. Además quieren poner en el mercado un total de 200\, 000\, l de esa mezcla. Sabiendo que la densidad del aceite es de \rho=0,916\, kg/l ¿Cuánto deben añadir de cada clase?

¿Es un problema sobre mezclas? Sí. Sin duda. Pero también tiene un poco de todo: hay cambios de unidades, precios, volúmenes, densidades…

Puedes enfrentarte a este problema de varias maneras, pero creo que lo más sencillo es hacer los cálculos con un kilogramo o un litro de aceite y luego ajustar el resto. La ventaja está en que la densidad de ambos aceites es la misma. Si no fuera la misma habría que transformarlo todo a litros y luego ya veríamos.

Así que la pregunta que voy a resolver es: «si quiero un kilogramo de aceite mezcla, ¿Cuánto debo echar de cada tipo de aceite?» La tabla que debo hacer es la siguiente:

AceitunaPeso (kg)Precio (E/kg)Inversión
Picual1-x33\cdot (1-x)
Cornicabrax2,52,5 x
Mezcla12,92,9
Tabla resumen del problema.

Ahora, si tu mezclas 1-x\, kg de picual y x\, kg de cornicabra, obtienes la mezcla que andas buscando. ¿Cuánto te gastas en 1\, kg de mezcla?… exacto 2,9\ E, que tienen que ser los mismos que te gastarías si comprases los aceites picual y cornicabra por separado. Así que ya tienes la ecuación a resolver:

    \[3(1-x)+2,5x=2,9\]

Y resolver esta ecuación es muy sencillo: x=0,2\, kg.

Es decir, para conseguir 1\, kg de mezcla tal y como deseas, debes añadir 0,2\, kg de aceite cornicabra y 0,8\, kg de aceite picual. O lo que es lo mismo, en la mezcla el 20\% será aceite cornicabra y el 80\% será aceite picual; tanto en volumen como en peso (ventajas de tener ambos tipos de aceite la misma densidad).

Vamos a calcular ahora cuántos kilogramos necesito de cada tipo. Ten en cuenta que en el problema no te piden que digas kilogramos o litros, así que da la unidad que más te convenga. Como yo he empezado a calcularlo todo en kilogramos, lo que hago es pasar el volumen necesario a kilogramos. Para eso utilizo la densidad:

    \[200\ 000\ l\cdot \frac{0,916\ kg}{1\ l}=183\ 200 \ kg\]

Y ahora lo divido según los cálculos 80\%-20\% que he calculado antes:

  • Picual: 80\% \cdot  183\ 200=146\ 560\ kg
  • Cornicabra 20\% \cdot 183\ 200=36\ 640\ kg

Problemas donde intervienen la temperatura y el volumen

Aquí te pongo otro ejercicio que puse en un examen en 2020

En un spa desean tener el agua de la piscina principal a 27º. Actualmente tienen 2000\ m^3 a una temperatura de 32º y quieren añadir otros 3000\ m^3 más:

  • ¿Cuántos litros añaden y cuántos litros finalmente tienen?
  • ¿A qué temperatura deben añadir el nuevo agua?

En este caso la mezcla es el agua de la piscina; de la cual nos dicen cuánta agua hay y cuanta agua van a añadir, lo que significa que sabemos cuánta agua va a haber al final (2000\, m^3+3000\, m^3=5000 \, m^3).

Pensemos ahora sobre qué temperatura tendremos que añadir el agua. Si ahora mismo está a 32º y la necesitan a 27º, lógicamente habrá que añadir agua a menos de 27º. Si nos sale que debemos añadir agua a más de 27º seguro que nos hemos equivocado. Además podemos tantear la temperatura: se va a verter el 60% de agua de la piscina (3000\ m^3 de 5000\, m^3) y la diferencia de la temperatura deseada y actual es de 5º; Por lo tanto, la teperatura a la que echaremos el agua estará sobre los 22º-23º-24º (piensa por qué no pueden ser 22º o déjamelo escrito en comentarios….). Con esta deducción rápida ya tenemos una idea del resultado que nos debe salir.

Ahora sí. Vamos a hacer la tabla que resuma el problema:

AguaTemperatura (ºC)Volumen (m^3)«Calor» (ºC\cdot m^3)
La que hay32200032\cdot 2000=64000
La que echamosx30003000x
Mezcla27500027\cdot 5000=1350000
Tabla resumen del problema

Como de costumbre con esta tabla, lo que hacemos es resumir el problema, quitarle prosa, quedarnos con su esqueleto. Puedes ver que he creado una columna llamada Calor (pero la he puesto entrecomillada). De alguna manera hay que relacionar la temperatura y el volumen; así que me he creado una magnitud ex-profeso para resolver este problema.

Pero esa columna es la fundamental. Con ella consigo saber que el calor que hay ahora en la piscina, más el calor que yo añada, tendrá que ser igual al calor cuando se mezclen las diferentes aguas. Así que en el fondo, ya tengo planteada la ecuación:

    \[64\ 000+3000x=135\ 000\]

Y resolver esto, espero que no te cause ningún problema y puedas llegar a:

    \[x=23,67\]

¿Y esta es la solución? No. Esto es un simple número y ahora tienes que interpretar qué significa y responder a las preguntas que te hacen al principio.

  • El agua se vierte a una temperatura de 23,67ºC
  • Se vierten 3000\ m^3= 3\ 000\ 000\ l; al final hay 5000\ m^3=5\ 000\ 000\ l. La respuesta a esta pregunta ha sido evidente desde el principio.

Problemas donde intervienen otras unidades o magnitudes

Otro tipo de problemas que te pueden encontar es algo parecido al siguiente:

Unos Altos Hornos desean obtener acero al 5\% de C (eso significa que el 5\% del peso es carbono y el resto es hierro). Para ello cuentan con lingotes de hierro con una cantidad de carbono de 3\% y otros del 11\%. Si el encargo es de 10 toneladas de acero al 5\%. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de lingotes deben mezclar?

Para resolver este problema nos debemos fijar en la cantidad de carbono que vamos a necesitar. ¿Cuántas toneladas de carbono llevará el encargo de 10\ t? La respuesta es 0,5\ t. Así que con esto vamos a hacer la tabla:

AceroPeso (t)Carbono
Al 3\%10-x0,03(10-x)
Al 11\%x0,11x
Mezcla (Al 5\%)100,5
Tabla resumen del problema

Como puedes comprobar, con esta tabla, ya volvemos a tener planteado el problema. Sólo tenemos que ponerlo de la siguiente manera:

    \[0,03(10-x)+0,11x=0,5\]

Y al resolver esta ecuación de primer grado tenemos:

\displaystyle x=\frac{0,2}{0,08}=2,5

Y ya sé lo que estás pensando…. ahora toca interpretar lo que nos ha salido: Debemos mezclar 2,5 \ t de acero al 11\% con 7,5\ t de acero al 3\%. Es decir:

  • Necesitamos 2500\ kg de acero al 11\%
  • Necesitamos 7500\kg de acero al 3\%

Y ahora sí, esta es la solución.

Como ves, resolver problemas de mezclas se reduce tan solo a seguir unos pasos muy concretos y definidos. Pueden intentar despistarte con problemas enrevesados o con historietas variopintas, pero al final, si haces una tabla o un esquema te quedas con la esencia del problema y resolverlo es tremendamente sencillo.

La ventaja de este método que te he expuesto aquí es que es muy difícil equivocarse, porque todos los pasos a dar son evidentes. La desventaja es que debes pensar un poco y reflexionar algo sobre el problema 🤷

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Vida de la entrada:

– 2020-11-09: Publicación

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